02牛顿定律习题解答
第二章 牛顿定律
1．关于惯性有下面四种说法，正确的为：（ ）
A. 物体静止或作匀速运动时才具有惯性；
B. 物体受力作变速运动时才具有惯性；
C. 物体受力作变速运动时才没有惯性；
D. 惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性。
解：答案是D 。
2．下列四种说法中，正确的为：（ ）
A. 物体在恒力作用下，不可能作曲线运动；
B. 物体在变力作用下，不可能作曲线运动；
C. 物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动；
D. 物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动；
解：答案是C 。
3．一质点从t =0时刻开始，在力F 1=3i +2j (SI) 和F 2= -2i -t j (SI)的共同作用下在Oxy 平面上运动，则在t =2s时，质点的加速度方向沿 （ ）
A. x 轴正向 B. x 轴负向 C. y 轴正向 D. y 轴负向
解：答案是A 。
合力F =F 1+F 2=i +(2-t ) j 。在t =2s时，力F = i , 沿x 轴正方向，加速度也沿同一方向。
4．一人肩扛一重量为P 的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为：（ ）
A. 0 B. P /4 C. P D. P /2
解：答案是A 。
简要提示：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。
5．质量分别为m 1 和m 2 的两滑块
A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于
水平桌面上，滑块与桌面间的滑动摩
擦系数均为μ ，系统在水平拉力F 作
用下匀速运动，如图所示．如突然撤选择题5图
消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加
速度a A 和a B 分别为
A. a A = 0，a B = 0； B. a A > 0，a B
C. a A 0 D. a A
解：答案是D 。
简要提示：水平拉力刚撤消的瞬间, 滑块A 受到的合力为弹力和滑动摩擦力，均指向负x 方向，滑块B 受到的合力仍然为零。
6. 两个物体A 和B 用细线连结跨过电梯内的一个无摩擦的轻定滑轮。
已知物体
A 的质量为物体B 的质量的2倍，则当两物体相对电梯静止时，电梯的运动加速度为：( )
A. 大小为g ，方向向上 B. 大小为g ，方向向下
C. 大小为g /2，方向向上 D. 大小为g /2，方向向下
解：答案是B 。
简要提示：设电梯的加速度为a ，方向向下。以地面为参考系，则物体A 和B 的动力学方程分别为：
2mg -T =2ma
mg -T =ma
两式相减，得：a = g
7．在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是：（ ）
A. 钢球运动越来越慢，最后静止不动；
B. 钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度；
C. 钢球运动越来越快，一直无限制地增加；
D. 钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。
解：答案是D 。
8. 质量为m 的物体最初位于x 0处，在力F = - k /x 2作用下由静止开始沿直线运动，k 为一常数，则物体在任一位置x 处的速度应为（ ） A. k 112k 113k 11k 11(-) B. (-) C. (-) D. (-) m x x 0m x x 0m x x 0m x x 0解：答案是B 。
简要提示： a =d v d v k 1 =v =-d t d x m x 2
v x 12k 11k 1v =(-) ， v d v =(-) d x ⎰0⎰x 0m x 22m x x 0
2k 11(-) m x x 0所以 v =
二 填空题
1. 一质量为5kg 物体（视为质点）在平面上运动，其运动学方程为r =6i -3t 2 j (SI)，则物体所受合外力的大小为_____N。
解：答案为：30N
由运动学方程求出物体的加速度a = -6 j (SI)，因此物体所受合外力的大小为ma =5⨯6=30 N。
2. 如图所示，一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体A 和B ，用轻线将它们悬挂起来，在将线烧断的瞬间，物体A 的加速度大小是_____ m ⋅ s –2，物体B 的加速度大小是 ⋅ s –2
解：答案为：2g ； 0。
简要提示：A 物体 ma =mg +mg ，∴ a =2g 。
B 物体ma =mg -mg ，∴ a =0。
3. 如图所示，一细线一端系着质量为m 的小球，另一端固定于o 点，可在竖直平面上摆动，将小球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成θ 角的位置时，小球的切向加速度大小为 ；法向加速度大小为 。
解：答案为：g sin θ ； 2g cos θ 。
简要提示：由受力分析得：切向加速度大小a τ=g sin θ ，
法向加速度大小a n = v 2/l =2g l cosθ /l =2g cos θ 。
m 1
2
填空题2图 填空题3图 填空题4图 4. 如图所示，一条重而均匀的钢绳，质量m = 4 kg，连接两物体，m 1 = 7 kg，m 2 = 5 kg，现用F =200 N的力向上作用于m 1上，则钢绳中点处的张力为 N 。
解：87.5 N 。 F -(m +m 1+m 2) g =2. 5m ⋅s -2, 简要提示：a =m +m 1+m 2
T -(m 2+m /2) g =(m 2+m /2) a ，
T =(m 2+m /2)(g +a ) =87. 5N
5. 一条公路的某处有一水平弯道，弯道半径为50m ，若一辆汽车车轮与地面的静摩擦因数为0.6，则此车在该弯道处行驶的最大安全速率为 。
解：答案为17.1 m ⋅ s –1
2m v max =μs mg ， 简要提示： R
最大安全速率为
v max =μs Rg =0. 6⨯50⨯9. 8=17.1m ⋅s -1
6. 如图所示，堆放着三块完全相同的物体，质量均为m ，设各接触面间的静摩擦因数与滑动摩擦因数也都相同，均为μ 。若要将最底下的一块物体抽出，则作用在其上的水平力F 至少为 。 m
解：答案为： 6μ mg。
m 简要提示：对于最下面一块物体，有
F -2mg μ-3mg μ=ma ， m
F =5mg μ+ma 。
可以算出上面两块物体因摩擦获得的加速度都是填空题6图
μg ，所以若要将最底下的一块物体抽出，则要求a >μg 。得到：F ≥ 6 μ mg 。作用在其上的水平力F 至少为6 μ mg。
7. 已知月球的质量是地球的1/81，月球半径为地球半径的3/11，若不计自转的影响，在地球上体重为G 1的一人在月球上的体重约为 。
解：答案为：G 1/6 。
简要提示：人在地球上的重力 G 1=
人在月球上的重力 G 2=mm 地r 1mm 月
r 222
m 月
∴ G 2r =2
G 1m 地
2r 121m 地≈1 ==2r 22(3) 26(2) 11r 1m 月
8. 质量为m 的小球用长为L 的绳子悬挂着，在水平面内作匀速率圆周运动，如图所示，设转动的角速度为ω，则绳子与竖直方向的夹角θ为 。 g 解：答案为：arccos(2) ωL
m 1
m 2
m 3
填空题8图
填空题9图
简要提示：设绳上张力为F ，由动力学方程
F sin θ=m ω2L sin θ
F cos θ=mg
可得： cos θ=g
ωL 2，θ=g 2ωL )
9. 如图所示，质量分别为m 1、m 2和m 3的物体叠放在一起，则当三物体匀速下落时，m 2受到的合外力大小为 ；当它们自由下落时，m 3受到的合外力大小为 ；当它们以加速度a 上升时，m 1受到的合外力大小为 ；当它们以加速度a 下降时，三物体系统受到的合外力大小为 ；
解：答案为：0； m 3g ； m 1a ； (m 1+m 2+m3) a 。
简要提示：由受力分析和牛顿第二定律可以得到。
三 计算题
1．如图示，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，求A 、B 获得的加速度大小。
解 设悬挂B 物体细绳上的张力为F ，则悬挂A 物体细绳上的张力为2F ，物体A 和B 的运动方程分别为：
mg -F =ma B
2F -mg =ma A A
B
计算题1图 由于在相同的时间内B 向下运动的距离是A 向上运动的距离的两倍，故有 a B =2a A
由以上三式解得A 的加速度大小为a A =g /5，B 的加速度大小为a B = 2g /5。
2．一质量为1.2kg 的质点沿半径为lm 的圆轨道运动，切向加速度大小恒为3m·s -2，则当该质点速率为2 m·s -1时，试求它所受到的合力大小。
解：答案为6N
切向加速度大小a t =3, 法向加速度大小a n =v 2/R =4/1=4, 故质点的加速度大小a =5 m·s -2. 因此它所受到的合力大小F =ma =1.2⨯5=6 (N)
3. 如图所示，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，设圆弧半径为r 。
解：小球在D 点处角度α=0，开始在A 点处角度α= -π/2。设圆弧表面对小球的的作用力为F ，在C 点处由计算题3图
牛顿第二定律
d v -mg sin α=m （1） d t
F -mg cos α=mr ω2 （2） 式（1）左边的负号表示切向力是使速率减小。由式（1）得到
d αd ωd ω g sin α=-r . =-r ωd t d αd α
积分 g ⎰πsin αd α=-r ⎰ωd ω -20αω
g cos α=r
ω=ω22 2g cos α r
2g cos α代入（2） F =mg cos α+mr =3mg cos α r
小球对圆弧表面的的作用力与F 大小相等，方向相反。
4. 一质量为80 kg的人乘降落伞下降，向下的加速度为2.5 m ⋅ s –2，降落伞的质量为2.5 kg，试求空气作用在伞上的力和人作用在伞上的力。
解：（1）由 (M +m ) g -f r =(M +m ) a ，得到
f r =(M +m )(g -a ) =(80+2. 5)(9. 8-2. 5) =602(N) ，方向向上。
（2）Mg -T =Ma ，得到
T =M (g -a ) =80(9. 8-2. 5) =584(N)
由牛顿第三定律，人作用在伞上的力
=T =584N ，方向向下。 T ′
5. 一学生为确定一个盒子与一块平板间的静摩擦因数μs 和动摩擦因数μ，他将盒子置于平板上，逐渐抬高平板的一端，当板的倾角为30°时，盒子开始滑动，并恰好在4s 内滑下4m 的距离，试据此求两个摩擦因数。
n =0，得到 解：由f s =μs mg cos θ, f s -mg s i θ
μs =tan 30°=3=0. 577 3
下滑时 mg sin θ-μmg cos θ=ma
1由匀加速直线运动 s =at 2 a =2s /t 2=0. 5m ⋅s -2 2
将上式中mg sin θ 以f s =μs mg cos θ代入得
μs mg cos θ-μmg cos θ=ma
a 0. 5=0. 577-=0. 52 μ=μs -g cos θ9. 8⨯0. 866
6．地球的半径R = 6.4⨯10 3 km，地面上的重力加速度g=GmE R 2 =9.8 m ⋅ s – 2，其中G 为引力常量，m E为地球质量，求证地球同步卫星离地高度应为3.6⨯104 km。
证明：设卫星质量为m ，离地心距离为R s ，则其离地高度为H = R s - R 。故有
m ω2 R s = G m E m / R s 2 (ω为地球自转角速度)
m E Gm E R 2R 23 R s =G 2=2. 2=g 2 ωR ωω
得 R s =(g R 2
ω21) 3=9. 8⨯(6. 4⨯106) 2
(2π/86400) 7 ≈4. 23⨯10(m) 2
所以： H =R s -R =(42. 3-6. 4) ⨯103=3. 6⨯104(km)
7. 质量为m 的质点，原来静止，在一变力作用下运动，该力方向恒定，大小随时间变化，关系为F = F0[1 -（t - T）/ T ]，其中F 0、T 为恒量，求经过2T 时间后质点的速度。
解：由牛顿第二定律，有：
m d v t F t =F 0(2-) ， d v =0(2-) d t ， m T d t T
2T 两边积分得： v =⎰F 02F T t (2-) d t =0 0m T m
8. 质量m = 10kg的物体沿x 轴无摩擦地运动，设t = 0时，物体位于原点，速
度为零。试求物体在外力F = 4+3x 作用下，运动了5 m时的速度。
解：已知：x 0=0，v 0=0，所以由牛顿运动定律
a =d v d v 4+3x ， =v =F /m =d t d x m
4+3x d x m
5
0得 v d v =两边积分 ⎰v 0v d v =⎰4+3x x m
解得 v =3. 4m ⋅s -1
9. 一质量为m 的小球，从高出水面h 处的A 点自由下落，已知小球在水中受到的粘滞阻力与小球的运动速度v 成正比，设小球在水中受到的浮力可忽略不计，如以小球恰好垂直落入水中时为计时起点（t=0），试求小球在水中的运动v 随时间t 变化的关系式。
m d v d v 解：由牛顿第二定律 m =mg -k v ，得到d t =mg -k v d t
t v m d v m v d (mg -k v ) =-⎰两边积分得： ⎰d t =⎰ 0v 0mg -k v k v 0mg -k v
∴ t =-v m mg -k v 0m ln(mg -k v ) =ln v o k k mg -k v
k k -t -t mg (1-e m ) +v 0e m 故 v =k
因 v 0=2gh
-t -t mg (1-e m ) +2gh e m 所以 v =k k k
10. 一条均匀的绳子，质量为m ，长度为L ，一端拴在转轴上，并以匀角速度ω 旋转，忽略绳子的重力，求距离转轴r 处绳子的张力。
解：取径向向外为坐标轴的正方向，如图所示，在绳子上取一微元d r ，由牛顿第二定律：
d F =-d m ω2r =-m ω2r d r /L 注意绳子末端是自由端，受力为零，所以两边积分：
⎰0F d F =-⎰m ω2r d r /L L r
m ω
22(L -r 2) 得： F =2L