几何一题多解
条 条 大 路 通 罗 马
-----2009年上海中考数学压轴题带来的启示
200093 杨浦区教师进修学院 翟立安
今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分”,尤其最后一题在体现新意方面做了一些有益的尝试。
(题目:已知∠ABC =90°,AB =2,BC =3,AD ∥BC .P 为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足
PQ AD
=(如图1所示). PC AB
3
,且点Q 在线段AB 上时,设B 、Q 之间的距离为x , 2
(1)当AD =2,且点Q 与点B 重合时(如图2所示),求线段PC 的长; (2)在图1中,联结AP ,当AD =
S ∆APQ S ∆PBC
=y ,其中S ∆APQ 表示△APQ 的面积,S ∆PBC 表示△PBC 的面积,求y 关于x 的函数
解析式,并写出函数定义域;
(3)当AD
Q
图1
B (Q )
图2
一、稳中求变,变中求新,促进探究型教与学
虽然,今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何+函数”,但与往年的压轴题也有着几处明显的区别。
首先,体现在函数的定义域上。往年也有求函数定义域的问题,但大都是以最初的动点(主动点)与某定点的线段长度为自变量,主要考查考生对动态图形的观察能力,特别是对特殊位置的观察;今年的函数自变量选择了从动点Q 与定点B 之间的距离为自变量x ,使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察,而是理性的推导和计算,体现了数学的理性思维要求,这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋”:用直观观察代替理性思考。
其次,在判定三角形相似的方法上。我们知道,一般情况下是不能用“SSA ”(边边角)来判定两个三角形相似的,但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的,例如,在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。平时教学中,老师们非常重视和强调一般情况下的“不能”,却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能”。
其三、在数量关系与位置关系的推理上。往年动态几何题中由位置关系探求数量关系的较多,今年是由数量关系(
PQ AD
=),探究PQ 与PC 的位置关系(虽然问的是∠QPC PC AB
的大小),更看重考生从“数”走向“形”的判断和探究能力。
可见,今年的压轴题对初中数学进行探究型的教与学,倡导教与学的反思,有着很好的导向作用。
二、新中求通,通中求异,促进合作型教与学
与往年一样,压轴题涉及到的知识点和思想方法较多,今年压轴题涉及到的知识和定理
有:平行线的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质运用、勾股定理及其逆定理、三角形的面积表示或三角形面积之间的关系、矩形的性质、锐角三角比等。考查了学生的转化能力、证明能力、计算能力,同时又考查了学生在图形动态情况下的想象能力以及运用一般与特殊、数形结合等思想方法,从而考查考生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。
本题由于涉及的知识点较多,沟通了许多数学知识之间的联系,所以解题的方法也较多。特别是第(3)小题,以运用相似三角形的性质为基础,可从几何论证入手,也可用同一法的思想从构造法入手;以代数式的恒等变形和整体代入为基础,可以用勾股定理的逆定理进行思考,还可利用高中的函数思想和解析法来解决问题。
解法一、如图1
过点P 作P M ⊥BC 于M ,过点P 作P N ⊥AB 于N , 则四边形PMBN 是矩形,∴PN //BM , PM =BN , ∠MPN =900
PN AD
= BN AB
PN AD AD PQ PN PQ
===∴,∵,∴, PM AB AB PC PM PC 又∠PMC =∠PNQ =900,
∴∆PCM ∽∆PQN ,∴∠CPM =∠QPN ,
∵ AD //BC ,∴PN //AD ,
∴∠QPC =∠CPM +∠MPQ =∠NPQ +∠QPM =∠NPM =900.
解法二、如图1
假设∠QPC =900,过点P 作P M ⊥BC 于M ,过点P 作P N ⊥BC 于N ,则四边形PMBN 是矩形,∠NPQ +∠QPM =∠Q PM +∠MP C =900, ∴∠NPQ =∠MPC , 又∠PNQ =∠PMC ∴∆NPQ ∽∆MPC ,∴又PN //AD ,∴
PQ PN PQ PN
==,而PM =BN ,∴,PC PM PC BN
PN AD PQ AD
==,∴, 且以上每步可逆。综上,可得∠QPC =900. BN AB PC AB 0
解法三、如图2
过点P 作P M ⊥BD 交直线BC 于M ,∵∠ADB =∠PBM 且∠DAB =∠MPB =90, ∴∆ADB ∽∆PBM ,∴
AD PB
=,
AB PM
AD PQ PB PQ
==∵,∴, AB PC PM PC
∵∠PBQ 与∠PMC 都是钝角,∴∆PBQ ∽∆PMC ,∴∠BPQ =∠MPC ,
∴∠QPC =∠CPM +∠MPQ =∠QPB +∠QPM =∠BPM =90.
解法四、如图3
过点P 作P K 使∠PKC =∠PBQ , P K 与BC 交于点K ,则∠ABP =∠PKB , ∵ AD //BC ,∴∠ADB =∠PBK , ∴∆BPK ∽∆DAB ∴∠BPK =90, 又∠PKC =∠PBQ , 且它们都是钝角 ∴∆PKC ∽∆PBQ ,∴∠BPQ =∠KPC ,
∴∠QPC =∠CPK +∠KPQ =∠QPB +∠QPK =∠BPK =90.
PB AD PQ
==, PK AB PC
解法五、如图4
'
过点P 作PQ ' ⊥PC 交直线AB 于Q ' ,连QC ,
则∠Q ' PC =900,又∠Q ' BC =900,∴P 、B 、Q 、C 四点共圆, ∴∠BQ ' P =∠BCP ,∠BPQ ' =∠BCQ ' ,
而∠ABD =∠BPQ +∠BQ P ,∠PCQ =∠PCB +∠BCQ ∴∠ABD =∠PCQ ' ,
又∠BAD =∠Q ' PC =900,∴∆ABD ∽∆PCQ ' ,
'
'
'
'
PQ ' AD PQ
==∴,∴PQ ' =PQ , PC AB PC
又∵点Q ' 与点Q 都在线段AB 的延长线上, ∴点Q ' 与点Q 重合,∴∠QPC =∠Q ' PC =900
解法六、如图5
过点P 作P C ⊥PQ 交直线BC 于点C ,则∠QPC =90 过点P 作P M ⊥BC 于M ,过点P 作P N ⊥AB 于N ,则∠QPC ' =900, PM //AQ ,∴∠BQP =∠QPM ,
‘
’
' 0
∠QPM =∠PC ' M ,∴∠BQP =∠PC ' M ,
又∠PNQ =∠PMC ' =900,∴∆PNQ ∽∆PMC ,∴
'
PN PQ
=, PM PC ' P N A D A D P Q PQ AD P Q P Q '
====P C =P C ,又AD //PN ,∴,∴,而,∴,∴ ' ' B N A B A B P C PC AB P C P C
' '
又∵点C 与点C 都在点B 的右侧, ∴点C 与点C 重合,∴∠QPC =∠QPC ' =900.
解法七、如图6
过点P 作P M ⊥BC 于M ,过点P 作P N ⊥AB 于N ,∵AB //PM ,
∴∠PBA =∠BPM ,又∠BAD =∠PMB =90,
BM AD PQ AD
==∴∆BAD ∽∆PMB ,∴,又, PM AB PC AB
BM PQ PM BM PM PN
===∴即,而PN =BM ,∴,
PM PC PC PQ PC PQ 即sin ∠PQN =sin ∠PCM ,∵∠PQN 、∠PCM 都是锐角,∴∠PQN =∠PCM ,即
∠PQB =∠PCB ,∴P 、B 、Q 、C 四点共圆,∴∠QPC =∠QBC =900.
解法八、如图7
过点P 作P M ⊥BC 于M ,过点P 作P N ⊥BC 于N , 则PN //AD , MP =BN ,设AD=a,PN =c ,
BN AB 2c
=,∴MP =BN =, PN AD a
2c
在Rt ∆QPN 中,PN =c ,QN =QB +BN =x +,
a
2c 22c 22
(x +)∴PQ =c +,在Rt ∆PMC 中,PM =
a a
由PN //AD ,得
2
MC =BC -BM =BC -PN =3-c ,∴PC 2=(3-c )+(
C
2c 2
), a
22
连QC ,在Rt ∆QBC 中,BQ =x ,BC =3,∴QC =x +9,
PQ AD a PQ 2a 222
==,∴a c -3a +2ax +4c =0 ①
=又∵, 整理得2PC AB 2PC 4
2c 22c 222c 22
)+(3-c )+()a c -3a 2+2ax +4c )=x +9+2 a a a 2
由①得,PQ 2+PC 2=x +9,即PQ 2+PC 2=QC 2,∴∠QPC =900 (x + ∴PQ 2+PC 2=c +
2
解法九、如图8
(0,2),Q (0,-x )建立如图所示直角坐标系,则A ,
(a ,2)设D ,点P 的横坐标为c ,∵点P 在直线OD 上,
2c 2c 22c 2222
),PC 2=(3-c )+(),
a a a PQ AD a PQ 2a 2
==,∴=∵, 2
(PC AB 2PC 42(3-c )由c
2c 2c 2c 2c
+x +x 4c +2ax ⋅=2又k PQ =, , k PC =,∴k PQ ⋅k PC =c c -3a (c -3) c c -3
2c 2c +x
4c +2ax
⋅=2=-1, ∴PQ ⊥PC ,∴∠QPC =900. 由②得,k PQ ⋅k PC =c c -3a (c -3) (c )(x +∴P ,∴PQ =c +
解法十:如图8
(a ,2)(0,2),Q (0,-x )建立如图所示直角坐标系,则A ,设D ,点P 的横坐标为
2c 2c 22c 2222),PC 2=(3-c )+(),
a a a
PQ AD a PQ 2a 22
c
PC AB 2PC 4 2c 2c 2c 2c
(x +) 又PQ =(-c , -x -), PC =(3-c , -) , ∴PQ ⋅PC =c (c -3) +
a a a a
c 2
=2[(4c +2ax ) -a (3-c )],由③可得,PQ ⋅PC =0,∴PQ ⊥PC ,∴∠QPC =900. a
(c )(x +c ,∵点P 在直线OD 上,∴P ,∴P Q =c +
从以上多种解法(除解法九、十用到高中数学知识和方法) ,我们可以看出,初中数学教
学的首要问题是解决通性通法的问题, 但又不能满足于通性通法的教与学, 一定要注重一题多解,重视数学知识之间的联系,重视数学思想方法的不同功能, 重视学生不同的认知角度和不同的认知水平在同一个数学问题上的不同反应, 营造师生、生生之间的教学合作氛围, 使课堂教学涌现出更多更精彩的“意外”的生成.
2009-7-7
地 址:杨浦区控江路1535号