指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果x 且n ∈N .
*
n
=a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,
当n 是奇数时,
a =a ,当n 是偶数时,
n
⎧a (a ≥0)
a =|a |=⎨
-a (a
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a =a m (a >0, m , n ∈N *, n >1)
m n
a
-
m n
=
1a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1)
3.实数指数幂的运算性质
(1)a ·a
r
r
=a r +s (a >0, r , s ∈R ) ;
r s rs (a ) =a (2) (a >0, r , s ∈R ) ;r r s (ab ) =a a (3)
(a >0, r , s ∈R ) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数,
其中x 是自变量,函数的定义域为R .
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果a
x
=N (a >0, a ≠1) ,那么数x 叫做以.a 为底..
— 真数,log a
N 的对数,记作:x
=log a N (a — 底数,N
N — 对数式)
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lg N ; ○
2 自然对数:以无理数e =2. 71828 为底的对数的对数ln N . ○
指数式与对数式的互化
幂值 真数
b
如果a >0,且a ≠1,M >0,N
>0,那么:
1 log a (M ·N ) =log a M +log a N ; ○
M
=log a M -log a N ; N n
3 log a M =n log a M (n ∈R ) . ○
2 log a ○注意:换底公式
log a b =
log c b
log c a
m
(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).
利用换底公式推导下面的结论
(1)log
a
b n =
1n
(2)log a b =. log a b ;
m log b a
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
y =log a x (a >0,且a ≠1) 叫做对数函数,其
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y =2log 2x ,y =log 5x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2 对数函数对底数的限制:(a >0,且a ≠1) .
○
1、用根式的形式表示下列各式15
-
32
(1)a (2)a 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)
x y
43
(2)
m 2m
32
=(m >0)
3、求下列各式的值
(1)25(2) 4、解下列方程
32
⎛25⎫
⎪⎝4⎭
-
1
= (2)2x 4-1=15 (1)x
82x -1
1、函数y =a (a >0, a ≠1) 的图象必过定点 。
-
1
3
3
a
B 、a >2 C 、1
2、如果指数函数
3、下列关系中,正确的是 ( )
13151- 11- 10. 10. 2-0. 1-0. 25
>2 D 、() >() 3 A 、() >() B 、2>2 C 、2
2222
4、比较下列各组数大小:
11
⎛2⎫⎛2⎫-2.5-0.1
(1)3.13.1 (2) ⎪ ⎪ (3)2.30.2
⎝3⎭⎝3⎭
x
5、函数f (x ) =10在区间[-1,2]上的最大值为,最小值为。
0.5
2.3
-0.3-0.24
函数
f (x ) =0. 1x 在区间[-1,2]上的最大值为
x
-x
⎛1⎫⎛1⎫
6、函数y = ⎪的图象与y = ⎪的图象关于 对称。
⎝3⎭⎝3⎭
x
7、已知函数y =a (a >0, a ≠1) 在[1, 2]上的最大值比最小值多2,求a 的值 。
8、已知函数
2x -a
f (x ) =x
2+1
是奇函数,求a 的值 。
1、将下列指数式改写成对数式
(1)2=16 (2)5=20 答案为:(1) (2) 2、将下列对数式改写成指数式
(1)log 5125=3 (2)log 10a =-2
答案为:(1) (2) 3、求下列各式的值 (1)log 2
4
a
64= (2)log 927 = (3)lg 0. 0001 =
9= (7)log 328=
3
(4)lg 1= (5)log 39= (6)log 14、已知a
>0,且a ≠1,log a 2=m ,log a 3=n ,求a 2m +n 的值。
5、若log 3(1-a ) 有意义,则a 的范围是 6、已知2log x 8=1、求下列各式的值 (1)log 2(2(3)
3
4,求x 的值
对数(
⨯45) =__________(2)log 5125=__________
1
lg 25+lg 2+lg +lg(0. 01) -1=__________ 2
32
+log 38-3log 55 =__________ (4)2log 32-log 39
(5)lg 5⋅lg 20-lg 2⋅lg 50-lg 25=__________
71
(6)lg 14-2lg +lg 49-lg 72+8lg 1=__________
622
(7)(lg5) +lg 2⋅lg 50=__________
+(lg5) 3+3lg 2⋅lg 5=__________
2、已知lg 2=a , lg 3=b ,试用a , b 表示下列各对数。
18
(1)lg 108 =__________ (2)lg =__________
25
3、(1)求log 89⨯log 332的值__________;
(2)log 23⨯log 34⨯log 45⨯log 56⨯log 67⨯log 78=__________
(8)(lg2)
3
21
+的值__________。 x y 1
5、若lg 2=m , log 310=,则log 56等于 。
n
6、已知函数y =log (a -1) x 在(0, +∞) 上为增函数,则a 的取值范围是 。
4、设3
x
=4y =36,求
7、设函数8、函数
y =log 2(x -1) ,若y ∈[1, 2],则x ∈
y =log a (x -3) +3(a >0且a ≠1) 恒过定点 。
y =l o g a x (a >0, a ≠1)
在
9、已知函数
x ∈[2, 4]上的最大值比最小值多1,求实数a
的
值 。
1、下列函数中,是幂函数的是( )
A 、
y =2
x
B 、
y =-x
2
C 、
y =log 2x
D 、
y =x
-
12
1
f (x ) 的图象过点(2, ) ,则f (x ) 的解析式为4
2m +1
3、已知函数y =x 在区间(0, +∞)上是增函数,求实数m 的取值范围为
2、若一个幂函数1、证明:(1)函数上有零点
2、若方程方程5x -7x -a =0的一个根在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内,求实数a
的取值范围 。 1、设x 0是方程ln x +2x -6
2
3
(2)函数f (x ) =x +3x -1在区间(0,1)y =x 2+6x +4有两个不同的零点;
=0的近似解,且x 0∈(a , b ) ,b -a =1,a , b ∈z ,则a , b 的值分
A 、
别为 、
2、函数y =ln x -6+2x 的零点一定位于如下哪个区间 ( )
(1, 2) B 、(2, 3) C 、(3, 4) D 、(5, 6)
3、已知函数
f (x ) =3x +x -5的零点x 0∈[a , b ],且b -a =1,a ,b ∈N *,则
a +b = .
4、函数f (x ) =lg x +x -3的零点在区间(m , m +1) (m ∈Z ) 内,则m =.
5、用二分法求函数
f (x ) =3x -x -4的一个零点,其参考数据如下:
据此数据,可得方程3
-x -4=0的一个近似解(精确到0.01)为