八年级数学难题解析

长江18页第24题

如图，∠XOY ＝90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明，如果随点A 、B 的移动发生变化，请求出变化范围．

解：不发生变化，理由如下：

∵BE 是∠AB Y 的平分线,

∴∠ABE=∠EB Y

又∵∠AB Y 是△AOB 的外角,

∴∠AB Y =∠X O Y +∠OAB

∵AC 平分∠OAB,

∴∠CAB=∠OAB,

∴2∠ABE=90°+2∠CAB,

∴∠ABE=45°+∠CAB

又∵∠ABE 是△ABC 的外角,

∴∠ABE=∠C+∠CAB,

∴45°+∠CAB=∠C+∠CAB,

∴∠C=45°,

∴∠C 保持不变.

长江29页第9题

如图1，已知矩形ABCD ，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD。

（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（2）保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．

解：（1）△ABC 是等腰直角三角形．理由如下：

在△ADC 与△BEC 中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，

∴△ADC ≌△BEC ，

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB ．

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．

∴△ABC 是等腰直角三角形．

（2）DE=AD+BE．理由如下：

在△ACD 与△CBE 中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE ，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△ACD ≌△CBE ，

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：

在△ACD 与△CBE 中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE ，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△ACD ≌△CBE ，

∴AD=CE，DC=EB．

∴DC-CE=BE-AD，

即DE=BE-AD．

9月22日试卷最后两题

（2006•汉川市）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连接OA 、OC ．显然，折线AOC 能平分四边形ABCD 的面积，再过点O 作OE ∥AC 交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”．

（1）试说明直线AE 是“好线”的理由；

（2）如下图，AE 为一条“好线”，F 为AD 边上的一点，请作出经过F 点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．

F

解：（1）因为OE ∥AC ，

所以S △AOE =S△COE ，（同底等高的两个三角形，面积相等)

所以S △AOE -S △EOF =S△COE -S △EOF ，（等量减同量差相等）

即S △AOF =S△CEF ，

又因为，折线AOC 能平分四边形ABCD 的面积，

所以直线AE 平分四边形ABCD 的面积，即AE 是“好线”．

（2）连接EF ，过A 作EF 的平行线交CD 于点G ，连接FG ，则GF 为一条“好线”． ∵AG ∥EF ，

∴S △AGE =S△AFG ．

设AE 与FG 的交点是O ．

∴S △AGE -S △AOG =S△AFG -S △AOG

则S △AOF =S△GOE ，

又AE 为一条“好线”，所以GF 为一条“好线”．

（2009•顺义区一模）取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．

试问：（1）当α为多少度时，能使得图2中AB ∥DC ；

（2）连接BD ，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 值的大小变化情况，并给出你的证明．

解：（1）由题意∠CAC′=α，

要使AB ∥DC ，须∠BAC=∠ACD ，

∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，

即α=15°时，能使得AB ∥DC ．

（2）连接BD ，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC 的值的大小没有变化，总是105°，

当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．

∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，

∴∠BDC+∠DBC ′+∠C+α+∠C′=180°，

又∵∠C′=45°，∠C=30°，

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．

35页第11题：

如图，已知AD ∥BC ，∠DAB 和∠ABC 的平分线交于E ，过E 的直线交AD 于D ，交BC 于

C. 求证：DE=EC. 提示

【方法一】

过点E 分别作AB 、BC 、AD 的垂线EF 、EG 、EH ， 垂足分别为F 、G 、H ，利用角平分线的性质可以证明 E EF=EG=EH，然后证明△EDH ≌△ECG ，于是有DE=EC.

C G 【方法二】

F 分别延长BE 、AD （或分别延长AE 、BC ）交于点F ，

由AD ∥BC ，∠DAB 和∠ABC 的平分线交于E ，

可证AE ⊥BE ，由等腰三角形三线合一的性质可证

BE=FE，然后证明△EDF ≌△ECB ，于是有DE=EC.

C

【方法三】 D 在AB 上截取AF=AD，证明△AEF ≌△AED ，于是有EF=ED,

∠AEF=∠AED ，由AD ∥BC ，∠DAB 和∠ABC 的平分线交于E ， 可证AE ⊥BE ，从而可证∠FEB=∠CEB ，然后证明△EBF ≌△EBC ，

于是有EF=EC，由等量代换可得DE=EC.

C

D 【方法四】

过点E 作EF ∥BC ，可证AF=EF=BF

再由梯形的中位线性质可以证明E 是CD 的中点，

于是有DE=EC.

注：这只是提示，关于证明的书写要严密.

由该题的条件还可以证明AB=AD+BC.

C

长江作业本第34

页第3题

如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b， 则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）

A. m+n ＞b+c B. m+n ＜b+c C. m+n ＝b+c D. 无法确定

解：在BA 的延长线上取点E ，使AE ＝AB ，连接PE ，

∵AD 平分∠CAE

∴∠CAD ＝∠EAD

∵AE ＝AB ，AP ＝AP

∴△AEP ≌△ACP （SAS ）

∴PE ＝PC

∵在△PBE 中：PB+PE＞BE ，BE ＝AB+AE＝AB+AC

∴PB+PC＞AB+AC

即：m+n ＞b+c.

故该题选择A

10月24日试卷最后三大题

21(10分) 如图，已知△ABC 中∠A=60°，AB=2cm,AC=6cm, 点P 、Q 分别是边AB 、AC 上的动点，点P 从顶点A 沿AB 以1cm/s的速度向点B 运动，同时点Q 从顶点C 沿CA 以3cm/s的速度向点A 运动，当点P 到达点B 时点P 、Q 都停止运动. 设运动的时间为t 秒.

(1)(4分) 当t 为何值时AP=AQ；

(2) (6分) 是否存在某一时刻使得△APQ 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若

22(12分) 如图（1），Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．

（1）(5分) 求证：CE=CF；

（2）(7分) 将图（1）中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E ′的位置，使点E ′落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？

请证明你的结论．

证明：（1）∵Rt △ACF 中，∠1+∠3=90°，

又∵Rt △ADE 中，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2，

∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴CE=CF；

（2）结论：BE′=CF

证明：作EH ⊥AC 于H ．

∵∠1=∠2，∴EH=ED，

又∵△ADE ≌△F′D′E′（平移）

∴ED=E′D′，

∴EH=E′D′，

∵Rt △ACD 中，∠CAB+∠6=90°，

Rt △ABC 中，∠CAB+∠B=90°，

∴∠6=∠B ，

在△E′BD′和△ECH 中，

∴△E′BD′ ≌△ECH （AAS ）

∴CE=E′B，

∵CE=CF，

∴BE′=CF．

23已知，M 是等边△ABC 边BC 上的点 .

（1）（3分）如图1, 过点M 作MN ∥AC ，且交AB 于点N ，求证：BM=BN；

（2）（6分）如图2，联结AM ，过点M 作∠AMH=60°，MH 与∠ACB 的邻补角的平分线交与点H ，过H 作HD BC 于点D.

①求证： MA=MH； ②猜想写出CB,CM,CD 之间的数量关系式，并加于证明；

（3）（4分）如图3，（2）中其它条件不变，若点M 在BC 延长线上时, （2）中两

（3）（2）中结论①成立，②不成立， 过

M 点作MN ∥AB 交AC 延长线于N ，

∵MN ∥AB ，∴∠N=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠NCM=60°，

∴∠NMC=180°-60°-60°=60°，∴△CNM 是等边三角形，∴CM=MN，

∵∠AMH=60°，∠CMN=60°，∴∠AMH+∠1=∠CMN+∠1，即∠AMN=∠CMH ， 在△AMN 和△HMC 中

⎧∠HCM =∠N =600

⎪ ⎨NM =MC

⎪∠HMC =∠AMN ⎩

∴△AMN ≌△HMC （ASA ），

∴MA=MH；AN=CH，

∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，

∴∠CHD=30°，∴CH=2CD，

∵AC=BC，CN=CM∴AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM，

∵AN=CH， 2CD=CB+CM，

即：CB=2CD-CM．