机械优化设计

机械优化设计论文

优化设计是20世纪60年代初发展起来的一门新学科，它将最优化原理和计算机技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。采用这种新的设计方法，人们可以从众多的设计方案中寻找出最佳的设计方案，从而大大提高设计的效率和质量。因此，优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它以广泛应用于各工业部门。

一项机械产品的设计，一般需要经过调查分析、方案拟定、技术设计、零件工作图绘制等环节。传统的设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算、经验类比或实验来确定初始设计方案。然后根据初始设计方案的设计参数进行强度、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不满足性能指标的要求，设计人员将凭借经验或直观判断对参数进行修改。这样反复进行分析计算—性能检验—参数修改，知道产品性能完全满足设计指标的要求为止。整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程，主要的工作是性能的重复分析，至于每次参数的修改，仅凭经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。实践证明，按照传统设计方法做出来的设计方案，大部分都有改进提高的余地，而不是最佳设计方案。

近年来，随着计算机的广泛使用，在机械设计领域内，已经可以用现代化的设计方法和手段进行设计，来满足对机械产品提出的要求。

现代化的设计工作已不再是过去那种凭借经验或直观判断来确定结构方案，也不是像过去“安全寿命可行设计”方法那样，即在满足所提出要求的的前提下，先确定结构方案，再根据安全寿命等准则，对该方案进行强度、刚度等方面的分析、校核，然后进行修改，以确定结构尺寸。而是借助计算机，应用一些精确较高的力学数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找出一种最优的设计方案，从而实现用理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命的可行性设计。

多维函数优化远比一维函数优化复杂。多维函数中最简单的是二维函数，其优化方法可以通过平面几何图形直观描述，因此多维函数的优化均以二维函数为例进行分析，然后将其推广之n维空间。

定理：当迭代点数列{X()|k1,2...}收敛于最优解X*，且由某一迭代步k开始，有：

X

()

XMX

*(k)

X

*

则称该优化算法具有阶收敛速度(1,M1是与无关的常数) 多维函数的无约束搜索方法按照确定搜索方向的信息和方法的不同分为解析法（导数法）和直接法两类。前者需要函数的一阶偏导数甚至二阶偏导数构造搜索方向，如：梯度法、共轭方向法、牛顿法和变尺度DFP法等，计算工作量较大，依赖于函数本身的导数性质以及求导精度造成计算可靠性有时较差，但由于充分利用了函数的解析性质，收敛速度快。后者仅利用迭代的函数值构造搜索方向，如：坐标轮换法、单纯形法、共轭方向法、鲍威尔法等，对于函数解析性

质较差时非常有利，可靠性较高，但是收敛速度慢。

共轭方向法：共轭方向是优化设计中的一个重要概念，许多效

果较好的优化方法都是以共轭方向作为搜索方向的。对如图1所示的二维函数f(x1,x2)，任意给某方向S1，按这个方向的两条平行线进行一维搜索的极小点为X(1)和X(2)，它们应该是方向为S1的两条平行线与目标函数值线的切点。连接两个X(1)和X(2)构成的向量为式

1-1.

图1二维函数的共轭方向

S2X(2)X(2) 1-1 可以证明，如果二维函数f(x1,x2)的Hessian矩阵H是正定的，则向量S1与向量S2满足条件1-2.具有这种性质的方向称为关于正定矩阵H的共轭方向。

S1THS20 1-2 推广到n维函数f(x1,x2,...,xn)，如果其Hessian矩阵为正定，一组非零向量S1,S2,...,Sn满足条件1-3.

SiTHSj0 （ij） 1-3

则向量系Si(i1,2,...,n)是关于其Hessian矩阵H共轭，即他们是n个相互共轭的方向。

对于正定二次n维函数，从任意初始点出发，沿着这n个共轭方向进行一维搜索，就可以得到目标函数的极小点X*。因此对于二次函数来说，经过n步搜索就可以达到正定二次n维函数的极小点X*，共轭方向法具有有限步收敛的特征，所以它是一种二次收敛算法。

共轭方向的生成方法：如图2所示，以三维二次函数

f(x1,x2,x3)为例，步骤如下：

(1).第1环搜索：初始搜索基本方向组S1(1),S2(1),S3(1)，通常取三个线性无关的坐标轴方向e1,e2,e3，任意选取初始点X0(1).

①从X0(1)出发，沿S1(1)e1[1,0,0]T方向搜索出fX的极小点

X1(1)；

② 从X1(1)出发，沿S2(1)e2[0,1,0]T方向搜索出fX的极小点

(1)X2；

③ 从X2(1)出发，沿S3(1)e3[0,0,1]T方向搜索出fX的极小点

X3(1)（第1环迭代终点）；

④ 将X0(1)到X3(1)的方向S(1)X3(1)X0(1)作为第1环新生方向，并从X3(1)出发，沿S(1)方向搜索出fX在第1环新生方向S(1)上的极小点

X(1)。

（2）第2环搜索：保留第1环基本搜索方向中的S(2)和S(3)，以第1环新生方向S1取代S1(1)作为该环最后一个方向S3(2)，得到第2基本搜索方向组S2(1)，S3(1) ，S

(1)

；将1环迭代极小点X(1)作为第2环搜

0=。

图2 三维目标函数共轭方向的构成方法示意图

①从X0

(2)

出发，沿S1(2)e1[0,1,0]T方向搜索出fX的极小点

X1(2)；

② 从X1(2)出发，沿S2(2)e2[0,0,1]T方向搜索出fX的极小点

(2)X2；

③ 从X2(2)出发，沿S3(2)S(1)方向搜索出fX的极小点X3(2)（第2环迭代终点）；

④ 将X0(2)到X3(2)的方向S(2)X3(2)X0(2)作为第2环新生方向，并从X3(2)出发，沿S(2)方向搜索出fX在第2环新生方向S(2)上的极小点X(2)。

（3）第3环搜索：保留第2环基本搜索方向中的S(2)和S(3)，以第1环新生方向S2取代S1(2)作为该环最后一个方向S3(2)，得到第3基本搜索方向组，S2(2)S3(2) ，S

(2)

；将2环迭代极小点X(2)作为第3环

0=。

①从X0

(3)

出发，沿S1(3)S2(2)[0,0,1]T方向搜索出fX的极小点

X1(3)；

② 从X1(3)出发，沿S2(3)S(1)方向搜索出fX的极小点X2(3)； ③ 从X2(3)出发，沿S3(3)S(2)方向搜索出fX的极小点X3(3)（第3环迭代终点）；

④ 将X0(3)到X3(3)的方向S(3)X3(3)X0(3)作为第3环新生方向，并从X3(3)出发，沿S(3)方向搜索出fX在第3环新生方向S(3)上的极小点X(3)。

可以证明：3环搜索产生的3个新生方向S()(1,2,3)是互为共轭的方向。对于三维函数，经过3环搜索即完成了一轮迭代，如果fX是正定二次函数，

则第3环搜索迭代极小点X(3)即为目标函数fX的极小点X*。以上方法可以推广至n维函数f(x1,x2,...,xn)。

例题 用共轭方向法MATLAB程序求解下列函数的最小值并用MATLAB命令进行结果比较，三个函数搜索初值X0[0,0]T。

①f(X)100(x1x25)(x1x2)

2

2

②f(X)100(x12)4(x12x2)2 ③f(X)

3212

x1x2x1x22x1 22

MATLAB程序：

1 2 fx2=@(x) (x(1)-2).^4+(x(1)-2*x(2)).^2;

3 fx3=@(x) 1.5*x(1)^2+0.5*x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1);

4 [ out X,out Y,count ] = ConjugateOpt(fx1,[5,5],1e-1,1e-6)Elapsed time is 0.232579 seconds.

5 Out X= 6 1.7913 7 1.7915 8 Out Y= 9 1.2959e-5 10 count = 11 14

12 [ out X,out Y,count ] = ConjugateOpt(fx2,[5,5],1e-1,1e-6) 13 Elapsed time is 0.138058 seconds. 14 Out X= 15 2.0513 16 1.0243 17 Out Y= 18 1.4058e-5 19 count = 20 8

21 [ out X,out Y,count ] = ConjugateOpt(fx3,[5,5],1e-1,1e-6) 22 Elapsed time is 0.072189 seconds. 23 Out X= 24 1.0003

25 0.9998 26 Out Y= 27 -1 29 count = 29 2

学习机械优化设计以前，总感觉企业的生产，人类日常生活中的劳动等都是一种简单的过程，总有一定的套路可循。但自接触了机械优化设计这门学科以后，让我认识到在人类的生产中，我们总是意向于得到我们最满意的效果，如加工零件怎样最省材料又不影响零件的加工，饭店厨师对于菜系的烹饪顺序等，看似很简单的问题，但其中却蕴藏着极大的智慧！就老师上课用以举例的割木材问题中怎样剧料使材料最省为例，细分下来积累的计算量足以令我们筛选一宿！总上的种种，就迫切的需要我们掌握一套系统的机械优化设计方法。翻阅相关书籍，才了解到机械优化设计虽然只有从近代到现在短短几十年的发展历史，但是其体系的迅速完善我想是其他学科难以企及的。

如今，机械优化方法也是各类决策方法中普遍采用的一种方法，机械优化设计作为一种现代化的设计方法已经广泛的机械设计中，并取得了良好的经济效益。在面对市场竞争日益激烈的大环境下，计算机处理技术日益改进，作为新产品的开发与改进环节中最重要的环节就在于如何大幅度的缩短产品的使用周期，如何提高新产品的设计质量，以及降低新产品的设计成本这些方面等对于企业缩减开发成本，更快的抢占同类产品的市场等具有决定性的作用！我们应当与时俱

进，跟上学科发展的势头，把机械优化设计作为学习生活中研究与关注的对象，在平时的处事中长存优化的思想。