自相关过程的残差控制图
清华大学学报(自然科学版) 2002年第42卷第6期
CN 11-2223/N J T singh ua Un iv (Sci &Tech ) , 2002, Vol. 42, No. 67/38
735-738
自相关过程的残差控制图
孙 静
(清华大学经济管理学院, 北京100084)
摘 要:常规控制图应用的基本假设是从过程得到的观测值彼此独立。但许多过程出现了自相关现象。该文分别运用单值控制图和残差控制图就受控状况和失控状况的观测值对案例进行了分析比较。结果表明:当过程存在自相关时, 运用残差控制图更合适, 但是, 当自相关参数大于0时, 残差控制图检测过程异常的灵敏性有待提高。对于在现代生产过程中自相关数据, 建议使用残差控制图, 来代替传统的控制图。
关键词:自相关过程; 控制图; 时间序列模型中图分类号:C 931. 1
文章编号:1000-0054(2002) 05-0735-04
文献标识码:A
CU SU M (累积和, cumulative sum ) 控制图和EW-MA (指数加权滑动平均, exponential weighted moving average) 控制图, 等等。控制图的一个基本
假设前提是:从过程获得的观测值彼此独立。但是, 观测值并不是都能够满足彼此独立的假设, 而是存在自相关现象
[2～7]
。
本文介绍了一种控制过程均值的常规控制图——单值(X ) 控制图和一种控制自相关过程——残差控制图, 运用这两种控制图对具体案例进行比较分析, 对自相关问题的解决提供指导。
1 单值(X ) 控制图
Residual char ts for autocorr elat ed processes
SU N J ing
(School of Economics and Management , Ts inghua University , Beij ing 100084, China )
Ab str act :A
basic
as sumption
in
stan dard
applications
of
设得到的观测值序列为X i , i =1, 2, …, n , 假设观测值彼此独立且服从N (L , R 2) 。观测值的波动通过计算移动极差来得到, 移动极差是相邻两个观
测值之差的绝对值, 记为R s 。移动极差为
R s i =ûX i -X i -1û, i =2, …, n .
平均移动极差为
-R s =
可证得:
L R s =
R , R R s =R P
2-. P
R s i ,
n -1∑i =1
n -1
conventional control charts is that obs ervations from the pr oces s at
different times are indepen dent rand om variables. But many manufacturing processes dis play inh erently autocorr elated behavior. T his paper in tr od uced an in dividual control chart for the process mean and a res idual ch art to control autocorrelated observations from in -control and out-of-control p roces ses. A cas e study shows that the residual ch art is more s uitable for autocorrelated process than the tr aditional control ch art. T he residual chart can detect out-of-control process es more quick ly wh en the autocor related process parameter is larger th an 0. For autocorrelated p roces s, a residual chart is suggested ins tead of tr aditional control ch arts. Key words :au tocorrelated process ;
an alys is
control char ts ;
time ser ies
若X 的分布已知, 即L , R 已知, 以下角标U CL, CL, LCL 分别表示控制上界、中值、下界, 则X 控制图的控制界限为:
X UCL =L +3R , X CL =L ,
(1)
X LCL =L -3R .
若L , R 未知, 则L , R 的估值为
收稿日期:2001-03-12
基金项目:国家自然科学基金资助项目(70002005) 作者简介:孙静(1970-) , 女(汉) , 江苏, 讲师。
控制图作为一种重要的统计过程控制工具, 被广泛用于实施过程控制、实现质量提升。多年来, 陆续提出了许多控制图以控制过程变化, 有常用的Shewhart 控制图, 如-X -R 控制图、-X -s 控制图、X -R s 控制图、p 控制图、np 控制图、c 控制图和u 控[
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d =-d =L X , R
-R s .
2
一个残差的均值为D , 但是自相关过程很快对偏移作出反应, 残差的均值变为D (1-
(2)
一个残差相比会变得非常小, 而难于检测出过程的偏移。导致这一结果的原因是AR (1) 模型对过程均值的变化作出了响应, 均值的部分变化反映在预测值中。由式(10) 可见, 当0时, 均值的变化对残差的影响减弱了; 当0时, 残差控制图的灵敏度会下降;
综上所述, 对自相关过程, 在
X 控制图的控制界限为:
X UC L =L +3R =-X +2. 66-R s ,
d =-X CL =L ≈L X ,
X LCL =L -3R =-X -2. 66-R s .
2 残差控制图
残差控制图(RES, residuals chart) 是运用时间
序列模型的残差来控制过程质量。简单而广为使用的
[7,8]
时间序列模型是一阶自回归模型AR (1) 模型:
X t -L =
1
t , -L ) +E (3)
其中:X t 是过程的观测值序列, L 是过程均值, E t 具有独立同分布且E t ～N (0, R E ) , -1
k =
^d 是准确的, 那 如果模型中系数的估值
k
2
3 案例分析
依次取过程均值和自相关参数
时, L =0,
3. 1 受控过程的控制(L =0)
1) 单值控制图(
X t =0. 5X t -1
么, 残差为
^d (1-^
R t =X t -L
(5)
t 可用残差来近似, 此时残差的自相关性已微不足E
道。R t 在控制图上打点构成了一张残差控制图, 其
残差控制图的控制界为:
R UCL =3, R CL =0, R LC L =-3.
d t 如下式假设系数估值是准确的, 那么, 预测值X 所示
d t =L (1-
(6)
不失一般性, 令X 0=L 。
现考虑由于异常原因的影响使过程均值发生变化的情况。考虑到均值随时间变化, 对式(3) 进行修改, 为
X t =L t -
假设在两个观测值之间过程均值从L 变为L +D 。不失一般性, 假设过程变动发生在时刻t =0和t =1之间, 那么, 残差序列为:
d 1=[L +D -
若假设过程均值不再继续发生变化, 那么, 残差R t
+E t ,
2
其中:E t 独立同分布, 服从E t ～N (0, R 不失一般E ) 。
性, 取R E =1。对仿真得到的数据做单值(X) 控制图, 因L , R 未知, 由式(2) 来计算出控制图的控制界为:X UC L =2. 296; X CL =-0. 146; X LCL =-2. 589.
参见图1a 。
从图1a 可见, 第21点、77点、84点因出上控制界而作出过程均值增大的判断, 第26点因出下控制界而作出过程均值减小的判断, 另外, 使用“三点中两点接近控制界”这条判异准则, 41, 43, 45, 46点和90, 91, 92点都因为频频接近下控制界而作出过程均值减小的判断, 60, 61点和78, 79点因频频接近上控制界而作出过程均值增大的判断。而实际情况却是过程处于受控状态, 因此上述判断都属误判, 虚发警报。故, 印证了当过程存在自相关时, 使用常规控制图会带来大量的误判信息, 给实际质量控制工作带来误导, 控制图的使用效果大为减低。
2) 单值控制图(
仿真数据由下式得到
X t =-0. 5X t -1+E t .
利用式(2) 仿真数据计算出单值控制图的控制界为:X ,
t , t =1;
1.
(10)
,
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见图1b 。
由图1b 可见, 不论是运用“点出界判异”准则还是“界内点排列不随机判异”准则, 都无一点判断过程异常。但是, 比较图1a 和图1b 会发现:图1b 的上下控制界之间间隔3. 785+3. 908=7. 693要比图1a
的2. 296+2. 589=4. 887大得多, 漏发警报的可能性加大。
3) 残差控制图
利用式(5) 计算出残差序列, 在控制界为3, 0, -3的控制图上打点, 如图1c
所示。
图1 受控过程的控制图
对于受控过程, 无论
3. 2 失控过程(L ′=L +D =1, 即D =1) 的控制
1) 单值控制图(
X 1=L +D +0. 5(X 0-L ) +E 1=
D +0. 5X 0+E 1, t =1;
t =X t =L +D +0. 5(X t -1-L -D ) +E
运用单值控制图仿真数据进行控制, 其控制界选用过程处于受控状态时单值控制图的控制界:X UC L =3. 785; X C L =-0. 062; X LCL =-3. 908。
从图2b 可见, 第2点到第20出现了长达19点的链, 进而, 第21点落在上控制界外, 这一切都显示
过程均值增大, 过程出现异常。
3)
由式(10) 可计算出残差序列, 在控制界为3, 0, -3的控制图上打点。
运用残差控制图, 从第75点到第87点出现长达13点的链, 显示过程出现异常, 过程均值增大。
4)
由式(10) 可计算出残差序列, 在控制界为3, 0, -3的控制图上打点。
运用残差控制图, 第4点落在上控制界外, 显示过程均值增大, 过程出现异常。3. 3 结果分析
对于自相关参数1.
运用单值控制图对仿真数据进行控制, 其控制界选用过程处于受控状态时单值控制图的控制界:X UC L
=2. 296; X C L =-0. 146; X LCL =-2. 589。
从图2a 可见, 第4点落在上控制界外, 显示过程出现异常, 过程均值增大。但是, 由于在过程受控时, 单值控制图也频频出现了点出界的现象, 而作出过程异常的判断。所以, 当发现第4点落在上控制界外时, 必须先判断此异常是否为虚发警报。
2) 单值控制图(
仿真数据由下式得到
X 1=L +D -0. 5(X 0-L ) +E 1=
D -0. 5X 0+E 1, t =1;
X t =L +D -0. 5(X t -1-L -D ) +E t =1-
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图2 失控过程的控制图
对于自相关参数
综上所述, 当过程存在自相关时, 使用残差控制图比传统的控制图更合适。
[2][3]
SUN jing. Quality Control for Near Zero Non-Conformity Process es [M].B eijing:Ts inghua U nivers ity Pres s, 2001. (in Ch ines e)
Zhang N F. A statis tical control ch art for s tationary p roces s data [J].T echnometrics , 1998, 40:24
38.
Awin R W, Lee S J. T he effects of autocorr elation and outliers on two-sided tolerance limits [J].J Quality T ech , 1999, 31:286[4]
Adams B M, 339. [5]
Atienza O O, T ang L C, Ang B W. A SPC procedur e for detectin g level s hifts of autocorrelated proces ses [J].
Quality T ech , 1998, 30:340[6][7]
351.
409.
Boyles R A. Ph as e I analys is for au tocorrelated processes [J ].J Quality Tech , 2000, 32:395Box G E P,
Jenkins G M.
T imes Series Analys is,
J
300. Ts eng I.
Robus tnes s of forecas t-b as ed
4 结 论
控制图作为寻找和保持过程受控状态的重要工具, 已成为实现6R 质量水平的基本方法。在质量要求严格的行业中, 生产过程中数据自动采集、关键工序100%检测已经越来越普遍, 也就不断地暴露出控制图在处理数据自相关问题时存在着严重的缺陷, 因此, 对于这些收集到的存在着自相关现象的大量数据, 建议使用残差控制图代替传统的控制图。
参考文献 (Refer ences )
[1]
孙静. 接近零不合格过程的质量控制[M].北京:清华大学出版社, 2001.
m on itorin g schemes [J ].J Quality Tech , 1998, 30:328
Forecasting and Control [M ].Oak land, CA:Holden Day, [8]
1976.
Box G E P, Jenkins G M, Reins el G C. Tim es Series An alys is, Forecasting and Control [M ].Englewood Cliffs, NJ :Prentice-Hall, 1994.