2014-高等代数(下)期末复习

第六章 线性空间

一 线性空间的判定

线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．

若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。

例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

解： 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如

（）+（-x -2）=3。 x +5

2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。

当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有

'=A+B'=-A-B=-(A+B'（A+B）） ，即A+B仍是反对n n

称矩阵。

'=k 'A =（-k ）=A -（k ）A （k A ），所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。

例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。

而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基 维数 坐标

定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量α1, α2, , αn 使得：V 中任一向量α都可由α1, α2, , αn 线性表示，那么，α1, α2, , αn 就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。记作dim V =n 。维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。 定义（向量的坐标）：设α1, α2, , αn 是线性空间V n 的一个基。对于任一元素α∈V n ，总有且仅有一组有序数x 1, x 2, , x n , 使

α=x 1α1+x 2α2+ +x n αn

则x 1, x 2, , x n 这组有序数就称为元素a 在基底 α1, α2, , αn 下的坐标，并记作x =(x 1, x 2, , x n ) T

例： 在线性空间R 2⨯2中，

⎛1A 1= ⎝0

⎛0A 3= ⎝0

任一2阶矩阵 0⎫⎛0⎪, A 2= 0⎭⎝11⎫⎛0⎪, A 4= 0⎭⎝00⎫⎪, 0⎭0⎫⎪1⎭ 就是R 2⨯2的一个基。R 2⨯2的维数为4.

⎛a c ⎫A = ⎪=aA 1+bA 2+cA 3+dA 4 ⎝b d ⎭

因此A 在A 1, A 2, A 3, A 4这个基下的坐标为

(a , b , c , d )T 。

若另取一个基

⎛10⎫⎛10⎫⎛11⎫⎛11⎫。 B 1= ⎪, B 2= ⎪, B 3= ⎪, B 4= ⎪⎝00⎭⎝10⎭⎝10⎭⎝11⎭则

⎛a c ⎫A = ⎪=(a -b ) B 1+(b -c ) B 2+(c -d ) B 3+dB 4⎝b d ⎭

因此A 在B 1, B 2, B 3, B 4这个基下的坐标为

(a -b , b -c , c -d , d )T 。

例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基

底和维数。

3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。E ij +E ji (1≤i ≤j ≤n ) 即为它的一组n (n +1) n (n +1) 基。共1+2+ +n =2个，维数是2

ε1=(1,1,1,1),ε2=(1,1,-1, -1), 例：设 ε=(1,-1,1-1), ε=(1,-1, -1,1), ξ=(1,2,1,1)。

34

4P 在中，求向量ξ在基ε1, ε2, ε3, ε4下的坐标。

设有线性关系ξ=a ε1+b ε2+c ε3+d ε4，

⎧a +b +c +d =1⎪a +b -c -d =2⎪

则⎨⎪a -b +c -d =1，

⎪⎩a -b -c +d =1

可得ξ在基ε1, ε2, ε3, ε4下的坐标为

5111a =, b =, c =-, d =-。 4444

4P 例：在中，由齐次方程组

⎧3x 1+2x 2-5x 3+4x 4=0⎪⎨3x 1-x 2+3x 3-3x 4=0 ⎪3x +5x -13x +11x =0234⎩1

确定的解空间的基与维数。

解：对系数矩阵作行初等变换，有

⎛32-54⎫⎛32-54⎫⎛32-54⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 3-13-3⎪→ 0-38-7⎪→ 0-38-7⎪ 35-1311⎪ 03-87⎪ 0000⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以解空间的维数是2，它的一组基为

⎛27⎫⎛18⎫ a 1= -9, 3, 1, 0⎪，a 2= 9, 3, 0, 1⎪。 ⎝⎭⎝⎭

例：设V 1与V 2分别是齐次方程组

x 1+x 2+... +x n =0, x 1=x 2=... =x n -1=x n 的解空间，证明：

P n =V 1⊕V 2.

证： 由于x 1+x 2+... +x n =0的解空间是n －1维的，其基为α1=(-1, 1, 0,..., 0), α2=(-1, 0, 1,..., 0),..., αn -1=(-1, 0, 0,..., 1) 而由 x 1=x 2=... =x n -1=x n 知其解空间是1维的，令

1). 且α1, α2,..., αn -1, β即为P n 的x n =1, 则其基为β=(1, 1,...,

n P =V 1+V 2. 一组基，从而

n 又dim(P ) =dim(V 1) +dim(V 2) ，（也可由交为零向量知） n P =V 1⊕V 2. 故

三、基变换与坐标变换

基变换：设α1, α2, , αn 及β1, β2, , βn 是线性空间V n 中的两个基，若

⎧β1=a 11α1+a 21α2+ +a n 1αn ⎪β=a α+a α+ +a α⎪2121222n 2n ⎨ ⎪⎪⎩βn =a 1n α1+a 2n α2+ +a nn αn

或简记为

(β1, β2, , βn )

⎛a 11a 12 a 1n ⎫ ⎪a a a α, α, , α21222n ⎪ =（12n ） ⎪ ⎪ a ⎪a a ⎝n 1n 2nn ⎭

=（α1, α2, , αn ）A （☆）

则矩阵A 称为由基α1, α2, , αn 到基β1, β2, , βn 的过渡矩阵。 （☆）式称为基变换公式.

坐标变换： 设V n 中的元素α，在基α1, α2, , αn 下的坐标为(x 1, x 2, , x n )，在基β1, β2, , βn 下的坐T

标为(y 1, y 2, , y n )。若两个基满足关系式（6-2），T

则有坐标变换公式

⎛x 1⎫⎛y 1⎫⎛y 1⎫⎛x 1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 2⎪ y 2⎪ y 2⎪-1 x 2⎪A ， 或=A = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪⎪ y ⎪⎪ y ⎪⎪ x ⎪⎪⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭

第七章 线性变换

一、线性变换的定义

线性空间V 到自身的映射称为V 的一个变换. 定义： 线性空间V 的一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素α, β和数域P 中任意数k ，都有

A (α+β)=A (α)+A (β);

A (k α)=A k (α).

一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A

(α) 或A α代表元素α在变换A 下的像.

例 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V 中，A ξ=ξ+α, 其中α∈V 是一固定的向量；

2） 在线性空间V 中，A ξ=α其中α∈V 是一固定的向量；

22(x , x , x ) =(x , x +x , x 1233) ； 3） 在P 中，A 1233

4） 在P 中，A (x 1, x 2, x 3) =(2x 1-x 2, x 2+x 3, x 1) ； 3

解： 1) 当α=0时, 是; 当α≠0时, 不是。

2) 当α=0时, 是; 当α≠0时, 不是。

3) 不是.

例如当α=(1, 0, 0) , k =2时, k A (α) =(2, 0, 0) , A (k α) =(4, 0, 0) ,

A (k α) ≠ k A(α) 。

4) 是. 因取α=(x 1, x 2, x 3), β=(y 1, y 2, y 3) , 有

A (α+β) = A(x 1+y 1, x 2+y 2, x 3+y 3)

=(2x 1+2y 1-x 2-y 2, x 2+y 2+x 3+y 3, x 1+y 1)

=(2x 1-x 2, x 2+x 3, x 1) +(2y 1-y 2, y 2+y 3, y 1) = Aα+ Aβ，

A (k α) = A (kx 1, kx 2, kx 3)

=(2kx -kx , kx +kx , kx ) 12231

= =(2kx 1-kx 2, kx 2+kx 3, kx 1) k A (α) ，

3故A 是P 上的线性变换。

二、线性变换关于基的矩阵

定义： 设ε1, ε2, , εn 是数域P 上

像可以被基线性表出： n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的

⎧A ε1=a 11ε1+a 21ε2+ +a n 1εn , ⎪A ε=a ε+a ε+ +a ε, ⎪2121222n 2n ⎨ ⎪ ⎪⎩A εn =a 1n ε1+a 2n ε2+ +a nn εn . 用矩阵表示就是

A （ε1, ε2, , εn ）=（A (ε1) ，A (ε2) ，„， A (εn ) ）

=(ε1, ε2, , εn ) A

其中

⎛a 11a 12 a 1n ⎫ ⎪ a 21a 22 a 2n ⎪A = ⎪ ⎪ a ⎪a a n 2nn ⎭⎝n 1

矩阵

阵.

定理： 设线性变换A 在基 A 称为线性变换A 在基ε1, ε2, , εn 下的矩

ε1, ε2, , εn 下的矩阵是A ，向量ξ在基ε1, ε2, , εn 下的坐标是(x 1, x 2, , x n ) , 则A ξ在基ε1, ε2, , εn 下的坐标(y 1, y 2, , y n ) 可以按公式

⎛y 1⎫ ⎪ y 2⎪ ⎪=

⎪ y ⎪⎝n ⎭

计算. ⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪A ⎪ ⎪ x ⎪⎝n ⎭

例： 在空间P [x ]n 中，线性变换

D f (x ) =f '(x ) x 2x n -1

在基1, x , 2! , , (n -1)! 下的矩阵是

0 0⎫⎛01 ⎪ 001 0⎪

D = ⎪ ⎪ 0 1⎪ 00 00⎪0 0⎝⎭

三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.

线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的. 一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵. 为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.

定理：设线性空间V 中线性变换A 在两组 ε1, ε2, , εn （6）

η1, η2, , ηn (7)

下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到（7）的过渡

-1矩阵是X ，于是B =X AX .

定理告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系为相似.

A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得定义： 设B =X AX ，就说A 相似于B ，记作A ~B . -1

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：

1. 反身性：A ~A

A ~B ，那么B ~A . 2. 对称性：如果

3. 传递性：如果A ~B , B ~C , 那么A ~C .

线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质.

如果B 1=X A 1X

-1

-1-1, B 2=X A 2X ，那么 B 1+B 2=X (A 1+A 2) X

B 1B 2=X (A 1A 2) X

由此可知，如果B

一多项式，那么 -1, =X AX

-1-1，且f (x ) 是数域P 上f (B ) =X

3f (A ) X 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：R 上的线性变换T 在基

⎛121⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪A =012α1= 0, α=1, α=0 ⎪ ⎪1 ⎪1 ⎪下的矩阵为 1-11⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

则基在α1,2α2, α3下的矩阵为（ A ）

⎛141⎫ ⎪011（A ） ⎪ 1-21⎪⎝⎭

⎛121⎫ ⎪101⎪ （C ） 2⎪ 1-11⎪⎝⎭

3 ⎛141⎫ ⎪044（B ） ⎪ 1-21⎪⎝⎭ ⎛242⎫ ⎪024⎪ （D ） 2-22⎪⎝⎭例：已知P 中线性变换A 在基

η1=(-1,1,1),η2=(1,0,-1),

⎛101⎫ ⎪ 110⎪， -121⎪⎝⎭η3=(0,1,1)下的矩阵是求A 在基

ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)下的矩阵。

解：因为(η1, η2, η3)=(ε1, ε2，ε⎛-110⎫ ⎪01⎪，所以 3) 1

1-11⎪⎝⎭

⎛-11-1⎫ ⎪εηεεηη01-1(1, 2，3)=(1, 2, 3) ⎪=(η1, η2, η3) X ， 101⎪⎝⎭

故A 在基ε1, ε2，ε3下的矩阵为

B =X AX -1⎛-110⎫⎛101⎫⎛-11-1⎫⎛-11-2⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= 101⎪ 110⎪ 01-1⎪= 220⎪。

1-11⎪ -121⎪ 101⎪ 302⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

四、线性变换的特征值和特征向量

定义： 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中一数λ, 存在一个非零向量ξ, 使得

A ξ=λξ （1）

那么λ称为A 的一个特征值, 而ξ叫做A 的属于特征值λ的一个特征向量.

如果ξ是线性变换A 的属于特征值λ的特征向量，那么ξ的任何一个非零倍数k ξ也是A 的属于特

征值λ的特征向量. 这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的. 相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.

特征值与特征向量的求法：确定一个线性变换A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：

1. 在线性空间V 中取一组基

ε1, ε2, , εn ，写出A 在这组基下的矩阵A ；

2. 求出A 的特征多项式λE -A 在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；

3. 把所求得的特征值逐个地代入方程组

⎛x 1⎫ ⎪x 2⎪ (λE -A ) =0 ⎪ （☆），对于每一个特 ⎪⎝x n ⎭

征值，解方程组（☆），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基ε1, ε2, , εn 下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.

A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程组（☆）的解也就称为A 的属矩阵

于这个特征值的特征向量.

例 设线性变换A 在基ε1, ε2, ε3下的矩阵是

⎛122⎫

A = 212⎪

⎪

⎝221⎪⎭,

求A 的特征值与特征向量.

例 设矩阵A 为

⎛142⎫

A = 0-34⎪

⎪

⎝043⎪,

⎭

(1)问A 能否相似于对角阵？（2）若能，求一个可逆矩阵P ，使得P -1AP 为对角阵.

例 在空间P [x ]n 中，线性变换

D f (x ) =f '(x ) , x 2x n -1

在基1, x 2! , , (n -1)! 下的矩阵是

⎛ 010 0⎫

001 0⎪

⎪

D = ⎪

000 1⎪⎪

⎝000 0⎪⎭

D 的特征多项式是

λ

0-10 0n λ00-1 00 -10 λ. λE -D = =λ

D 的特征值只有0. 通过解相应的齐次线性方程因此，

组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.

五、线性变换的值域与核

定义：设A 是线性空间V 的一个线性变换，A 的全体像组成的集合称为A 的值域，用A V 表示. 所有被A 变成零向量的向量组成的集合称为A 的核，用-1A (0) 表示.

若用集合的记号则

A V ={A ξ|ξ∈V },

ξ|A ξ=0, ξ∈V } A -1(0) ={

线性变换的值域与核都是V 的子空间.

A V 的维数称为A 的秩，A (0) 的维数称为A 的零度.

-1

第九章 欧氏空间

一、欧氏空间举例

例1 在线性空间R 中, 对于向量 n

α=(a 1, a 2, , a n ) ,

β=(b 1, b 2, , b n ) ,

定义内积

(α, β) =a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n . (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样R 就成为一个欧几里得空间. 仍用来表示这个欧几里得空间.

n R 例2 在里, 对于向量 n

α=(a 1, a 2, , a n ) , β=(b 1, b 2, , b n ) 定义内积

(α, β) =a 1b 1+2a 2b 2+ +na n b n . 则内积(1)适合定义中的条件，这样R 就也成为一个欧几里得空间.

对同一个线性空间可以引入不同的内积, 使得它作成不同的欧几里得空间.

例3 在闭区间[a , b ]上的所有实连续函数所成的空间C (a , b ) 中, 对于函数f (x ), g (x ) 定义内积 n

(f (x ), g (x )) =⎰a f (x ) g (x ) dx b .

C (a , b ) 构成一个欧几里得空间.

柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量α, β有

(α, β) ≤αβ

当且仅当α, β线性相关时，等式才成立.

对于例1的空间R ，(5)式就是 n

a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ≤

a 1+a 2+ +a n b 1+b 2+ +b n . 对于例2的空间C (a , b ) ，(5)式就是

⎰a f (x ) g (x ) dx ≤

要求：正交矩阵的定义、判断、性质

定理：对于任意一个n 级实对称矩阵，A 都存在正交矩阵T ，使T

n n b (⎰f b a 2(x ) dx (⎰g (x ) dx b 2a 1212-1AT =T 'AT =Λ成对角形。 定理：任意一个实二次型 ∑∑a ij x i x j , a ij =a ji

i =1j =1

都可以经过正交的线性替换变成平方和

2λ1y 12+λ2y 22+ +λn y n ,

其中平方项的系数λ1, λ2, , λn 就是矩阵A 的特征多项式全部的根

注意：正定矩阵的判断与性质 正定二次型的判断（列举判断条件）

二．例题选讲

例． 求齐次线性方程组

⎧2x 1+x 2-x 3+x 4-3x 5=0⎨⎩x 1+x 2-x 3+x 5=0

的解空间的一组标准正交基。

解： 首先可求得基础解系为

α1=(1, 0, 0, -5, -1)

α2=(0, 1, 0, -4, -1)

α3=(0, 0, 1, 4, 1)

的交化得

β1=(1, 0, 0, -5, -1)

712β2=(-, 1, 0, -, -) 999

76121β3=(, , 1, , ) =(7, 6, 15, 1, 2) 1515151515

单位化得

31η2=(-7, 9, 0, -1, -2) 31η3=(7, 6, 15, 1, 2) 3 η1=1(1, 0, 0, -5, -1)

η1, η2, η3即为所求的标准正交基。