[概率论与数理统计]期末试题一及答案

《概率论与数理统计》期末试题一

班级 姓名 学号 作业号

一、

填空题（每小题4分，共40分）

1、 设A与B为互不相容的两个事件，P(B)0，则P(A|B)。

2、 事件A与B相互独立，P(A)

0.4,P(AB)0.7,

则 P(B)

3、 设离散型随机变量X的分布函数为

0 x1

F(x) a 1x1

且P(X

2)

12

23

a 1x2

ab

16

x2

56

，则a,b。

4、 某人投篮命中率为

5、 设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，p0.4；Y服从

(2)，则E(XY)____2.4_______,

2

45

，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___

4625

________。

的泊松分布

D(XY)____2.24_______.

6、 已知D(X)16,D(Y)9,XY

13

, 则D(X2Y)___36___.

7、 设总体X服从正态分布N(0,

XX

2123

2

),

从总体中抽取样本X1,X2,X3,X4,则统计

量

XX

2224

服从_______F(2,2)______________分布。

8、 设总体X服从正态分布

N(



,1),

其中为未知参数，从总体X中抽取容量为

16的样本，样本均值X5,则总体均值的95%的置信区间为________。（u0.9751.96）

9、 在假设检验中，显著性水平是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指

___原假设为真却拒绝原假设____________。 10、

若

X~N(1,

21

),Y~N(2,

22

)

，且X与Y相互独立，则ZXY服从

______N(12,1222)______分布。

二、

计算题（每小题10分，共60分）

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽

样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；

（3）第二次取出的是次品。

解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：

C6C2C＝

2

81

1



37

…………………

（2）第二次才取得次品的概率为：

6287

314

………………………

（3）令A1表示“第一次取出的是正品” ，A2表示“第一次取出的是次品” B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为：

P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)

2768172814

……………………………

2、 （10分）设随机变量X的概率密度

f(x)

Ax1

0x2

0 其它

求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5x2.5}. 解：（1）由f(x)dx1可得，(Ax1)dx1A



2

12

………………

所以，

f(x) 

12

x1 0x2

0 其它

（2）F(x) 0， x0 

14

xx， 0x2 ………………….

2

1 x2

（3）P{1.5x2.5}

3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为

0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。 解：（1）X和Y的联合分布律为：

P(Xm,Yn)C2(0.2)(0.8)m,n分别为0,1,2。

m

m

2m



2

1.5

(

12

x1)dx

116

…………………..

C2(0.5)(0.5)

nn2n



125

C2C24

mn(1m)

………………………………… （2）X和Y的边缘分布律。

由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为： P(Xm)C2(0.2)(0.8)

P(Yn)C2(0.5)(0.5)

n

n

2nm

m

2m

，m0,1,2。

，n0,1,2。……………

4、 （10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为 18

(xy), 0x2,0y2

f(x,y)

0， 其它

(X,Y)

求：（1）E(X) （2）D(X) （3）E(XY) （4）COV

解：（1）E(X)



22

x

2

18

2

(xy)dxdy

76

……………………

53

E(X)

2

（2）



2

x

18

(xy)dxdy

2

,

D(x)E(X)(E(X))

2

2

2



5

7211

()3636

43

…………

（3）E(XY) （4）E(Y)

2



020

xy18

18

(xy)dxdy

76

……………………



y(xy)dxdy

437676

136

COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

……………………….

5、 （10分）设总体X的概率密度为 x

f(x)

1

, 0x1

0， 其它

（1） 求的最大似然估计量；（2）求的矩估计量。

n

解：（1）似然函数为：L(x1,x2,...,xn;)xi

i1

1

(xi)

i1

n

n

1

,0xi1

……………………………

n

取对数为：lnLnln(1)lnxi……………………….

i1

由

dlnLd

0得，

n

n





i1

lnxi0

n

n

i

lnx

i1

………………………… ˆ 则的最大似然估计量为：

n

n

。………

i

lnX

i1

1

（2）EX



xx

1

dx

1

………………………………

ˆ 由EXX得，的矩估计量为：

X1X

……………

6、 （10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082)，现测得9炉铁水

的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（

0.05

）？（注：u0.951.645,u0.9751.96,

t0.975(8)2.3060,t0.95(8)1.8595）

解： H0:4.55, H1:4.55………………… 在原假设成立的条件下，

已知0.05, 则 u

1

X4.550.108/

n

~N(0,1)………………

2

1.96，由n9得拒绝域为：

{|

X4.550.108/3

|1.96}……………………………

当X4.484时，|

X4.550.108/3

|

116

1.831.96………………

所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。