高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
专题六、解析几何(一)
直线和圆
1. 直线方程:y =kx +t 或ax +by +c =0
2. 点关于特殊直线的对称点坐标:
(1)点A (x 0, y 0) 关于直线方程y =x 的对称点A '(m , n ) 坐标为:m =y 0,n =x 0; (2) 点A (x 0, y 0) 关于直线方程y =x +b 的对称点A '(m , n ) 坐标为: m =y 0-b ,n =x 0+b ;(3)点A (x 0, y 0) 关于直线方程y =-x 的对称点A '(m , n ) 坐标为:m =-y 0,n =-x 0; (4)点A (x 0, y 0) 关于直线方程y =-x +b 的对称点A '(m , n ) 坐标为:n =-x 0+b ; m =-y 0+b ,
3. 圆的方程:。 (x -a )+(y -b )=r 或x 2+y 2+Dx +Ey +F =0D 2+E 2-4F >02
2
2
()
4. 直线与圆相交:
(1:
l =2r 2-d 2(d 为圆心到直线的距离),该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后,化简为:ax +bx +c =0,其判别式为∆,则
l =2
1-x 2=
b 2c ∆
=+k 2-)-4=+k 2
a a a
注意:不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长,只要设出它们的坐标即可,
化运算,降低思考难度,在解析几何中具有十分广泛的应用。 5. 圆的切线方程: (1)点在圆外:
如定点P (x 0, y 0),圆:(x -a )+(y -b )=r ,[(x 0-a )+(y 0-b )>r ]
2
2
2
2
2
2
第一步:设切线l 方程y -y 0=k (x -x 0);第二步:通过d =r ,求出k ,从而得到切线方程,这里的切线方程的有两条。特别注意:当k 不存在时,要单独讨论。 (2)点在圆上:
若点P (x 0,y 0)在圆(x -a )+(y -b )=r 2
2
2
(x -x 0)(x 0-a ) +(y -y 0)(y 0-b ) =0⇒(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2。
点在圆上时,过点的切线方程的只有一条。 由(1)(2)分析可知:过一定点求某圆的切线方程,要先判断点与圆的位置关系。
(3)若点P (x 0,y 0)在圆(x -a )+(y -b )=r 2外,即(x 0-a )+(y 0-b )>r 2,
过点P (x 0,y 0)的两条切线与圆相交于A 、B 两点,则AB 两点的直线方程为:
2222
(x 0-a )(x -a ) +(y 0-b )(y -b ) =r 2。
6. 两圆公共弦所在直线方程:
圆C 1:x +y +D 1x +E 1y +F 2=0, 1=0,圆C 2:x +y +D 2x +E 2y +F 则(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0为两相交圆公共弦方程。 7. 圆的对称问题:
(1)圆自身关于直线对称:圆心在这条直线上。
(2)圆C 1关于直线对称的圆C 2:两圆圆心关于直线对称,且半径相等。 (3)圆自身关于点P 对称:点P 就是圆心。
(4)圆C 1关于点P 对称的圆C 2:两圆圆心关于点P 对称,且半径相等。
2
2
2
2
例1. 已知直线ax +by +c =0中的 a ,b ,c 是取自集合{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,则这样的直线共有_______条。
例2. 已知圆C :x 2+(y -4) 2=4,直线l :(3m +1) x +(1-m ) y -4=0 (Ⅰ)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长;
(Ⅱ)已知坐标轴上点A (0,2)和点T (t ,0)满足:存在圆C 上的两点P 和Q ,使得TA +TP =TQ ,求实数t 的取值范围.
变式训练:
1. 直线2ax +(a 2+1) y -1=0的倾斜角的取值范围是____________ 2. 若kxy -8x +9y -12=0表示两条直线,则实数k =__________
3. 若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2,则这样的直线有____条。 4. 直线l 过P (1,2),且A (2,3),B (4,﹣5)到l 的距离相等,则直线l 的方程是_________________ 5. 若直线l 1:ax +2y +a +3=0与l 2:x +(a +1) y +4=0平行,则实数a 的值为________ 6. 过点P (3,0)有一条直线l ,它夹在两条直线l 1:2x ﹣y ﹣2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段恰被点P 平分,则直线l 方程为____________________
7. 过点(5,2) ,且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________________ 8. (2007湖北)已知直线
x y
+=1(a ,b 是非零常数)与圆x 2+y 2=100有公共点,且 a b
公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有_______________条。
9. 数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若△ABC 的顶点A (2,0),B (0,4),且△ABC 的欧拉线的方程为x -y +2=0,则顶点C 的坐标为( ) A. (﹣4,0) B . (﹣4,﹣2) C. (﹣2,2) D . (﹣3,0)
10. 已知直线l 过点P (-4, 1) ,且与直线m :3x -y +1=0的夹角为直线l 的方程为_________________________
11. 已知∆ABC 的三个顶点为A (2, 1), B (6, 1), C (5, 5) , 则∠A 的平分线所在直线的方程为________________
3, 10
12. 若点P (m ﹣2,n+1),Q (n ,m ﹣1)关于直线l 对称,则直线l 的方程是__________________ 13. 直线x-y-2=0关于直线x+y+1=0对称的直线方程__________________
14. (2012全国)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE=BF=
3
,7
动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A.16 B .14 C .12 D .10
15. 如图,点A 、B 、C 的坐标分别为(0,2),(﹣2,0),(2,0),点M 是边AB 上异于A 、B 的一点,光线从点M 出发,经BC ,CA 反射后又回到起点M .若光线NT 交y 轴于点(0),则点M 的坐标为______________
2
3
16. (2016金山区一模)已知点P 、Q 分别为函数f (x ) =x +1(x ≥0) 和g (x ) =的点,则点P 和Q 两点距离的最小值为____________
17. 在Rt △ABC 中,AB=2,AC=4,∠A 为直角,P 为AB 中点,M 、N 分别是BC ,AC 上任一点,则△MNP 周长的最小值是____________
2
x -1图像上
18. 直线(2k -1) x -(k +3) y -k +11=0所经过的定点坐标为_________
19. 曲线C 1:
x y x y
-=1|与曲线C 2:+=1|所围成的图形面积为_________ 4282
20. 点P 在△ABC 内部(包含边界),|AC|=3,|AB|=4,|BC|=5,点P 到三边的距离分别是d 1,d 2,d 3,则d 1+d2+d3的取值范围是____________
21. 已知P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆上一点,过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M ,则点M 的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 圆 C . 双曲线 D . 双曲线的一支
22. 已知圆C 满足:①截y 轴所得的弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l :x ﹣2y=0的距离为
2
2
;则圆C 的方程为______________________ 5
23. 设集合A={(x , y ) x +y ≤x +y },则集合A 所表示图形的面积为___________
22
24. 已知圆C :x +y -4x -2y +1=0,直线l :3x -4y +k =0圆上存在两点到直线l 的距
离为1,则k 的取值范围是___________ 25. 已知a≠b,且a sin θ+a cos θ-
2
π
4
=0,b 2sin θ+b cos θ-
π
4
=0,则连接两点(a ,a 2),
(b ,b 2)的直线与圆心在坐标原点的单位圆的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
26. 已知圆C :(x -1) 2+(y -1) 2=1,点P 为直线l :3x +4y +1=0上的一动点,若在圆C 上存在点M 使得∠MPC=30°,则点P 横坐标的取值范围________________
27. 已知⊙O 1:则两圆公切线的方程为________ x 2+y 2=144与⊙O 2:x 2+30x +y 2+216=0,28. 过圆x 2+y 2=1外一点M (2, 3) ,作这个圆的两条切线MA 、MB ,切点分别是A 、B ,则直线AB 的方程为_______________
29. 圆C 的方程为(x -2) 2+y 2=4,圆M 的方程为(x -2-5cos θ) 2+(y -5sin θ) 2=1,过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ,切点分别为E 、F , 则PE ⋅PF 的最小值为________________
30. 设P (x , y )为圆x +(y -1)=1上的任一点,欲使不等式x +y +c ≥0恒成立,则c 的取值
2
2
范围是____________
31. (2005江西)如图,设抛物线C :y=x2的焦点为F ,动点P 在直线l :x ﹣y ﹣2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程; (2)证明:∠PFA=∠PFB .
(0,a )32. 如图,过点A 作直线l ,交圆M :(x -2) +y =1于点B 、C ,在BC 上取一点P ,
使P 点满足AB =λAC ,BP =λPC . (1)求动点P 的轨迹方程;
(2)若点P 的轨迹交圆M 于点R 、S ,求△MRS 面积的最大值.
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