三对角行列式计算公式[精品]
第18卷第2期2002年4月
工 科 数 学
JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY
.18,№.2Vol
Apr.2002
三对角行列式及其应用
杨胜良
(甘肃工业大学应用数学系,兰州730050)
[摘 要]利用递归方程得到了计算三对角行列式的一般方法,研究了三对角行列式在线性代数及组合数学中的应用.
[关键词]三对角行列式;递归方程;Fibonacci数列
[中图分类号]O151 [文献标识码]C [文章编号]100724120(2002)0220102203
形如
bc
Dn=
abc
ab
…
……
000
000
000000
的n阶行列式叫做三对角行列式,它的特殊形式是
x+y
xyx+y
ω …b…c……
00
ab
xyx+y
00
1
dn=
…00
.
ω 000…x+yxy000…1x+y
我们先来计算dn.显然,d1=x+y,d2=(x+y)2-xy=x2+xy+y2.当n≥3时,由行列式的展开定理,dn=(x+y)dn-1-xydn-2,即dn-xdn-1=y(dn-1-xdn-2),反复应用这个递推关系,得dn-xdn-1=y(dn-1-xdn-2)=y2(dn-2-xdn-3)=…=yn-2(d2-xd1)=yn,即dn=yn+xdn-1,再反复应用此递推关
1
系,就有dn=yn+xdn-1=yn+x(yn-1+xdn-2)=yn+xyn-1+x2dn-2=…=yn+xyn-1+x2yn-2+…+xn-1y+xn.所以
dn=y+xy
n
n-1
n+1
+x2yn-2+…+xn-1y+xn=
n+1
,
x-y
若x≠y;若x=y.
(n+1)xn,
再计算行列式Dn的值.由行列式的展开定理,Dn=bDn-1-acDn-2,设x+y=b,xy=ac,x,y是特征2
方程Κ-bΚ+ac=0的两个根,则类似可得
Dn=y+xy
n
n-1
n+1
+x2yn-2+…+xn-1y+xn=
n+1
,
x-
y
若x≠y;若x=y.
(n+1)xn,
[收稿日期]2001206218
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第2期 杨胜良:三对角行列式及其应用其中x=
2
103
2
,y=
2
2
2
,从而有
n+1
n+1
定理1 三对角行列式有如下的计算公式:
-2
2
Dn=
b-4ac
,
若b2-4ac≠0;
若b2-4ac=0.
Fibonacci数列{Fn}是组合数学中应用很广泛的一种离散模型,它满足递归关系Fn=Fn-1+Fn-2及初始条件F1=1,F0=1.也常称Fn为Fibonacci数.
例1 (i)Fn可用n阶三对角行列式表示:
110…00-111…000-11…00
.Fn=
ω 000…11
(n+1)(b 2)n,0(ii)Fn的显式表示为:Fn=
n+1
05
-
…-1
n+11
(iii){Fn}满足递归关系Fn=Fn-1fn,其中fn表示有限简单连分数fn=[1,1,…,1],且lim
n→∞
=21-1
Dn=
=5Fn-1
证 (i)现设
11-1
011
00
00
00
………ω…
000
000
1 1
…-11
是n阶三对角行列式,显然,D1=1,D2=2,由行列式的展开定理,当n>2时,Dn=Dn-1+Dn-2,即{Dn}恰好满足Fibonacci数列{Fn}的递归关系及初始条件,于是当n>0时,Fn=Dn.
(ii)由定理1,得Fn=
n+1
-5
f
n-1
n+1
(n>1)及初始条件f1=1,则fn就表示有限简单连分
f
i
(iii)设数列{fn}满足递归关系fn=1+
数fn=[1,1,…,1],在Fn的行列式表示式中,第i行的
1-1
Fn=
倍加到第i+1行,i=1,2,…,n-1,得
f
1
11-1
011
………ω……
000
000
1
f
2
01
f
3
………ω
…f…
000
000
0=
00 00 00 1-1 11
00
00
00
n-1
1
f
n
.
于是,Fn=f1f2…f
=fn,而序列fn的极限是黄金分割率5=,所以Fn-12
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n-1
fn,Fn=Fn-1fn,
104
=5=Fn-12
工 科 数 学 第18卷
limn→∞
例2 在应用中经常遇到计算下列方阵An的特征值的计算问题,
01
An=
-101
0-10
00
00000
000
00
…0…0…0ω …0…
1
000
-10
.
An的特征多项式是一个三对角行列式
)=f(Κ
Κ
-10 00
1
Κ-1 00
…1…Κ… ω000
n+1
=
2
n+1
-
2
n+1
Κ-1(Κ-
1
2Κ+4
…
…-
ΚΚ+4)
2
n+1
令f(Κ)=0,则(Κ+=exp
Κ+4)
2
=0,从而
Κ-2
2+n+1
=1,
Κ-2
2+4
2
i,k=1,2,…,n.所以Κ=-21+cos,Κ=±2in+1n+为cos=cos,k=1,2,…,n.所以方阵的特征值是:
n+1n+1
(i)当n为偶数时,A的特征值为±
2i
1+cos2i
1+cos
,k=1,2,…,n.因n+1
,k=1,2,…,n 2;n+1
,k=1,2,…,(n-1) 2.n+1
(ii)当n为奇数时,A的特征值为0,1+cos
[参 考 文 献]
[1] GruenbergKW.LinearGeometry[J].Springer2Verlag,1977.
[2] KolmanB,BusbyRC,RossS.DiscreteMathematicalStructures[J].Prentice2HallInteenationalINC.,1997.[3] 北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1988.[4] 卢开澄.组合数学[M].北京:清华大学出版社,1991.
TridiagonalDeterminantandItsApplications
YANGSheng2liang
(DepartmentofAppliedMathematics,GansuUniversityofTechnology,Lanzhou730050)
Abstract:Inthispaper,acomputationalmethodfortridiagonaldeterminantsisestablishedbymeansofrecurrencerelation,anditsapplicationsinlinearalgebraandcombinatorialmathematicsarediscussed.
Keywords:tridiagonaldeterminant;recurrencerelation;Fibonaccisequence
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