特殊平行四边形导学案

19.2 矩形的性质

㈠课前回顾：

平行四边形有哪些性质？一般要从哪几方面考虑？

1、边： ；

2、角： ；

3、对角线：_；

4、对称性：。

㈡探究新课：

活动一：矩形的定义

1、实验观察：推动平行四边形活动木框上边的

D点。

2、问题：在推动过程中，你发现了什么？

①当∠D变化时，此平行四边形的其余内角也会变化吗？它仍是平行四边形吗？（理由）

②当∠D等于多少角度时，此平行四边形就会变成矩形？

3、归纳：

矩形的定义： 。由此可见，矩形是特

殊的 ，它具有 的所有性质。

活动二：探究矩形的性质【知识延展】：

（1）、由矩形性质有OA=OC=11AC OB=OD=BD且AC=BD 22

得OA= = =

∴矩形对角线的交点O到各顶点的距离。

（2）、由图可知，在矩形中有 个直角三角形，它们分别是

有 个等腰三角形，它们分别是

∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。

（3）、由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC

这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的 ，则OB= AC

∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的

（4）思考：矩形是轴对称图形吗？

将矩形作业纸对折，我们发现：

矩形是 图形，有 条对称轴。对称轴是对边 点所确定两条直线。

∴矩形既是 对称图形，又是 对称图形，对称轴为

3、归纳矩形性质：

活动三：矩形性质的应用

1、例题：（P91例1改编题）

如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于O.

①在图中找出相等的线段与相等的角；

②若△AOB、△BOC、△OCD和△AOD四个小三角形的周长之和为86cm，AC的长为13cm，

试求矩形的周长。

（四）布置作业：

1.如图，在矩形ABCD中，两邻边AB、BC之比为3：4，矩形的周

长为28.①求AC之长？②作BE⊥AC于E，试求BE之长？

2.课本P91 练习

19.2.1 矩形的判定

学习目标：1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.

学习过程：

一、温故知新：

探究一：下面给大家介绍一下工人制作窗框的过程.

1. 先截出两对符合规格的铝合金窗料如图，使AB=CD，EF=GH

2.摆成四边形（如第2个图），这时窗框的形状是平行四边形，依据的数学道理是

是平行四边形.

3.将直角尺紧靠窗框的一个角（如第3个图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角

边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是矩形，依据的数学道理是

________________________________ 是矩形.

探究二：1、除了上面制作矩形的方法外，还有其他的方法吗？请你画一个矩形；

2.交流画矩形的方法，得到矩形的判定方法；

3. 证明矩形的判定方法：

已知：如图，

求证： B证明：

4.归纳： 矩形判定方法：______________________________

_______________________________

数学符号语言： 思考：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木

条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？

例题：例1.：已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4

cm，求这个平行四边形的面积．

A

BCD 例2 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四

边形EFGH是矩形．

A

E

BD 例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分

别是AO、BO、CO、DO的中点，

求证：四边形EFGH是矩形．

4. 在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,

且AF⊥BC, 求证:四边形AFCE是矩形

5.已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．

求证:四边形ABCD是矩形

19.2.2菱形的性质

下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形、菱形的关系

探究二：1

想一想，展开后，得到的四边形是什么图形？为什么？

2.思考：（1）菱形ABCD是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有位置关系？

（2）相等的线段 相等的角

等腰三角形有 直角三角形有 全等三角形有

（3）如何证明上述结论？并归纳菱形的性质。

菱形的性质

具有平行四边形

的所有性质 边 角 对角线 对称性

具有平行四边形

不具有的特殊性

质

（4）菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

归纳：s菱形ABCD = 试一试：在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。

求四边形ABCD的面积是多少？

例题．如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（保留小数点后两位）和花坛的面积（保留小数点后一位）。

1. （2011四川广安）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC交BC

1

的延长线于点E．求证：DE＝2BE．

AD

BCE

图5

2． （2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．

（1）求AC的长．

（2）求∠AOB的度数．

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

3. （2011湖州）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

19.2.2菱形的判定

温故知新：1．菱形的定义：

2. 菱形的性质：

边：__________________________;______________________________

角：__________________________;______________________________

对角线：______________________________________________________

对称性： .

二、学习新知：

探究一： 如图，四边形是菱形吗？为什么？

归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过探究，容易得到：对角线 的平行四边形是菱形

证明上述结论：

探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？

请你画一画。

通过探究，容易得到： 的四边形是菱形

证明上述结论：

例1.如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6

求证:四边形ABCD是菱形.

三、练习

1.判断题，对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）

(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）

(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）

2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

求证：（1）四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

(3) 求证：四边形ABCD是菱形.

E

3.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．

4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．

求证：MN与PQ互相垂直平分。

B N

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

C