高一数学复合函数问题
高一数学复合函数问题
一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ⊇B ,则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题:
(一)例题剖析:
(1)、已知f (x ) 的定义域,求f [g (x ) ]的定义域
思路:设函数f (x ) 的定义域为D ,即x ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g (x ) 作用,作用范围不变,所D
以g (x ) ∈D ,解得x ∈,E 为f [g (x ) ]的定义域。 E
例1. 设函数f (u ) 的定义域为(0,1),则函数f (lnx ) 的定义域为_____________。
例2. 若函数f (x ) =
1,则函数f [f (x ) ]的定义域为______________。 x +1
(x ) ]的定义域,求f (x ) 的定义域 (2)、已知f [g
(x ) ]的定义域为D ,即x ∈思路:设f [g ,由此得g (x ) ∈E ,所以f 的作用范围为E ,又f 对x 作用,作用范D
围不变,所以x ∈E ,E 为f (x ) 的定义域。
-1,2,则函数f (x ) 的定义域为_________。 例3. 已知f (3-2x ) 的定义域为x ∈
[]
2x 例4. 已知f (,则函数f (x ) 的定义域为______________。 x -4) =l 2x -82
(3)、已知f [g (x ) ]的定义域,求f [h (x ) ]的定义域
(x ) ]的定义域为D ,即x ∈思路:设f [g ,由此得g (x ) ∈E ,f 的作用范围为E ,又f 对h (x ) 作用,作用D
(x ) ]的定义域。 范围不变,所以h ,F 为f [h F (x ) ∈E ,解得x ∈
,1,则f (例5. 若函数f (2) 的定义域为-1l o g ) 的定义域为____________。 2x
(二)同步练习:
21、 已知函数f (x ) 的定义域为[0, 1],求函数f (x ) 的定义域。 x []
2、 已知函数f (3-2x ) 的定义域为[-3, 3],求f (x ) 的定义域。
3、 已知函数y =f (x +2) 的定义域为(-1, 0) ,求f (|2x -1|)的定义域。
4、设f (x )=lg 2+x ⎛x ⎫⎛2⎫,则f ⎪+f ⎪的定义域为( ) 2-x ⎝2⎭⎝x ⎭
A. (-4, 0) (0, 4) B. (-4, -1) (1, 4)
C. (-2, -1) (1, 2) D. (-4, -2) (2, 4)
5、已知函数f (x ) 的定义域为x ∈(-, ) ,求g (x ) =f (ax ) +f ()(a >0) 的定义域。
三、复合函数单调性问题 1322x a
(1)引理证明
已知函数y =f (g (x )) . 若u =g (x ) 在区间(a , b )上是减函数,其值域为(c,d) ,又函数y =f (u ) 在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y =f (g (x )) 在区间(a , b )上是增函数.
证明:在区间(a , b )内任取两个数x 1, x 2,使a
因为u =g (x ) 在区间(a , b )上是减函数,所以g (x 1) >g (x 2) , 记u 1=g (x 1) , u 2=g (x 2) 即
u 1>u 2, 且u 1, u 2∈(c , d )
因为函数y =f (u ) 在区间(c,d)上是减函数,所以f (u 1)
故函数y =f (g (x )) 在区间(a , b )上是增函数.
(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
(3)、复合函数y =f (g (x )) 的单调性判断步骤:
ⅰ 确定函数的定义域;
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数:y =f (u ) 与u =g (x ) 。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性;
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数y =f (g (x )) 为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数y =f (g (x )) 为减函数。
(4)例题演练
例1、 求函数y =log 1(x 2-2x -3) 2
[例]2、讨论函数f (x ) =log a (3x 2-2x -1) 的单调性.
例3、. 已知y=log a (2-a ) 在[0,1]上是x 的减函数,求a 的取值范围.
x
例4、已知函数f (x -2) =ax 2-(a -3) x +a -2(a 为负整数)的图象经过点(m -2, 0), m ∈R ,设
且在区间g (x ) =f [f (x ) ]F , (x ) =pg (x ) +f (x ) . 问是否存在实数p (p
(f (2), 0) 上是减函数?并证明你的结论。
(5)同步练习:
1.函数y =log 1(x 2-3x +2)的单调递减区间是(
2
A .(-∞,1) B .(2,+∞)
C .(-∞,3 D 3
2) .(2,+∞)
2找出下列函数的单调区间.
(1)y =a -x 2+3x +2(a >1) ;
(2)y =-x 2+2x +3.
)
3、讨论y =log a (a x -1), (a >0, 且a ≠0) 的单调性。
4.求函数y =log 1(x 2-5x +4)的定义域、值域和单调区间.
3
变式练习
一、选择题
1) 的定义域是( ) 1.函数f (x )=log 1(x -
2
A .(1,+∞) C .(-∞,2) B .(2,+∞) ,2] D .(1
2.函数y =log 1(x 2-3x +2)的单调递减区间是( )
2
A .(-∞,1) C .(-∞, B .(2,+∞) D .(3) 23,+∞) 2
3.若2lg (x -2y )=lg x +lg y ,则
A .4 C .1或4 y 的值为( ) x 1 B .1或 41 D . 4
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围为( )
A .(0,C .(1) 2 B .(0,1) 21,+∞) D .(0,+∞) 2
2 5.函数y =lg (-1)的图象关于( ) 1-x
二、填空题
6. 已知y =log a (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是__________.
7.函数f (x )的图象与g (x )=(
8.已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0,+∞]上是增函数,且f (
则不等式f (l og 4x )的解集是______.
A .y 轴对称 C .原点对称 B .x 轴对称 D .直线y =x 对称 1x )的图象关于直线y =x 对称,则f (2x -x 2)的单调递减区间为______. 31)=0, 2
三、解答题
9.求函数y =log 1(x 2-5x +4)的定义域、值域和单调区间.
3
10.设函数f (x )=23-2x +lg , 3x +53+2x
(1)求函数f (x )的定义域;
(2)判断函数f (x )的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f (x )的反函数f 1(x ),问函数y =f 1(x )的图象与x 轴有交点吗? 若有,求出交点坐标;若--
无交点,说明理由.