线性代数考试试卷答案(北交大)

北 方 交 通 大 学

2002-2003学年第二学期线性代数（B ）重修课考试试卷答案

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

11

1．4阶行列式

10

应填：-3． 2．已知向量组

1101101101

=__________________． 11

，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，7)， α1=(1

则该向量组的秩是_________________． 应填：2． 3．已知线性方程组

1⎫⎛x 1⎫⎛1⎫⎛12

⎪ ⎪ ⎪23a +2 ⎪ x 2⎪= 3⎪ 1a -2⎪ x ⎪ 0⎪⎝⎭⎝3⎭⎝⎭

无解，则a =__________________． 应填：a =-1

E 是n 阶单位矩阵．A 是A 的伴随矩阵， 4．设A 是n A ≠0，若A 有特征值λ，则A *

必有特征值是_________________．

*

()

2

+E

⎛A ⎫

⎪ 应填： λ⎪+1． ⎝⎭

5．设4⨯4矩阵

2

A =(α，γ2，γ3，γ4)， B =(β，γ2，γ3，γ4) ，

其中α，β，γ2，γ3，γ4都是4维列向量，且已知行列式A =4，B =1，则行列式A +B = _________． 应填：40．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

*

1．设A 是一n (n ≥3)阶矩阵，A 是A 的伴随矩阵，又k 是常数，且k ≠0，±1，则必有(k A )=

*

【 】．

(A ). k A * ； (B ). k n -1A * ； (C ). k n A * ； (D ). k -1A * ． 应选：(B )．

2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式A =0，则A 中【 】． (A ). 必有一列元素全为0； (B ). 必有两列元素成比例；

(C ). 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ). 任意列向量是其余列向量的线性组合． 应选：(C )． 3．已知

⎛123⎫

⎪Q = 24t ⎪ ，

369⎪⎝⎭

P 为3阶非零矩阵，且满足PQ =O ，则【 】．

(A ). t =6时，P 的秩必为1； (B ). t =6时，P 的秩必为2； (C ). t ≠6时，P 的秩必为2； (D ). t ≠6时，P 的秩必为1． 应选：(D )．

4．n 阶矩阵A 具有n 个不同特征值是A 与对角阵相似的【 】． (A ). 充分必要条件； (B ). 充分而非必要条件； (C ). 必要而非充分条件； (D ). 既非充分也非必要条件． 应选：(B )．

5．已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组【 】．

(A ). 向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关； (B ). 向量组α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关； (C ). 向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关； (D ). 向量组α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关． 应选：(C )． 三．（本题满分10分） 已知

⎛11-1⎫

⎪A = 011⎪ ，

00-1⎪⎝⎭

且A -AB =I ，其中I 是3阶单位矩阵，求矩阵B ． 解：

由A -AB =I ，得A (A -B )=I ，而且

2

2

11-1

A =011=-1≠0 00-1

因此矩阵A 可逆，且

⎛1-1-2⎫ ⎪A -1= 011⎪ ，

00-1⎪⎝⎭

所以，由A (A -B )=I ，得A -B =A ，因此，

-1

⎛11-1⎫⎛1-1-2⎫⎛021⎫

⎪ ⎪ ⎪-1

1⎪= 000⎪ ． B =A -A = 011⎪- 01

00-1⎪ 00-1⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

四．（本题满分10分） 问λ为何值时，线性方程组

+x 3=λ⎧x 1

⎪

⎨4x 1+x 2+2x 3=λ+2 ⎪6x +x +4x =2λ+3

3⎩12

有解，并求出解的一般形式． 解：

将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：

λ⎫⎛101λ⎫⎛101

⎪ ⎪

= 412λ+2⎪→ 01-2-3λ+2⎪ （第1行乘以-4、-6后分别加到第2、3行）

6142λ+3⎪ 01-2-4λ+3⎪⎝⎭⎝⎭λ⎫⎛101 ⎪

→ 01-2-3λ+2⎪ （第2行乘以-1后加到第3行）

000-λ+1⎪⎝⎭

所以，原线性方程组的系数矩阵A 的秩为r (A )=2．当λ≠1时，其增广矩阵的秩为r =3，因此此时原线性方程组无解．

当λ=1时，r =r (A )=2，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为

)

)

1⎫⎛101

⎪01-2-1 ⎪ 0000⎪⎝⎭

因此，原线性方程组的通解为

⎧x 1=-x 3+1

⎨

x =2x -13⎩2

其中x 3是任意实数． 写成基础解系的形式，有

⎛x 1⎫⎛-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪x =k 2⎪ 2⎪+ -1⎪ ， x ⎪ 1⎪ 0⎪⎝3⎭⎝⎭⎝⎭

其中k 是任意实数． 五．（本题满分10分） 设4阶矩阵

⎛5 2A =

2100⎫

⎪00⎪

， ⎪ 001-2 ⎝

00

11⎪⎪⎭

求A 的逆矩阵A -1

． 解：

记矩阵A ⎛52⎫11= ⎝21⎪⎪⎛⎭，A 22= 1-2 ⎫

⎝11⎪⎪⎭， 则矩阵

A =⎛ A O ⎫ 11

⎝

O

A ⎪⎭

22⎪这是一个分块对角矩阵，因此，

A -1

=⎛ A -1O ⎫

11

⎝O

A -1⎪⎭

22⎪而

A -1

1

⎛ 1-2 ⎫⎛1-2⎫11=

A 11

⎝-25⎪⎪⎭= ⎝-25⎪⎪⎭

， ⎛12⎫ A -1

=1⎛1-1⎫ 22A ⎪33⎪22 ⎝21⎪⎭= 11⎪⎪ ， ⎝-33⎪

⎭

⎛ 1-200⎫ -2500⎪所以，A -1= 12⎪

00

⎪

． 33⎪ ⎝00-11⎪

33⎪

⎭

六．（本题满分15分） 已知AP =PB ，其中

⎛100⎫⎛10B = 000⎪⎪ ，P = 2-1 ⎝00-1⎪⎭ ⎝21求A 及A 5

．

0⎫

0⎪⎪

1⎪⎭

解： 先求出

⎛100⎫P -1= 2-10⎪ ⎪ ．

⎝-411⎪⎭

因为AP =PB ，两端右乘P -1

，得

⎛00⎫⎛10 A =P B P -1

= 100⎫ 2-10⎪⎛⎪ 100⎫ 000⎪⎛⎪ 1

2-10⎪⎪= 0⎫0⎪ 20

⎪ ⎝211⎪⎭ ⎝00-1⎪⎭ ⎝-411⎪⎭ ⎝6-1-1⎪⎭

同样，

A 5

=AAAAA =(P B P -1)(P B P -1)(P B P -1)(P B P -1)(P B P

-1

)

⎛10 =PB 5P

-1

=P B P -1

=A = 0⎫

20

0⎪⎪ ． ⎝6-1-1⎪⎭

七．（本题满分15分） 已知向量组

（Ⅰ） α1，α2，α3； （Ⅱ） α1，α2，α3，α4； （Ⅲ） α1，α2，α3，α5．

如果各向量组的秩分别为r (Ⅰ)=r (Ⅱ)=3，r (Ⅲ)=4，证明：向量组

（Ⅳ） α1，α2，α3，α5-α4

的秩为4 ． 解：

因为r (

Ⅰ)=r (Ⅱ)=3，所以向量组α1，α2，α3线性无关，而 α1，α2，α3，α4

线性相关，所以，存在数λ1，λ2，λ3，使得

α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3 *） （

设有数k 1，k 2，k 3，k 4，使得

k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4(α5-α4)=0

将（*）式代入上式并化简，得

(k 1-λ1k 4)α1+(k 2-λ2k 4)α2+(k 3-λ3k 4)α3+k 4α5=0

由于r (Ⅲ)=4，所以向量组α1，α2，α3，α5线性无关．因此，由上式，得

⎧k 1⎪⎪⎨⎪⎪⎩

-λ1k 4=0

k 2

-λ2k 4=0k 3-λ3k 4=0

k 4=0

，

解此方程组，得k 1=k 2=k 3=k 4=0 ，因此，向量组

α1，α2，α3，α5-α4

线性无关，即此向量组的秩为4． 八．（本题满分10分）

⎛1⎫⎛2-12⎫

⎪ ⎪

a 3⎪的一个特征向量． 已知ξ= 1⎪是矩阵A = 5

-1⎪ -1b -2⎪⎝⎭⎝⎭

⑴. 试确定参数a 、b 及特征向量ξ所对应的特征值； ⑵. 问A 是否相似于对角阵？说明理由． 解：

⎛1⎫⎛2-12⎫

⎪ ⎪

a 3⎪的一个特征向量，所以有 ⑴. 由于ξ= 1⎪是矩阵A = 5

-1⎪ -1b -2⎪⎝⎭⎝⎭

1-2⎫⎛1⎫⎛λ-2

⎪ ⎪

(λI -A )ξ= -5λ-a -3⎪ 1⎪=0

1 ⎪-b λ+2⎪⎝⎭⎝-1⎭

成立．即有

⎧λ-2+1+2=0⎪

⎨-5+λ-a +3=0 ． ⎪1-b -λ-2=0⎩

解得 a =-3，b =0，λ=-1 ．

⎛2-12⎫ ⎪A =5-33 ⑵. 由⑴，得 ⎪，所以，

-10-2⎪⎝⎭

λ-2

λI -A =-5

1-2

-3=(λ+1)

λ+2

3

λ+3

1

因此λ=-1是矩阵A 的3重特征根．而

⎛-31-2⎫ ⎪

r (-I -A )= -52-3⎪=2

101⎪⎝⎭

从而λ=-1所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵A 不能相似于对角矩阵．