2.5极限存在性定理和两个重要极限2
利用连续性求极限的方法:
lim f ( x) = f ( x0 ) (代入) 若 f ( x ) 在x=x0 连续,则 x →x
0
注:如果 f (x)是初等函数,x0是它的定义域内的点,则
x → x0
lim f ( x ) = f ( x0 ).
【例】
e 2 x + ln(3 − 2 x ) e 2⋅1 + ln(3 − 2 ⋅1) = 2 e 2 = lim x →1 π arcsin x arcsin1
是初等函数 【例】
存在
sin(2⋅ ) 4
lim e
x →1
sin(2arctan x )
= esin(2arctan1) = e
π
=e
是初等函数 【例】
x
存在
limsin e − 1 = sin e1 − 1 = sin e − 1 x →1
是初等函数
存在
例 求
lim(1 + 2 x) π
x→ 2
3 sin x
x =e
y
]
ln x y
=e
y ln x
解: ∵ (1 + 2 x)
x→
3 sin x
=e
3 ln[(1+ 2 x ) sin x
=e
3 ln(1+ 2 x ) sin x
∴ lim(1 + 2 x ) π
2 3
3 sin x
= lim e π
x→
2 3ln(1+π )
3 ln(1+ 2 x ) sin x
是初等函数
= (1 + π )
=e
sin
π
2
ln(1+ 2⋅ ) 2
π
=e
=e
ln(1+π )3
3
一般地,对于形如 u ( x ) ( u ( x ) > 0 , u ( x )不恒 等于 1), 如果 lim u ( x ) = a > 0 , lim v ( x ) = b , 则 v( x ) b = lim u ( x ) a
v( x )
四、等价无穷小代换 1、无穷小的比较 例如,
1 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x
2
x2 = 0, lim x→0 3 x sin x = 1, lim x→0 x
x 2趋于0的速度比3 x要快得多;
sin x趋于0的速度与x大致相同 ;
1 x sin 1 x = lim sin lim 不可比 . 不存在 . x→0 x→0 x x 由上面结果可看出,同是无穷小, 但是
趋向于零的“快慢”程度却有不同.
定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α 高阶的无穷小, α 记作 β = o(α );
β ( 2 ) 如果 lim = ∞,就说 β 是比 α 低阶的无穷小. α β (3) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小; α
记作 β = O (α );
β (4) 如果 lim = 1, 就说 β 与 α 是等价的无穷小; α
记作 β ~ α ;
β (5) 如果 lim k = C ≠ 0, k > 0, 就说 β 是 α 的 k 阶的 α 无穷小. 记作 β = O(α k );
例如,
x2 ∵ lim = 0, x →0 3 x
sin x ∵ lim = 1, x →0 x
即 x 2 = o( 3 x ) ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时, x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
即 sin x ~ x ( x → 0).
∴ 当 x → 0 时, sin x 与 x 是等价无穷小 .
例
sin x ln(1 + x) =1 lim =1 lim x →0 x →0 x x 所以当 x → 0 时
e x −1 lim =1 x →0 x
x , sin x , ln(1 + x ), e x −1
都是等价无穷小量
1 − cos x 1 = lim 2 x →0 x 2
所以当 x → 0 时
例
1+ x −1 1 lim = x →0 x k
k
x 1 − cos x ~ 2
2
k
x 1+ x −1 ~ k
事实上, 当 y > 0时, y = elny. 从而,
e k ln(1+ x ) − 1 (1 + x) k − 1 lim = lim kx x →0 kx x →0
k ln(1 + x) = lim kx x →0
=1
所以, (1 + x) k − 1 ~ kx, k ∈ R, k ≠ 0
2.等价关系的特性 反身性: α ~ α ,则 对称性:如果 α ~ β
β ~α
γ 传递性:如果 α ~ β , β ~,则
因为当 x → 0 时,
α ~γ
x sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x , e − 1 ~ x ,
所以,当 x → 0时
sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ ln(1 + x ) ∼ e x − 1 ∼ x
3、等价无穷小替换 等价代换原理:
β′ β β′ 设 α ~ α ′, β ~ β ′且 lim 存在, 则 lim = lim . α′ α α′ β β ′ α′ β 证 lim = lim( β ′ ⋅ ⋅ ) α α′ α β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim . 意义 β′ α′ α α′
求两个无穷小之比的极限时,可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替,以简化计算。具体代换时,可只代 换分子,也可只代换分母,或者分子分母同时代 换。
常用等价无穷小:当x→0时,
tanx~x,
x
1
−1~x
n
e−1~x,
(1+x)−1~αx
α
特别
arctanx~x,arcsinx~x,
注:一般若ϕ(x)→0,则有推广的等价关系:
2
ϕ(x)
sinϕ(x)~ϕ(x),1−cosϕ(x)~,
2
ln(1+ϕ(x))~ϕ(x)......
sinx~x例如:由于当x→0,sin6x2 ~6x2因此,当x→0时,
12x→0sin(1-cosx)~1-cosx当时,x,
2
举例:求下列极限
tan2x2x21.lim==limx→0sin5xx→05x5xsinx1
=2.lim3=lim2x→0x+3xx→0
x(x+3)3(6x)sin6x
=lim=183.lim
x→01x→01−cos2x2
(2x)2
2
2
注:2、在极限运算中,可以用等价价无穷小量进行替换,但必须注意,替换只能在因子位置上进行,因等价无穷小量是用因子乘积实现的。
若α~α′
βα′βα′βββlim=lim(⋅)=lim⋅lim=1⋅lim=lim.ααα′αα′α′α′
非法替换是常见错误。
tanx−sinx与x是同阶无穷小
3x
tanx−sinx~
2tanx−sinx是x 的高阶无穷小tanx−sinx是x 的3阶无穷小tanx~x,sinx~x当x→0时,
3
tanx−sinxx−x
⇒limlim=0330x→0x→sinxx