专题:几何翻折变换(折叠问题)

专题：几何翻折变换（折叠问题）

1、已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P 的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m，试用含有t 的式子表示m ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．

2、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8．把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于点G ；E 、F 分别是C′D和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D′处，点D′恰好与点A 重合．

（1）求证：△ABG ≌△C′DG；

（2）求tan ∠ABG 的值；

（3）求EF 的长．

3、如图，抛物线y=ax+bx+2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．

2

（1）求抛物线解析式及点D 坐标；

（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；

（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】

1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。

在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。

∵OP 2=OB2+BP2，即（2t ）2=62+t2，解得：t 1

=，t 2=

－（舍去）．∴点P

的坐标为（ ，6）。 （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，

∴△OB′P≌△OBP ，△QC′P≌△QCP 。∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC 。

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。

∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ 。

又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ 。∴OB BP =。 PC CQ

由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ． 6t 111。∴m =t 2- t+6（0＜t ＜11）。 =11-t 6-m 66

（Ⅲ）点P

6

，6）。 ∴

2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC 翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE 。

在△ABG ≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C ，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG ≌△C′DG（ASA ）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG ≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

设AG=x，则GB=8﹣x ，在Rt △ABG 中，∵AB +AG=BG，即6+x=（8﹣x ），解得x=2222227。 4

7

AG 7==∴tan ∠ABG =。 AB 624

（3）解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分AD 。∴HD=

∵tan ∠ABG=tan∠ADE=1AD=4。 27777。∴=。 246242411AB=×6=3。 22∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线。∴HF=

∴EF=EH+HF=+3=7

625。 6

23、解：（1）∵抛物线y=ax+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，

1⎧a=-⎪⎧a -b+2=013⎪2。∴抛物线解析式为 ∴⎨，解得：⎨y =-x 2+x +2。 22⎩16a+4b+2=0⎪b=3

⎪⎩2

13当y=2时，-x 2+x +2=2，解得：x 1=3，x 2=0（舍去）。∴点D 坐标为（3，2）。 22

（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能：

①当AE 为一边时，AE ∥PD ，∴P 1（0，2）。

②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为﹣2。 313x 2=。 222

∴P

2），

，﹣2）。 综上所述：P 1（0，2）；P 22）；P 3，﹣2）。 代入抛物线的解析式：-x 2+x +2=-

2

，解得：x 1=

（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方。

设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，， -a 2+a +2）1

232

33⎛1⎫1①当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=2- -a 2+a +2⎪=a 2-a 。 2222⎝⎭

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，

123 a-a Q ' C Q '

P

a ，解得F Q′=a﹣3 =∴，即=CO FQ '

2FQ '

∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a

﹣3）=3

，CQ=CQ' 。 此时，点P ）。 ②当P 点在y 轴左侧时（如图2）此时a ＜0，，-a 2+a +2＜0，CQ=﹣a ， 1

232

33⎛1⎫1PQ=2- -a 2+a +2⎪=a 2-a 。 22⎝2⎭2

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。

123 a-a Q ' C Q ' P

-a

，解得F Q′=3

﹣a 。 =∴△COQ′∽△Q′FP

。∴，即=CO FQ ' 2FQ '

∴OQ′=3

，CQ=CQ' 。

此时a=

，点P

的坐标为（）。 综上所述，满足条件的点P

，（）。