对数函数及其性质教案第二课时

对数函数及其性质（二）

教学过程

一、 复习引入： 1．对数函数的定义：

函数y =log a x (a >0且a ≠1) 叫做对数函数，对数函数y =log a x (a >0且a ≠1) 的定义域为(0, +∞) ，值域为(-∞, +∞) ．

2、对数函数的性质：

③

1． 函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是__________

二、新授内容：

例1．比较下列各组中两个值的大小：

⑴log 67, log 76； ⑵log 3π, log 20. 8． （3）6

0. 7

, 0. 76, log 0. 76

解：⑴ log 67>log 66=1，log 76log 76．

⑵ log 3π>log 31=0，log 20. 8log 20. 8．

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题）

⑴log 0. 30. 7

12

⎛1⎫

； ⑶log 0. 30. 1>log 0. 20. 1 ． 3⎝⎭

-

9

时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 4

求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =

99999

使原不等式成立. ∴log a [() 2--2]＞log a [1⋅() 2+2⋅+3) [1**********]39

即log a ＞log a . 而＜. 所以y = loga x 为减函数，故0＜a ＜1.

16161616⎧

⎧x 2-x -2>0⎪x 2⎪⎪⎪

∴原不等式可化为⎨-x 2+2x +3>0， 解得⎨-1

⎪2⎪5x -x -2

2⎩

故使不等式成立的x 的取值范围是(2,

5

) 2

例3．若函数f (x ) =log a x (0

求a 的值。 （a =例4．求证：函数f (x ) =log 2解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = log 2

2） 4

x

在(0, 1)上是增函数. 1-x

x 2x x (1-x 1) x 1-x 1

. -log 21=log 22=log 22⋅

x 1-x 1-x 21-x 1(1-x 2) x 112

∵0＜x 1＜x 2＜1，∴

x 2x 1-x 11-x 1

＞1，＞1. 则log 22⋅＞0， x 1x 11-x 21-x 2

∴f (x 2) ＞f (x 1). 故函数f (x ) 在(0, 1)上是增函数

例5．已知f (x ) = loga (a – a x ) (a ＞1).

（1）求f (x ) 的定义域和值域； （2）判证并证明f (x ) 的单调性.

解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x ) 的定义域为(1, +∞) ， 而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ， 又a ＞1. 则log a (a – a x ) ＜lg a a = 1. 取f (x ) ＜1，故函数f (x ) 的值域为(–∞, 1).

（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴a x 1＞a x 2，∴a -a x 1＜a ＜a x 2，

∴log a (a –a x 1) ＜log a (a –a x 2) ，即f (x 1) ＜ f (x 2) ，故f (x ) 在(1, +∞) 上为减函数. 例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：

⑴y =log 2(x 2+2x +5) ； ⑵y =log 1(-x 2+4x +5) ；

3

解：⑴∵x 2+2x +5=(x +1) 2+4≥4对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R ． 从而log 2(x 2+2x +5) ≥log 24=2 即函数值域为[2, +∞) ．

⑵要使函数有意义，则须： -x +4x +5>0⇒x -4x -5

3

3

2

2

2

2

∴定义域为[-1,5]，值域为[-2, +∞) ．

例8．（备选题）已知f (x ) = loga x (a ＞0，a ≠1) ，当0＜x 1＜x 2时， 试比较f (

x 1+x 21

) 与[f (x 1) +f (x 2)]的大小，并利用函数图象给予几何解释. 22

【解析】因为f (

x 1+x 21x +x 1

) -[f (x 1) +f (x 2)]=log a 12-[loga x 1+log a x 2] 2222

x 1x 2=log a

x 1+x 22x 1x 2

=log a

x 1+x 2

-log a 2

又0＜x 1＜x 2，

x 1+x 22x 1x 2

∴x 1 + x 2 – 2x 1x 2=(x 1-x 2) 2＞0， 即x 1 + x 2＞2x 1x 2， ∴

x 1+x 22x 1x 2

＞1.

于是当a ＞1时，log a

＞0. 此时f (

x 1+x 21

) ＞[f (x 1) +f (x 2)] 22

x 1+x 21

) ＜[f (x 1) +f (x 2)] 22

或：当a ＞1时，此时函数y = loga x 的图象向上凸.

x +x 1

显然，P 点坐标为f (12) ，又A 、B 两点的中点Q 的纵坐标为[ f (x 1) + f (x 2)]，

22

同理0＜a ＜1时f (

由几何性质可知 f (

x 1+x 21

) ＞[f (x 1) +f (x 2)]. 22

x 1+x 22x 1x 2

当0＜a ＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知log a 此时f (

备选题

x 1+x 21

) ＜[f (x 1) +f (x 2)] 22

＜0，

x

2．讨论函数f (x ) =log 2(x 2+1) 在(-∞, 0) 上的单调性．（减函数） 3. 已知函数y=log a (2-a ) 在［0，1］上是减函数，求a 的取值范围．

解：∵a ＞0且a ≠1,

当a ＞1时， ∴1＜a ＜2. 当0

x