4 中国古代数学

一、先秦时期——中国古代数学的萌芽

（一）结绳记事

（二）规矩的使用

1、规矩是中国传统的几何工具，分别用于圆与方的问题。

2、中国传统几何学大部分内容是围绕圆与勾股展开的。

（三）十进位制记数法、分数的应用及筹算

1、对世界数学最伟大的贡献：（王朝商代）已采用十进位制记数法，并有十、百、千、万等专用的大数名称。

2、分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》《考工记》中记载

3、、“九九歌”标志着乘除法运算法则成熟，春秋战国时代，算术四则运算已经成熟

4、、算筹是中国古代的计算工具（筹即小竹棍或小木棍），用算筹表示数有纵横两种摆法

（四）精湛的几何思想

战国时期（公元前475——前221）的诸子百家著作中的理论数学萌芽

1、墨家——《墨经》：

A 试图用形式逻辑的方法定义几何概念

a 、平，同高也（两条直线或两个平面间的距离处处相等称为平行）

b 、中，同长也(直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的球心）到圆周（球表面）的距离相等)_

c 、圜，一中同长也（圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面上任一点到中心的距离相等）

B 涉及有穷和无穷的概念

2、名家——《庄子》 ：无穷的概念、著名的论断（早期的极限思想) 与芝诺悖论具有异曲同工之妙

（五）数学教育的开始

1、周代，国家已把数学列为贵族子弟的必修课之一

二、汉唐时代 ——中国传统数学体系的形成

主要标志：《九章算术》

（一）《周髀算经》和勾股定理

1、《周髀算经》介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，包含的数学内容; 分数运算、勾股定理

2、中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期数学家赵爽给出的

（二）《九章算术》（东汉末年）

1、标志着中国传统数学体系的形成

2、全书共246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活密切联系

3、九章:

第一章 方田（土地测量）

第二章 粟米(粮食交易的比例问题）

第三章 衰分（配分比例问题）商业、手工业、及社会制度

第四章 少广（开平方、开立方的算法）

第五章 商功（立体图形的体积算法，柱、锥、台、球体）筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面

第六章 均输（复杂的配分比例问题）均输术——实行“均输制”在数学上的反应，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摆摊徭役等实际问题，这很

类似于条件及值问题。

第七章 盈不足（亏盈问题的解法）

第八章 方程（线性方程组的解法）

第九章 勾股（讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量）求解应用问题。

4、三个方面：

（1）算术方面：分数四则运算法则、比例法、盈不足术

（2）代数方面：方程术、正负术、开方术

（3）几何方面：面积、体积计算、勾股定理的应用

5、《九章算术》特点——注重实际问题和长于计算；缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹形成世界上独有的计算工具盒程序化计算方法

（三）刘徽和祖冲之父子

1、刘徽《九章算术注》发展了《九章算术》的理论，完善了其体系

刘徽的成就

刘徽具有高度的抽象概括能力。他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理，并解决了许多重大的理论性问题。后人把刘徽的数学成就集中起来，认为他为我国古代数学在世界上取得了十个领先，它们是：

（1）他最早提出了分数除法法则。

（2）他最早给出最小公倍数的严格定义。

（3）他最早应用小数。

（4）他最早提出非平方数开方的近似值公式。

（5）他最早提出负数的定义及加法法则。

（6）他最早把比例和“三数法则”结合起来。（若a ：b = C：x ，则x = ）bc a

（7）他最早提出一次方程的定义及完整解法。

（8）他最早创造出割圆术，计算出圆周率即“徽率”。

（9）他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式。

（10）他最早创造“重差术”，解决了可望而不可及目标的测量问题

2、祖冲之父子的数学贡献

（1）编制的《大明历》

（2）《缀术》在唐代曾被李淳风收入“算经十书”作为数学教课书

（3）对圆周率的研究成果3.1415926

（4）祖暅解决了牟合方盖体积的计算

（5）提出祖暅原理：幂势既同，则不容开

（四）《算书十经》

1、把以前的和刚有的归纳出来

2、《周髀算经》、《九章算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《章丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《古辑算经》

3、《章丘建算经》最大公约数与最小公倍数的应用、等差数列、开带从平方和不定方程

三、宋元时代——中国传统数学的兴盛

1、宋元高峰时期基本上是以代数为中心

（一）高次方法的数值解法

1、北宋贾宪创造的“增乘开方法”

增乘开方法包括四种算法：缩根、估根、减根、倍根

2、秦九韶将“增乘开方法”推广到高次方程的一般情况

3、《数书九章》

（二）中国剩余定理

1、不足之处

（1）没有把解法总结成文，致使后人研究时多凭猜测

（2）模数仅限于两两互数的正整数，未涉及一般情况

（3）未能进一步探讨同余式（组）有解的条件等理论问题

（三）“天元术”和“四元术”

1、“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度

2、李冶《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。

3、《算学启蒙》是日用数学和商业数学通俗著作，《四元玉鉴》是宋元数学的绝唱。

4、朱世杰是可以被看做是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是贯穿古今的一位最杰出的数学家。四元术

5、沈括的著作《梦溪笔谈》，该书提出的高阶等级数列求和的“隙积术”，由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”，以及计算棋局总数的“棋局都数”等课题都具有很高的学术价值。

四、明清时期——中国传统数学的衰落与复苏

1、成就：①珠算的普及

②程大位----《直指算法统宗》1591年完成。

五、中国传统数学的特点：

1、追求实用、

2、注重算法

3、寓理于算