微分中值定理的证明.推广以及应用

　　【摘要】 微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。 　　【关键词】 罗尔定理 拉格朗日中值定理 证明 推广 应用 　　 1引言 　　在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 �(a,b)�,由 推广到了区间（-∞，+∞） ，由�f（a）=f（b）� 推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义. 　　2罗尔定理 　　若函数f满足如下条件： 　　 f在闭区间［a，b］上连续, 　　f在开区间（a，b）内可导, 　　f（a）=f（b） 　　则在（a，b）内至少存在一点c,使得f�、（c）=0. 　　2.1罗尔定理的推广 　　定理1：设(a,b)为有限或无穷区间�f(x)�在(a,b)内可微且（有限或 ）±∞, 　　则�c∈ ,使得f�、（c）= 0. 　　证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A ,则f�、（x）=0,所证显然成立. 　　若f（x）=A不成立,则存在x�0∈（a，b）,使得f（x�0）≠A, 　　设f(x�0) ＞A （对f(x�0) ＜A 同理可证）, 　　由于=A, 　　因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(A＜μ＜f(x) ）, 　　�x�1∈(a,x�0 ),x�2 (x�0 ,b), 　　使得�f（x�1）=f（x�2）=μ�, 　　在闭区间［x�1,x�2 ］上用罗尔定理, 　　可得使得f�、（c）0, 　　再证A+∞,的情形（A=-∞, 的情形,同理可证）. 　　由于 =+∞, 　　取定x�0∈(a,b)及μ＞f(x�0) , 　　则由于f(x)在(a,b)内连续,故�x�1∈(a,x�0),x�2(x�0,b),使得f(x�1)=f(x�2)=μ, 　　在闭区间［x�1,x�2］上用罗尔定理,可得使得f�、（c）=0. 　　2.2定理1的5条推论 　　推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=A≠∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f�、（c） 0. 　　推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得 f�、（c） 0. 　　若=-∞,结论同样成立. 　　推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==A,则在(-∞，+∞)至少存在一点 ,使得f�、（c） 0. 　　推论4: 设f（x）在（-∞，+∞）可导, 且+∞，=+∞ ,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得f�、（c） 0. 　　若=-∞，=-∞ ,结论同样成立. 　　推论5：设f（x）在（a，+∞）可导, 且==A ,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得f�、（c） 0. 　　3拉格朗日中值定理 　　若函数f 满足如下条件： 　　f(x)在［a，b］连续 　　f(x)在(a,b)可导 　　则在(a,b)中至少存在一点c,使f�、（c）=f（b）-f（a）b-a 　　3.1拉格朗日中值定理几何证明方法 　　多数教材都是通过构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲线y=f(x)与直线AB（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使F(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在A,B值相等,在M点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理. 　　已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点�,使f�、（�）=f（b）-f（a）b-a. 　　已知光滑曲线 T： 　　 　　证明：引理：在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C三个顶点的坐标A(f（a），g（a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）) 　　则ABC得面积为 　　 　　易知：S(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积, 　　 　　又因为S(x)在［a，b］上连续,且在（a，b） 可导,有S(a)=S(b)=0, 　　则由罗尔中值定理,存在一点�∈(a,b) 使得S�、（�）=0 　　 　　令g（x）=x，即 　　 　　3.2拉格朗日中值定理推广定理1 　　如果函数f（x）满足： 　　(1)在区间［a，+∞］连续, 　　(2)在区间（a，a，+∞）可导, 　　(3)=M 　　那么在(a，+∞) 内至少存在一点c (a＜c＜+∞), 　　使得f�、（c）=［M-f（a） ］/（c-a+1）�2. 　　证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t) 　　3.3拉格朗日中值定理推广定理2 　　如果函数f(x)满足： 　　(1)在区间(-∞，+∞)连续, 　　(2)在区间(-∞，+∞)可导, 　　 　　3.4拉格朗日中值定理推广定理3 　　设函数f在闭区间［a,b］上连续, 　　若函数在(a,b)内除了有限个点外可微, 　　则存在c∈(a,b),使得 ｜f(b)-f(a)｜≤｜f�、(c)｜（b-a）. 　　证明：不妨设f仅在d∈（a，b） 不可微,分别在区间 ［a,d］与［d,b］上应用拉格朗日中值定理,则得到 　　 　　3.5拉格朗日中值定理推广定理4 　　 　　这个证明方法显然可以推广到f在n个点（n＞1）上不可微的情形. 　　4微分中值定理的应用 　　1.设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(a)=f(b),证明：对任意x∈［a,b］,存在c∈,［a,b］使得,f(x)=f��、、�（c）2（x-a）（x-b） 　　证明：固定x∈（a，b）令λ是使f(x)=λ2成立的常数（由于f(x),12(x-a)(x-b), 都是常数,这个λ必然存在）. 　　于是我们只需要证明存在c∈［a,b］,使f��、、�（c）2=λ, 　　令F(t)=f（t）-λ2(t-a)（t-b）, 　　由于f（a）=f（b）=0,得到F�、（ 　　��� �1）=F�、（ 　　��� �2）=0, 　　再从λ,的定义知,F(x)0. 　　在区间［a，x］［x，b］, 上分别对F(t)应用罗尔定理, 　　得到 　　��� �1， 　　��� �2，a＜ 　　��� �1＜ 　　��� �2＜b,使F�、（ 　　��� �1）=F�、（ 　　��� �2）=0, 　　在闭区间［ 　　��� �1, 　　��� �2］上,对F�、（t）应用罗尔定理, 　　则得到c∈ （ 　　��� �1, 　　��� �2）�［a，b］ , 　　使 F��、、�（c）=0,即f��、、�（C）=λ,证毕. 　　2.设f为［a，b］ 上二阶可导函数,f（a）=f（b）=0,并存在一点c∈（a，b）,使得f（c）＞0.证明：至少存在一点�∈(a,b),使得f��、、�（�）＜0. 　　证明：由拉格朗日中值定理中,存在��1∈(a,c),使f(c)-f(a)=f�、（��1）（c-a）, 　　 由于f（a）=0,f（c）＞0,c-a＞0故f（��1）＞0, 　　又对f（x）在［c，b］上应用,拉格朗日中值定理, 　　存在��2∈(c,b)使得f(b)-f(c)=f�、（��2）（b-c）, 　　因为f（b）=0,f（c）＞0,（b-c）＞0. 　　故f�、（��2）＜0,由于α＜��1 ＜c＜��2＜b. 　　∴f�、（x）在［��1,��2］上可导, 　　故存在�∈（��1，��2），（��1，��2）�（a，b）,使f�、（（��1）-f�、（（��1）=（��2-��1）f��、、�（�） . 　　因此得出f��、、�（� ＜0.� 　　参考文献� 　　［1］华东师范大学数学系：《数学分析上册》,高等教育出版社.� 　　［2］ 同济大学.高等数学第五版（上册）.北京：高等教育出版社，2005.� 　　［3］ 张玉莲 杨要 杰拉格朗日中值定理的推广,河南教育学院报.� 　　［4］ 陈大均 微积分基本公式和中值定理,工科数学,1995.� 　　［5］ 吕林根,许子道。解析几何（第三版）：北京市高等教育出版社,1991.� 　　［6］ 徐新亚, 夏海峰 编著：《数学分析选讲》，同济大学出版社.� 　　［7］ David C.lay著，刘深泉等译.线性代数及应用.北京：机械工业出版社，2005,11.