不定积分求解方法

探讨不定积分的解题方法

班级 学号 姓名

20124111 2012411151 杨洁珊

摘要

在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反

三、触类旁通的教学效果。

为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。

研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。 求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。 关键词

不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。 前言

正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某

一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。

标题一、直接积分法

我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。

下面的基本积分表就必须掌握

1.0dxc

2 adxaxc a1

axxdxca0,x0 3. a1

14ln|x|cx0 x

5.eec

xa6.axdxc(a0,a1) lnxxx

17.cosaxdxsinaxc a

18sinaxdxcosaxca0 a

9secxdxtanxca0 2

10.csc2xdxtanxc

11.secxtanxdxsecxc

12.cscx

cotxdxcscxc

13.dx

arcsinxcarccosxc'

dx14.arctanxcarccotxc' 21x

dx1xa15.2ln||c 2xa2axa

16.secxdxln|secxtanx|c

在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况

(1).假分式化为真分式

方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。 例：

x1x2164422xxxx2x212x1

x4x21x2x212x2112x1

412xdxx2dx2 x1

1513xx2xarctanxC53

(2).复杂的三角函数利用积化和差公式转化为熟悉的积分公式 6

1.sinsincoscossin

2.sinsincoscossin

3.coscoscossinsin

4.coscoscossinsin 5sinsin2cossin6.sinsin2sincos 7.coscos2sinsin 8.coscos2coscos

9.sinsin2sin2cos 210.sinsin2sin2

11.coscos2cos2cos 2cos 212.coscos2sinsin 22

例1：求sin

22xdx

解：sinxdx

1cos2x122dxcos2xdx11xsin2xc 24

（利用到公式7）

例2：求

解cos3xsinxdx ：

1111cos4xsin2xccos3xsinxdx2sin4xsin2xdx224

（利用公式5）

标题二、换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分不能转化为积分公式时，则通过换元转化。

9.sinsin2sin2cos 210.sinsin2sin2

11.coscos2cos2cos 2cos 212.coscos2sinsin 22

例1：求sin

22xdx

解：sinxdx

1cos2x122dxcos2xdx11xsin2xc 24

（利用到公式7）

例2：求

解cos3xsinxdx ：

1111cos4xsin2xccos3xsinxdx2sin4xsin2xdx224

（利用公式5）

标题二、换元积分法

所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分不能转化为积分公式时，则通过换元转化。

●定义：设函数fx在区间I上有定义，t在在区间J上可导，且

JI。

（1）、第一换元法：如果不定积分fxdxFxdxc在I上存在，则

不定积分ft,tdt在J上也存在，且ft'tdtFtc。

该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成

积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也

称为“凑微分法”。基本步骤是凑微分换元积分回代。

（2）、第二换元法：如果xt在J上存在反函数t1x，xI，

且不定积分fxdx在I上存在，则当不定积分fxdxG1xC。

基本步骤：换元积分回代。

f[(t)]′(t)dtf(x)dx换元(令x(t))

F(t)c

积分

F[(x)]c

●要掌握换元法关键在于能够判断是用哪一种，或许两种还换元都可

以，学会判断，总结才是真正能够运用着一方法的精髓。下面将对经

常遇到的情况进行总结。

◆第一换元法的应用

(1) “凑”：将被积函数中的某个函数直接与dx凑成微分形式；

x例：求2xedx. 2回代t=(x)11

分析：其中2x与e凑成微分形式。

22xedx edx解：=xx2x2

令u2edxx则x2=edu=eu

uC

将ux2回代，则euex2

,所以2xex2dx= ex2C

(2) 变形后再“凑”，有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某 些因子）后，可以使用凑微分法。

例：

求



x





dx2dx dx1x

11d,换元uxx u1C

回代

C1x

◆第二换元积分法的应用

一般地采用第二换元积分法的情形：被积函数中含有根式，目的是去掉根号。

例1

：求du⑴

解：为去掉被积函数中的根式，取根的次数2与3的最小公倍数6，

6ux并令，则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分。

解：

56x32xx

126xx1dxx1

xx6xln|x1|C23

6ln|1|C例2:

求32du dx⑵

解：令xasect,0t

2（同理可考虑t0的情况）于是有

asecttantsectdtatant

ln|secttant|C

x借助直角三角形，便于求出sect,tanta,故得

adx

xln|a|Ca

ln|x|C

常见的换元有： xatanudxa0令1. 2

2ax

2.a0令xasint,|t|

3. dx2

x2a2xasint,|t|a0令 22

标题三：分部积分法

●定义：若ux与vx 可导，不定积分u'xvxdx存在

uxv'xd则也存在，并有xuxv'xdxuxvxu'xvxdx。

●意义：我们知道直接积分法是求积分的基本方法，换元积分法是求积分的重要方法，若这两种方法均不能得出结果，就考虑分部积分法。该方法是化简被积函数为可积形式的重要而有效的方法，可看成微分

学中两个函数乘积运算的逆运算。该积分法使用的范围是两种不同类型函数乘积形式的不定积分。其主要用于解决被积函数是两种初等函数的乘积或单一个函数（对数函数。反三角函数，初等函数）的不定积分。⑶

利用此公式求积分的基本步骤是：

分解f(x)uv′凑微分f(x)dxuv′dxudvxd 分解f(x)uv′凑微分f(x)dxuv′dx

分部积分公式求微分uvvduuvvu′dx基本积分公式uvF(x)cudvxd

●基本类型：

（1）降幂类型：

nxnnxxsinxxcosx求，，等e类型函数的不定积分时，可用

分部积分法使x

例：求nnxu。 逐渐降幂，即令x2cosxdx

2ux,v'cox，则有u'2x,vsinx，解：令

求得

22xcosxdxxsinx2xsinxdx 

再令ux,v'sinx，则有u'1,vcosx，解得

x2

2cosxdxxsinx2xcoxcosxdx2 xsinx2xcox2sinx

（2）升幂类型：

求nnnxarctanx,xlnx,xarcsinx等类型函数的不定积分时，一般使用升幂法，令v'xn。

3xlnxdx例：求⑷

3ulnx,v'x 解：令则有

xxlnxdxlnxd4

414x 3xlnxxdx4lnx1C41634

x（3）超越函数超越函数型 一般有esinx,ecox等，使用循环法 x

（4）幂函数型

nIcos如nxdx，一般使用递推法，求出递推公式。

例:

导出不定积分In

解： xn（n为正整数）的递推公式。

In

Innn1xd

xn2

1x2

n2n

n2

xn

n1xn2xnn1

xn

n1

xn

nn1



n1xnn1In2n1In

由此得到递推公式

In1nn1xIn2 nn

⑸标题四：分解积分法

如果不定积分Xfxdx按一般方法求较复杂, 而把X作分解, 分解成的辅助积分X1,X2,X3........Xr有 r 个线性组合易积分, 那么复杂

的求不定积分问题就转变成简单的积分和解线性方程组的问题, 这时分解积分法就起到了化繁为简的作用。

sinx2cosx 例：2sinx3cosx

sinx2cosx 解：令X2sinx3cosx

sinxcosxX 则有1 ， X22sinx3cosx2sinx3cosx

2sinx3cosxxC11 那么2X13X22sinx3cosx

2cosx3sinx3X12X2ln|2sinx3cosx|C22 2sinx3cosx

由31-22得，

13X23x2ln|2sinx3cosx|C2 3C12C232Xln|2sinx3cosx|即X2 131313

再由21-32得，

13X12x2ln|2sinx3cosx|3C12C2 3C12C22xln|2sinx3cosx|即X1 131313

即可得XX12X28CC281xln|2sinx3cosx|C,C1

131313 

总结：从上述例题可以看出，实际上分解积分法的求解思路, 可用于任何求解题中, 只要把其中的X看作所求量X1,X2,X3........Xr看作分X解出的相应量即可。

结束语

对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直接进行求解。对于难以直接用基本积分公式的积分，我们有第一类换元积分法和第二类换元积分法，分部积分法以及分解积分法。对于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它拆成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换将它化为有理函数

的不定积分，但在具体计算时，应根据被积函数的特点而采用简单灵活的代换；一些无理根式的不定积分，可以运用换元法将其化为有理函数的不定积分，再按照有理函数的不定积分方法进行求解。相信只要我们能够各种方法积分的特点，那么不定积分的求解问题就迎刃而解了。还有就是要注意一题多解的情况，这样我们能够更好的解答不定积分问题。

参考文献：

（1）华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育出版社，2010.7,

第185面。

（2）华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育出版社，2010.7,

第186面。

（3）唐晓英.分部积分法的解题技巧[J].长春理工大学学

报.2005(2)89-90.

（4）华东师范大学数学系编，数学分析上册，高等教育出版社，2010.7,

第188面。

（5）刘玉琏、傅沛仁编: 数学分析讲义, 高等教育出版社, 1985 年。