VaR_一种风险度量的方法

　　第1卷　第2期　2002年　3月

广州大学学报(自然科学版)

JOURNALOFGUANGZHOUUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)

Vol.1　No12　　Mar.　2002　　

文章编号:1671-4229(2002)02-0008-05

VaR———一种风险度量的方法

陈学华,杨辉耀

(广州大学数量经济学研究所,广东广州510405)

摘　要:在险价值是目前市场风险估值的主流理论,失.本文介绍了VaR的概念和计算方法.,,方法.

关键词:在险价值;G;中图分类号:A

核心———潜在亏损,所以它富有吸引力,并迅速被

1　风险的定义与在险价值(VaR)

广义的金融风险是指未来回报的不确定性,主要包括4种类型的风险:信用风险、操作风险、流动性风险和市场风险.市场风险是最主要的金融风险,它是由市场条件变化所引起的未来回报的不确定性,可以通过未结清头寸的价值变化或收益的变化来度量[1].

传统的风险度量工具为方差,它客观地度量了资产组合收益率变动的不确定性,既包含人们不愿面对的亏损,又包括人们努力追求的超额回报,但不能确切地指出资产投资的损失的可能性到底有多大.根据统计学的理论,随机变量的特性应通过随机变量的概率分布确切描述,而不是仅仅使用方差.因此,市场风险的度量应通过其收益的概率分布进行描述.为此,研究人员引入了风险管理与控制的新工具———VaR(ValueatRisk),亦称为在险价值.

VaR体系的最初目的在于量化市场风险,目前已经成为金融风险量化分析的标准.在美国,许多评估机构如穆迪与标准普尔,金融会计标准委员会,以及证券与交易委员会都宣称支持VaR.它有两个显著的优点:一是它按照随机变量的特性,通过随机变量的概率分布来刻画风险度量概念,因此比较确切;二是它把全部资产组合风险概括为一个简单的数字,并以货币计量单位来表示风险管理的

收稿日期:2001-12-13;　修订日期:2002-02-21

推广.

在险价值(VaR)可定义为:在一定的市场条件下,一项交易或头寸,由于市场反向变动,在未来一个选定的时期内,

对一个设定的概率而言的预期最大损失值[1].在险价值可以通过以下公式计算而得:

在险价值(VaR)=头寸当前价值×头寸相对于相关风险改变量敏感度×风险因素可能变化幅度.

这里,头寸当前价值是指以目前市场价格和比率计算的资产组合市值;头寸相对于相关风险因素改变量的敏感度,是指风险因素的市场变化所导致的组合价值的改变量;风险因素的可能变化幅度,是指在设定的置信水平下,风险因素相对于目前水平的最大可能变化幅度,它是整个在险价值计算的核心,其计算的关键部分是给出风险因素波动率的估计.

计算在险价值的方法大致可分为三类:分析法、历史法和蒙特卡罗模拟法.

分析法是基于资产收益的历史时间序列,计算各种资产收益的波动率和相关系数.资产组合的在险价值,是组合中所包含的各金融资产收益的波动率及相关系数的函数.历史法又分为简单历史法和历史模拟法.简单历史法不需要对资产收益的分布作任何假定,它从实际历史数据中直接寻找所要的最低收益率作为在险价值的估计.历史模拟法就是

作者简介:陈学华(1976-),男,硕士生;主要研究方向:数量经济与金融工程学.

　第2期　　　　　　　　　　陈学华等:VaR———一种风险度量的方法用风险因素的历史变化构造一个组合未来的可能损失分布,而后再从这个分布出发估计组合的在险价值.

蒙特卡罗模拟法与历史模拟法的不同在于,它不是利用市场因素的历史观测值,而是通过能描述市场因素可能变化的统计分布,产生假想的未来损益.

不同的计算方法各有其优缺点,实际应用中可依据资产的复杂程度以及对结果要求的准确程度选择其中某一方法加以计算.

(0,1).设-α=

(α>0),于是

9

σ

1-c=

∫f(R)dR=∫Ψ(ε)dε.

-∞

-∞

R′-α

　　这样求风险价值VaR就转化为求偏离α,使其左边区域面积等于1-c,这可根据给定的置信水平

c,通过查标准正态分布表,得到对应的标准正态分布的分位数.因此,有

R′=μ-α

)=P0ασ.VaR=EP)--μ,σ上,α值.这一方法被称[1,2].

对于任意的投资组合,为计算其VaR,需要估计组合的回报率标准差.假设包括N种资产,投资组合的回报率是其标的资产的线性组合.定义权重

Wi=Pi/P0,其中,Pi是资产I的价值,P0是资产组

2　VaR)=1(

.设期望收益率为μ,期初的资产价值为P0,则期末的资产价值为p=P0(1+R).根据前面给出的在险价值的定义,在给定置信水平C下,投资组合的最小价值为p′=

).故下面的式子成立:P0(1+R′

).VaR=E(P)-P′=-P0(R′-μ

合的价值,令W代表权重的列向量,R是回报率的

列向量.则组合的回报率可表示为RP=WTR,方差

2T为σ表示R的方差-协方差阵,从P=W∑W,∑

σ而投资组合VaRp=αp

P0.由此可见,应用分析法计

算VaR的关键是对参数σ的估计.

　　因此,找到最小收益率R′,即等同于找到了VaR.令f(.)为收益率分布的概率密度函数,则不管随机变量R服从何种分布,在给定的置信度下,下面的式子总是有效的:

1-c=

∫f(R)dR.

-∞

R′

图1是上证综指及其收益率时序图,时间自1998年1月5日至2001年12月31日,共723个交易日,数据来自分析家软件.我们通过考察上海股市的波动情况,可以看到上证指数的收益率存在明显的异方差性,即在某些时期内的波动十分激烈,而另一些时期的波动又相对平静.

　　如果收益率服从正态分布,为了方便,先把一般的分布转换为标准正态分布Ψ(ε),令ε=σεσ,其中,是收益率R的标准离差.则～N

图1　上证综指及其收益率时序图

Fig.1　ShanghaiStockindexand

itsreturns

　　描述股票价格等金融现象过去最常用的模型

是随机游走模型,但对于异方差性的这一特征,用随机游走模型却很难解释.为了刻画时间序列的这种特征,Engle于1982年首先提出了自回归条件异方差(ARCH)模型,并立即受到广大研究人员的重视.目前已出现了许多重要的研究成果,ARCH模型的理论和数学结构已经建立,它的性质和特点已为研究人员和实际工作者所接受.

10

　　　　　　　　　　广州大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　第1卷　

ARCH模型具有良好的特性,即持续的方差和

p≥0,q≥0,α0,α0(i=1,2,…,q),0≥i≥

处理厚尾的能力,能较好地描述股价等金融变量的

波动特征,表明金融时间序列的比较明显的变化是可以预测的.存在ARCH效应时,使用ARCH模型与使用无条件方差的普通最小二乘法相比,能显著提高预测的准确性.正是由于ARCH模型的这一特点,它在过去十几年里得到了普遍的重视和推广.下面作一些简单的介绍[3,5].

设随机变量Yt

与解释变量Xt和参数B之间的回归关系可以用以下模型表示:　　　　　　Yt=X′tB+εt,

2

εt|Mt-1～N(0,σt),

β0(j=1,2,…,p).j≥

(2)式被称为GARCH(p,q)模型.GARCH(p,q)模型等价于ARCH(q)模型在q趋于无穷时的情

况,但待估参数却大为减少.由上面两个模型的条

件方差形式可知,ARCH(q)模型是一个短记忆过程,即随机误差项εt的条件方差仅依赖于过去q时期的实现.而GARCH(p,q)程,即εt现.GA,经济学家也很热衷于对误差方差的形式作一些小小的改动,构造出新的模型.这些模型被称为GARCH模型类.

我们可以在一定的分布假设下,应用上面的

2

GARCH模型类计算时变的条件方差σt,将σt代替VaR计算公式中的σ,即可计算得到VaR的值VaRt

σ=Pt-1αt.我们应用条件异方差方法,估计了上证综指收

益率的风险.图2是利用AR(6)-GRACH(1,1)-M模型进行估计所得到的持有期为一天、置信水平为95%和

99%的VaR风险控制图(出于方便,纵坐标用收益率表示,而不是用VaR值,在本文中对讨论结果没有影响).

εt=zσtt,zt为i.并且

E(=1其中,εt,1t-1期获得的信

2

息集,再设σt:

q

σt=α0+

2

i=1

2

αε∑

i

t-i

(1)

α0>0,αi≥0(i=1,2,…,q)

　　则称(1)式为ARCH(q)模型.在实际应用中,

为了达到更好的拟合效果,常常需要更大的阶数

q,这会增加待估参数的个数,而降低参数估计的

效率.针对这个问题,Bollerslec在ARCH(q)模型中增加了P个自回归项,即:

q

p

σt=α　　0+

2

i=1

αε∑

i

2

t-i

+

j=1

2

βσ∑

j

t-j

(2)

图2　VaR风险控制图

Fig.2　VaRforstockindex

　　图2中显示了每日收益率和置信水平为95%

和99%的条件置信区间,统计结果得到约有95%的收益率落在95%的置信区间内,而约有98.5%的收益率在99%的置信区间内.由此看来该模型已经抓住了风险变化的特征.但也看到,当置信水平比较高时,要确认系统是否发生偏差也会变得困难.

VaR-GARCH模型针对金融市场数据自身的特点,通过GARCH模型,对条件异方差进行估计,提高了

VaR计算的精度.但需指出的是,VaR只是在

　第2期　　　　　　　　　　陈学华等:VaR———一种风险度量的方法市场因素正常波动的条件下才适用的.对于市场因素的异常波动或突发性事件,VaR是无能为力的,这时需要引入压力测试和极值理论.

11

的χ2分布.这个检验方法的置信域可以由似然比率的边界处值(tailpoint)给出,通过查χ2分布函数表得到.3.3　VaR的误差分析

VaR结果只是真实值的一种估计,使用VaR

3　模型评价方法

在实际应用中,由于数据抽样、模型的假设条

件、动态性假定、随机因素和人为因素的影响,VaR估计产生一定的偏差是在所难免的.对VaR模型的准确性和测量精确性进行检验和评估,就是为了准确理解VaR估计结果的有效性并改进VaR模型.准确性检验是比较VaR模型的估计(预测果与实际损益情况,以评估,检验VaR.误差分析是对度估计[2,4].3.1　正态性检验

通常,我们假定回报率服从正态分布,因此检查实际损益的分布的正态性是评价VaR模型有效性的重要方法.正态性检验最常用的检验方法是峰度和偏度检验.峰度测量了实际分布的不对称性,取观测值在均值上方还是下方有更高的频率;偏度测量了实际分布的厚尾性.Kendall和Stuart给出了显著性检验方法.

3.2　基于失效概率的准确性检验方法

模型时除了必须了解其准确性外,还要知道VaR

估计的精度是多少.VaR估计的有效性依赖于其精度.

VaR精度,需要对.这里仅讨论通过VaR的精度.

σ,α由置,在正态分布下,VaR=P0α

信水平决定(比如在95%的置信水平下α=1.65).σ(未知)是每日收益的标准差,所以我们需要知道σ估计的准确性.设来自正态分布的随机样本为

222

T.设σ^(已知)是样本的方差.则(T-1)σ^/σ服从自由度为T-1的χ2分布.

DavidChappell和KevinDowd给出了以下的计

算公式:σ^

T-1)/χ　

2

2

22

T-1)/χ　.

2

2

2

　　其中χ　和χ　是在置信度c下

,χ上、下

2

2

的两个分位数.因此,VaR的置信区间为:

P0σ^

T-1)/χ　

22

库皮克给出了这种检验方法.其方法是构造一个LR统计量,将投资组合观察的实际每日盈亏结果与测定的VaR值进行比较,如果VaR模型测定的VaR是准确的,那么,投资组合实际亏损超过测定VaR值的例外情形可被视为从一个二项分布中出现的独立事件,即如果实际亏损幅度在测定VaR值以内,则被视为一个成功的事件(为1),如果实际亏损幅度在测定的VaR值以上,则被视为一个失效事件(为0).因此,失效事件出现的概率应为预定的失效水平.

假定计算VaR的置信度为C,实际考察天数为T,失败天数为N,则失败频率为p(=N/T),失

(=1-c).零假设为p=p′败的期望概率为p′,这

样对VaR模型准确性的评估就转化为检验失败频率p是否显著不同于p′.

Kupiec提出了零假设的似然比率检验:

N

)T-Np′LR=-2[ln(1-p′]+

2ln[(1-p)T-N(p)N].

在零假设条件下,统计量LR服从自由度为1

σ

2

2

只要VaR处于这个置信区间,即认为模型的VaR估计得比较好.这种方法是在正态分布的假设下得到的,但正如前面所说金融时间序列数据往往不服从正态分布,因此使用时必须小心.在损益不服从正态分布时,上述的置信区间构造方法无法应用.这时如果VaR估计采用的是非参数方法(不需假定分布形式),则可以用次序统计量的标准理论估计任意分位数或VaR的置信区间.

4　VaR的应用

VaR的产生无疑使人们的投资观念、经营观念

以及管理观念都发生了巨大变化:对交易员或交易组而言,它是进行投资决策时风险度量的科学方法.VaR将风险具体地量化为简明的数值指标,可以使交易机构和交易员清楚地了解到他们在进行多大风险的金融交易,并可以为每个交易机构和交

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后,计算其VaR、VaB、VaR/VaB(VaB英文为Value-at-Best,即最好收益,指在未来一定时间内,给定条

件下,投资任何一种金融工具和品种的潜在的最好收益),考察其大小和变动趋势,确定进入市场或退出市场的时机.

VaR方法是国际上最新的度量金融风险的定

易员设置VaR限额,防止因风险敞口过大而造成损失.对大型的金融机构或基金管理公司而言,它是进行资金配置、业绩评价和全面风险控制的有力工具.证券投资中,高收益总与高风险相伴而生,如单纯以利润作为考核指标,下级部门或交易员可能不惜冒巨大的风险去追求利润,有了VaR值,可以对投资业绩进行比较全面、合理的衡量.风险调整的资本收益(RAROC)就是引入VaR值而设计出的一种比较科学的衡量指标,其公式是RAROC=收益/VaR.从公式中可以看出,当交易员从事高风险投资时,即使收益很高,但因VaR值也会很高,所以业绩评价值RAROC也不会高.于一般投资者,,,量方法,在我国金融改革不断加快、金融市场不断发展的形势下,WTO、许多市场因素将,,.因此研究风险的度量与管理也就更具实际意义.

参考文献:

[1]　PhilippeJorion.ValueatRisk:thenewbenchmarkforcontrollingderivativesrisk[M].TheMcGraw-HillCompanies,inc.,1997.[2]　王春峰.金融市场风险管理[M].天津:天津大学出版社,2001.

WANGChun-feng.Managementoffinancialmarketrisk[M].Tianjin:TianjinUniversityPress,2001.[3]　陆懋祖.高等时间序列经济计量学[M].上海:上海人民出版社,1999.

LUMao-zu.Advancedtimeserieseconometrics[M].Shanghai:ShanghaiPeoplePress,1999.

[4]　Kupiec,PaulH.Techniquesforverifyingtheaccuracyofriskmeasurementmodels[J].JournalofDerivatives,1995,3(2):73-84.[5]　高惠璇等译.SAS/ETS软件使用手册[M].北京:中国统计出版社,1998.

SAS/ETSsoftwareguide.TranslatedbyGaoHuixuan.Beijing:ChinaStatisticsPress,1998.

VaR———aMethodofRiskMeasurement

CHENXue-hua,YANGHui-yao

(ResearchInstituteofQuantitativeEconomy,GuangzhouUniversity,Guangzhou510405,China)

Abstract:ValueatRiskisoneofthemostpopulartoolsusedtoestimatetheexposuretomarketrisks,anditmeasurestheworstexpectedlossatagivenconfidencelevel.Inthispaper,weexplaintheconceptofVaR,anddescribeseveralmethodsofthecomputationofVaR.Consideringtheeffectoftimevaryingrisk,wediscussabouttheGARCHm

odels.Finally,weintroducesomebacktestingmethodstovalidatetheuseofVaRmodel.Keywords:ValueatRisk;GARCHmodel;confidencelevel;backtesting

【责任编辑:周　全】