反比例函数全章导学案
§26.1.1反比例函数的概念
出题人:姜雪 日期:
教学目标:
1.理解并掌握反比例函数的概念
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想
4.经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念以及意义。 5.培养观察、推理、分析能力,体验数形结合的数学思想,认识反比例函数的应用价值。 教学重点:
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 教学难点:
理解反比例函数的概念 教学过程: 【板块一】核心知识
【板块二】探索新知
问题1:汽车从北京出发开往上海(全程约300km),全程所用时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.
(1)你能用含有v的代数式表示t吗? (2)利用(1)的关系式完成下表:
(3)速度v是时间t的函数吗?为什么?
问题2:用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:
(1)一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化; (2)实数m与n的积为-200,m随n的变化而变化. 总结:
(1)这两个函数有什么共同特征? (2)你能归纳出反比例函数的概念吗?
(3)这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同?
知识点归纳:
反比例函数:如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的一般形式,那么y是x的反比例函数,其中x是自变量,反比例函数的自变量x的取值范围是 。 【板块三】典型例题
例1:(学科综合)
如图,阻力为1000N,阻力臂长为5cm.设动力y(N),动力臂为x(cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时:动力*动力臂=阻力*阻力臂)
(1)求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是,请说出比例系数; (2)求当x=50时,函数y的值,并说明这个值的实际意义;
(3)利用y关于x的函数解析式,说明当动力臂长扩大到原来的n(n>1)倍时,所需动力将怎样变化?
动力
阻力臂
动力臂
例2.下列等式中,哪些是反比例函数?(利用反比例函数的形式判断一个函数是否是反比例函数)
x2
(1)y= (2)y=- (3)xy=21
3x
(4)y=
力
531
(5)y=- (6)y=+3 (7)y=x-4 x+22xx
例3:(反比例函数的形式、意义及灵活运用) (1)在函数
y=(m-2)x
3-m2
中,
当m= 时,y是x的正比例函数? 当m= 时,y是x的反比例函数?
(2)苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,求出y与x之间的函数关系式。 (3)函数y=-
1
中自变量x的取值范围是 x+2
例4:(待定系数法求函数解析式)
已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5 (1)求y与x的函数关系式; (2)当x=-2时,求函数y的值。
例5:(反比例函数与不等式) 对于反比例函数y=
8
,要使x的值不小于16,试求y的取值范围。 x
【板块四】反馈练习
1.写出下列函数关系式,并指出它们各是什么函数
(1)平行四边形面积是24 cm,它的一边长x m和这边上的高h cm之间的关系是 。 (2)小明用10元钱去买同一种菜,买这种菜的数量m kg与单价n元/kg•之间的关系是___________。 (3)老李家一块地收粮食1000 kg,这块地的亩数S与亩产量t kg/亩之间的关系是_____________。 2.若y是x-1的反比例函数,则x的取值范围是 3.若y=
2
1xn-1
是y关于x的反比例函数关系式,则n是
4.把xy=-1化为y=
k
的形式,其中k= x
5.指出下列函数关系式中,哪一个成反比例函数关系,并指出k的值. (1)y=-
6.已知y是2x的反比例函数,当x=(1)求y与2x的函数关系式; (2)当x=-
7.若y与x成反比例,且x=2是y=
3
xy1 (2)
(3)=1 (4)
(5)
(6)y=2 32xx1
时,y=1. 2
11时,求y的值;(3)当y=-时,求x的值. 42
13
.(1)求y与x的函数关系式;(2)求y=-16时的值. 4
8.已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,
y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值。
【板块五】能力提升
1.如果y与x成反比例,z与y成正比例,则z与x成________. 2.已知变量x,y满足
(x+y)=x+y-2,问x,y是否成反比例?请说明理由。
2
2
2
3.(通州21)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 交于A(m,3),B(-3,n)两点. (1)求一次函数的表达式;
(2)观察函数图象,直接写出关于x的不等式
6
的图象 x
6
>kx+b的解集. x
(1)求反比例函数的解析式; (2)求△BOD的面积.
5、已知反比例函数y=
k
的图象经过点A(-,1). x
(1)试确定此反比例函数的解析式;
(2)点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在此反比例函数的图象上,并说明理由;
(3)已知点P(m
,3m+6)也在此反比例函数的图象上(其中m
于点M.若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是
12,设Q点的纵坐标为n,求n-的值. 3n+9
【板块五】课后作业
2
§26.2.1 反比例函数的图像和性质(一)
出题人:姜雪 日期
教学目标:
1、体会并了解反比例函数的图象的意义 2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质。
4.结合正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质,来帮助我们观察、分析及归纳,通过对比,能更好地理解和掌握所学的内容,体会数形结合的思想方法。
5.以积极探索的思想,逐步提高从函数图象中获取信息的能力,探索并掌握反比例函数的主要性质
教学重点:
会作反比例函数的图象;探索并掌握反比例函数的主要性质 教学难点:
探索并掌握反比例函数的主要性质 教学过程: 【板块一】核心知识
【板块二】探索新知
1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?其性质有哪些?正比例函数y=kx(k≠0)呢?
2.画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些?应注意什么? 方法与步骤:
① 取自变量x的哪些值? 要注意什么问题? ② 依据什么(数据、方法)找点? ③ 如何连接?
在下面的平面直角坐标系中,如下图画出反比例函数y=
3366
与y=-以及y=和y=- 的图象
xxxx
观察 函数y=
6633
和y=-以及y=和y=-的图象
xxxx
思考: (1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗?
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限? (3)在每一个象限内,y随x的变化如何变化?
知识点归纳:
归纳反比例函数图象的特征及性质: (1)
(2)
(3)
【板块三】典型例题 例1:(学科综合)
例2:(反比例函数的图象和性质)
k
(k>0)的图象关于 x
3-m
2.若函数y=(2m-1)x与y=的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是
x
2
3.反比例函数y=-,当x=-2时,y=;当x<-2时;y的取值范围是;当x>
x
1.函数y=
-2时;y的取值范围是 4.函数y=-ax+a与y=
-a
(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ) x
5.已知反比例函数y=(a-2)x
6.已知反比例函数y=
a2-6
,当x>0时,y随x的增大而增大,求函数关系式。
3-k
,分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x
(1)函数图象位于第一、三象限 (2)在第二象限内,y随x的增大而增大
例3:(反比例函数在几何中的应用)
7.在平面直角坐标系内,过反比例函数y=
k
(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段,与xx
轴、y轴所围成的矩形面积是6,求函数解析式。
【板块四】巩固练习
1.已知y与x成反比例,且当x=- (1)y关于x的函数解析式 (2)当x=-
2.若当x=
34
时,y=。求: 43
2
时,求y的值。 3
k1
时,正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=2(k2≠0)的值相等,则 2x
k1与k2的比是( )
(A)4:1 (B) 2:1 (C) 1:2 (D) 1:4
3. 已知y-1与x成反比例,且当x=2时,y=-2, 求y关于x的函数关系式.
1.已知反比例函数y=
3-k
,分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大 2.函数y=-ax+a与y=
-a
(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
x
3.在平面直角坐标系内,过反比例函数y=
k
(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段,与xx
轴、y轴所围成的矩形面积是6,求函数解析式。
4.若函数y=(2m-1)x与y=2.反比例函数y=-
3-m
的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是 x
2
,当x=-2时,y=;当x<-2时;y的取值范围是;当x>x
2
-2时;y的取值范围是
a
y=(a-2)x6. 已知反比例函数
-6
,当x>0时,y随x的增大而增大,求函数关系式。
7.已知反比例函数y=(m-1)x情况?
m2-3
的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限内y随x的变化
8.过反比例函数y=
1
(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、x
OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得( ) (A)S1>S2 (B)S1=S2 (C)S1<S2 (D)大小关系不能确定 【板块五】能力提升
1.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设点P(1,t)在反比例函数y=的图象上,过点P作直线l与x轴平行,点Q在直线l上,满足QP=OP,若反比例函数y=的图象经过点Q,则k=____________________________ 2.已知y是x的反比例函数,当x>0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式__________.
3. 如图,P1 是反比例函数y=
k
(k>0)在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标为(2,0). x
(1)当点P1 的横坐标逐渐增大时,△P1O A1 的面积将如何变化?
(2)若△P1O A1 与△P2 A1 A2 均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及A2 点的坐标.
4.如图,已知等腰△AOB放置在平面直角坐标系xOy中, OA=OB,点B的坐标为(3,4) . (1)求直线AB的解析式;
(2)问将等腰△AOB沿x轴正方向平移多少个单位,能使点B落在反比例函数y=
上.
【板块五】课后作业
32
(x>0)的图象x
§26.2.2 反比例函数的图象和性质(二)
出题人:姜雪 日期:
教学目标:
1. 会用待定系数法确定反比例函数的表达式,进一步理解反比例函数的图象的性质 2. 进一步理解反比例函数的图象和性质 教学重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题 教学难点:
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质 教学过程: 【板块一】核心知识
【板块二】探索新知
问题1:线段AC、BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,把 OCD绕点O旋转180°,你有什么发现?
问题2:
对称的三角形
学生活动:请回答下面问题.
两个图形是否全等?
旋转三角形ABC,画出关于点O
两个图形是否可以看做旋转而成?旋转角度是多少? 两个图形的对应点连线,与旋转中心有何联系? 归纳:
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
【板块三】典型例题 例1.补充下列解题过程:
题目:已知四边形ABCD和点O,画出四边形ABCD,使它与已知四边形关于点O•成中心对称. 解:要画四边形ABCD关于点O的对称图形,只要画A、B、C、D四点关于点O的对称点,再顺次连结
各点即可.
(1)如图连结AO并延长到A1,使______,得到点A的对称点A1; (2)同样画出B、C、D的对称点B1、C1、D1;
(3)顺次连结A1、B1、C1、D1各点.四边形A1B1C1D1就是所求的四边形.
例2. 如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C = 90°,
∠B = 30°,BC =1,则BB'
的长为( )
B
2343
A.4 B. C. D.
333
【板块四】反馈练习
1. 如图,已知四边形ABCD及点O.
求作:四边形A′B′C′D′,使得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点中心对称.
2. 已知:如图,四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心,并简要说明理由.
3.(2010,朝阳期末,14)如图,在8×11的方格纸中,△ABC的顶点均在小正方形的顶点处.画出
△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到的△A'B'C';
4.如图,方格纸中,每个小正方形的边长都是单位1.△ABC与
△A1B1C1关于O点成中心对称.
(1)画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移5个单位得到
△A2B2C2;
(2)画出将△A2B2C2绕点O顺时针旋转180得到△A3B3C3; (3)求出四边形CC3C1C2的面积.
5 已知:直线l的解析式为y=2x+3,若先作直线l关于原点的对称直线l1,再作直线l1关于y轴的 对称直线l2,最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3,试求l3的解析式.
AB=2.∠BAD=90︒,6.(2010,海淀期末,12)图1中的“箭头”是以AC所在直线为对称轴的轴对称图形,
图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程,则图1中BC的长为
.
图1 图2 图3 图4
7. (2013江苏中考题)如图,在平面直角坐标系中,点 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。 的坐标分别为 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.一个电动玩具从坐标原点 错误!未找到引用源。 出发,第一次跳跃到点 错误!未找到引用源。.使得点 错误!未找到引用源。 与点 错误!未找到引用源。 关于点 错误!未找到引用源。 成中心对称;第二次跳跃到点 错误!未找到引用源。,使得点 错误!未找到引用源。 与点 错误!未找到引用源。 关于点 错误!未找到引用源。 成中心对称;第三次跳跃到点 错误!
未找到引用源。,使得点 错误!未找到引用源。 与点 错误!未找到引用源。 关于点 错误!未找到引用源。 成中心对称;第四次跳跃到点 错误!未找到引用源。,使得点 错误!未找到引用源。 与点 错误!未找到引用源。 关于点 错误!未找到引用源。 成中心对称;第五次跳跃到点 错误!未找到引用源。,使得点 错误!未找到引用源。 与点 错误!未找到引用源。 关于点 错误!未找到引用源。 成中心对称;错误!未找到引用源。 照此规律重复下去,则点 错误!未找到引用源。 的坐标为 .
【板块五】课后作业
§23.2.2 中心对称图形
教学目标:
3. 理解中心对称图形,能够辨析图形是否中心对称、是否轴对称。 4. 体验综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形问题。 5. 培养对多种问题进行归类进而从中总结共性抽象规律的能力。 6. 学习体验科学研究方法:对照法。 教学重点:
辨析一般图形是否是中心对称图形、是否是轴对称图形。 教学难点:
对“中心对称”和“中心对称图形”两个概念的区分与联系。
教学过程: 【板块一】核心知识
【板块二】探索新知
问题1:将线段AB绕它的中点旋转180°,你有什么发现?
问题2:将平行四边形ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°,你有什么发现?
学生活动:请回答下面问题.
旋转之后的图形与原图形是否完全重叠? 归纳:
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 2.“中心对称”与“中心对称图形”的联系与区别: 联系:旋转中心、180°
区别:“中心对称”——两个全等图形;“中心对称图形”——一个图形 【板块三】典型例题
例1:线段不仅是轴对称图形,而且是______图形,它的对称中心是______;平行四边形是______图形,
它的对称中心是____________.
例2:若O点是□ABCD对角线AC、BD的交点,过O点作直线l交AD于E,交BC于F.则线段OF与 OE 的关系是______,梯形ABFE与梯形CDEF是______图形.
例3.(2010,东城期末,4)下面四张扑克牌中,图案属于中心对称的是( )
【板块四】反馈练习
1.若线段AB、CD关于点P成中心对称,则线段AB、CD的关系是______.
2.(2010,延庆期末,2)在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.(2010,海淀期末1)下列图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 在“任意四边形、平行四边形、矩形、正方形”中,仅是中心对称图形的是__________,既是轴对称图 形,又是中心对称图形的是__________
6.下列四个多边形:①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形.其中,既是轴对称图形又是中 心对称图形的是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 7.(2010,延庆期末,13)如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木 板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束经过了两次旋转,两次旋转的旋 转中心分别是水平线上的点__________和点__________,旋转角度分别是
__________度和__________度
8.以如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长为1,如果以MN所在的
直线为Y轴,以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系,使A 点与B点关于原点对称,则这时C点的坐标可能是________________.
9.(2014江西样卷)如图,把图中的 错误!未找到引用源。 经过一定的变换得到 错误!未找到引用源。, 如果图中 错误!未找到引用源。 上的点 错误!未找到引用源。 的坐标为(a,b),那么它的对应点 错误!未找到引用源。 的坐 标为 A.(a-2,b) B.(a+2,b) C.(-a-2,-b) D.(a+2,-b)
10. 如图,图中的小方格都是边长为 错误!未找到引用源。 的正方形,错误!未找到引用源。 的顶点坐标分别为A(-3,0),B(-1,-2),C(-2,2).
(1) 请在图中画出 错误!未找到引用源。 绕 错误!未找到引用源。 点顺时针旋转 错误!未找到引用源。 后 的图形;
(2) 请直接写出以 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 为顶点的平行四边形的第四
个顶点 错误!未找到引用源。 的坐标
11.已知直线l1:y=kx+b过点A(4,-1),B(-4,-5),将直线l1绕坐标原点旋转180°后得到l2, 点A的对应点为A1,点B的对应点为B1.
(1)在直角坐标系中作出以上四点; (2)求直线l1和l2的解析式; (3)计算四边形ABA1B1的面积. 【板块五】课后作业
§23.2.3 关于原点对称的点的坐标
教学目标:
1. 能够熟练掌握平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的性质,能综合运用平移、轴对称、旋转等变 换解决图形变换问题。
2.能够综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形问题。 3.练习数形结合处理问题的思想方法 教学重点:
学生自主探究总结得出平面直角坐标系中,关于原点中心对称的点的坐标性质。 教学难点:
能够运用旋转及中心对称解决一般数学问题。 教学过程: 【板块一】核心知识
【板块二】探索新知
问题:
在直角坐标系中,作出下列已知点关于原点O的对称点,并写出他们的坐标,这些坐标与已知点的坐标有什么关系?
A(4,0)、B(0,-3)、C(2,1)、D(-1,2)、E(-3,-4)
学生活动:请回答下面问题.
关于原点对称的点,其横坐标有什么关系?纵坐标有什么关系? 归纳:
1.两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反。
【板块三】典型例题
例1. 点A(2,-3)关于原点的对称点B坐标为__________,点A关于x轴对称的点C的坐标为__________,
点A关于y轴对称的点D的坐标为__________;
例2. 点A(a,b)关于原点的对称点B坐标为__________,点A关于x轴对称的点C的坐标为__________,
点A关于y轴对称的点D的坐标为__________;
例3. 点A(x+3,2y+1)与A’(y-5,x)关于原点对称,则点A的坐标是__________; 例4. 直线y=x+3上有一点P(m-5,2m),则P点关于原点的对称点
P’坐标为__________;
例5. 如图,∆PQR是∆ABC经过某种变换后得到的图形.如果
∆ABC中任意一点M的坐标为(a,b),那么它的对应点N
的坐标为 .
例6. 三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将 ABC沿
y轴翻折得到 A1B1C1,再将 A1B1C1绕点O旋转180°得到
A2B2C2. 请依次画出 A1B1C1和 A2B2C2.
【板块四】反馈练习
1.点A(2,-5)关于原点对称的点A’的坐标是__________
2.直线y=x+3上有一点P(m+5,3m),则P点关于原点的对称点P’的坐标是__________ 3.双曲线上y=
4
上有点P(m+3,m),则P点关于原点的对称点P’的坐标是__________ x
4.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,-3),若点B与点A关于原点O对称,则点B的坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 5. 点A(x+3,2y+1)与A’(y-5,x
)关于原点对称,则A点坐标是__________
6.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(3,a),点B的坐标是(b,-1),若点A与点B关于原点对称, 则a=__________,b=__________。
7. 如图所示,矩形 错误!未找到引用源。 的对角线 错误!未找到引用源。 和 错误!未找到引用源。 相交于点 错误!未找到引用源。,过点 错误!未找到引用源。 的直线分
别交 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 于点 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,AB=2错误!未找到引用源。,BC=3错误!未找到引用源。,则图中阴影部分的面积 为.
8.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△ABC,设点A的坐标为 (a,b)则点A的坐标为( )
(A)(-a,-b) (B)(-a.-b-1) (C)(-a,-b+1) (D)(-a,-b-2)
9.(2010,东城期末,19)如图,正方形ABCO的边长为4,D为AB上一点,且BD = 3,以点C为中心,把△CBD 顺时针旋转90,得到△CB1D1. (1)直接写出点D1的坐标;
(2)求点D旋转到点D1所经过的路线长.
【板块五】课后作业
第23章 旋转章节复习
教学目标:
1.掌握旋转的有关概念 ;
2.理解旋转变换是图形的一种基本变换; 3学会用旋转的性质作出任意图形的旋转图形; 4. 认识中心对称,对称中心; 5.理解中心对称的图形及性质特点。 教学重点:
旋转的基本性质,中心对称和中心对称图形的概念及性质,原点对称的点的坐标关系。 教学难点:
旋转、中心对称、中心对称图形的性质的综合运用。 教学过程
【板块一】核心知识
【板块二】巩固练习
1. 如图1,△ABC是等边三角形,D为BC边上的点,∠BAD=15°,△ABD旋
图1
A B
C D
3. 钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒.那么秒针20秒旋转的角度是;分针15 分钟转过的角 度是12出发,转过150°,则它指的数字是-3)关于原点对称点P'的坐标是 4. 在平面直角坐标系中,点P(2,
5. 如图2,对这个图形的判断,正确的是( ) A. 这是一个轴对称图形,它有一条对称轴; B. 这是一个轴对称图形,但不是中心对称图形; C. 这是一个中心对称图形,但不是轴对称图形; D. 这既是轴对称图形,也是中心对称图形.
6. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到的设计方案有等腰三角 形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案,你认为符合条件的是( ) A.等腰三角形
B.正三角形 C.等腰梯形 D.菱形
图2
7.如图,把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于 点D,若∠A'DC=90°,则∠A的度数是。
8. 如图,在Rt∆OAB中,∠OAB=90︒,OA=AB=6,将∆OAB绕点O沿逆时针方向旋转90︒得到 ∆OA1B1.(1)线段OA1的长是_____________,∠AOB1的度数是_____________;(2)连结AA1,求证:四边形OAA1B1是平行四边形.
9.如图,直线y=-
4
x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕3
点A顺时针旋转90°后得到
'B',求点B'的坐标? △AO
10. ABCD绕点A逆时针方向旋转30o后得到正方形
A′B′C′D′ 则图中阴影部分面 积为多少?
A')
11. 现有如图3所示的两种瓷砖若干,请从这两种瓷砖中各选
2块,拼成一个新的正方形地板图案,使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形(如示例图3-1)。
(1)分别在图3-2、图3-3中各设计一种与示例图不同的拼法,使其中其中有一个是轴对称图形而不是中
心对称图形,另一个是中心对称图形而不是轴对称图形;
(2)分别在图3-4、图3-5、图3-6中各设计一个拼铺图案,使这三个图案既是轴对称图形又是中心对称
图形,且互不相同(三个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到,则视为相同图案)。
图3 示例: 图3-1 图3-2 图3-3
12. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠A=30º,BC=2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得 到△EDC,此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,求n的大小和△CDF的面积?
A
F E
C
13.(2010荆州)如图,将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系?并证明你的结论.
14.如图,将一个钝角△ABC(其中∠ABC=120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1,使得C点落在AB的延长 线上的点C1处,连结AA1. (1)写出旋转角的度数;
(2)求证:∠A1AC=∠C1.
15.如图①,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE、CG。 (1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系,并证明你结论;
(2)将正方形DEFG绕点按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图(2),连接AE和CG。你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由。
16. 已知等边△ABC和等边△ADE,如图1,点D、E分别在AB、AC上,以AB、AE为边作平行四边 形ABFE,连接CF、FD、DC。 (1)证明:△CFD为等边三角形;
(2)将△ADE绕A顺时针旋转一定角度,如图2,其它条件不变,证明:△CFD为等边三角形。
17. 如图,点O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC旋转到△ADC的位置,连 接OD。
(1)求证:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由; (3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
第23章
提高专题(一)坐标系旋转与中心对称
教学目标:
1. 巩固坐标系旋转与坐标系中心对称的性质 2. 培养数形结合的思想方法 3. 对接中考,进行中考适应练习
教学重点:
体验中考试题的坐标系旋转、中心对称的出题思路 教学难点:
区分平移、轴对称、中心对称的相同点与不同点。
教学过程:
类型一:等边三角形、正方形
例1、已知:如图,P为等边三角形ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数
.
例2、请阅读下列材料
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2, PB=, PC=1.求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证).所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°.进而求出等边△ABC的边长为.问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=5,BP=2,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
例3、阅读下列材料:
问题:如图1,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=2,PC=1,求∠BPC的度数. 小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A(如图2),然后连结PP′. 请你参考小明同学的思路,解决下列问题: (1) 图2中∠BPC的度数为
(2) 如图3,若在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=4,PC=2,则∠BPC的度数为,正六边形ABCDEF的边长为 .
图1 图2 图3
【课后作业】
第23章
提高专题(二)图形旋转运用
教学目标:
1. 巩固图形旋转的运用
2. 培养自主构图、图形分析的能力,数形结合的数学思想方法 3. 对接中考,适应中考思路
教学重点:
训练、培养学生自主构图,并依据已知条件对图形进行分析 教学难点:
从试题中总结共性规律
教学过程: 类型二:半角特征
1、已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB = AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连结E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明; (2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探
究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.
2、(2012密云一模)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
(1)如图1,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当∠MAN 绕点A旋转到
BM≠DN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请
说明理由;
AN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出(2)当 M
你的猜想,并证明.
3、(2009房山二模)(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
1
∠BAD.(1)求证:EF=BE+FD; 2
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且 ∠EAF=
1
∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立? 2
1
∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量2
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
关系,并证明.
D
B
E
C
F
第23章
提高专题(三)图形旋转几何综合
教学目标:
1. 巩固图形旋转的运用
2. 培养自主构图、图形分析的能力,数形结合的数学思想方法
3. 对接中考,适应中考思路,通过解决中考几何综合试题,建立学生的信心,并形成对几何综合试题的应对策略。
教学重点:
训练、培养学生自主构图,并依据已知条件对图形进行分析 教学难点:
从试题中总结共性规律,形成应对策略
教学过程: 类型三:最值问题
1、(09山东潍坊)已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是 .
2、(2010西城二模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )
A. 22+2 B. 25 C. 26 D. 6
3
.已知:PA=PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB的大小.
4、(2010宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.⑴ 求证:△AMB≌△ENB; ⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; ⑶ 当AM+BM+CM的最小值为3+1时,求正方形的边长
.
5.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.
(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;
(3)如图2,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当θ= °时,EP的长度最大,最大值为 .
A
AAAA1 AA
6.(2010延庆二模)如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG. (1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论.
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角大于0,小于或等于360°),如图2,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?如成立,请予以证明;如不成立,请说明理由. (3)若BC=DE=2,在25-2的旋转过程中,当AE为最大值时,求AF的值.
7.(2011丰台一模,25)已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: 当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
A
B
D
C
F
︒
CE
B
C
E
P
C
P
B
B
B
1B1
B
︒
F
E
B
D
C
8(2012延庆二模).如图1,已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合), 求证:BD+DC > AD
下面的证法供你参考:
把∆ACD绕点A瞬时间针旋转60得到∆ABE,连接ED, 则有∆ACD≅∆ABE,DC=EB ∵AD=AE,∠DAE=60 ∴∆ADE是等边三角形 ∴AD=DE
在∆DBE中,BD+EB > DE 即:BD+DC>AD 实践探索:
(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:
如图2,点D是等腰直角三角形△ABC中BC边上的点(点D不与B、C重合),求证:BD+DC>2AD
B
图1
C
C
BC
图2
(2)如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时,BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系? 直
接写出结论. 创新应用:
(3)已知:如图3,等腰△ABC中, AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角), D是等腰△ABC外一点,且
∠BDC+∠BAC =180º, BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.