菱形的性质与判断讲义

菱形的性质与判断

一． 目标

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。 2．能运用综合法证明菱形的判定定理。

3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。 二．学习重点

掌握菱形的性质和判定以及证明方法。 三．知识回顾

1.平行四边形定义：两组对边

2. 平行四边形性质： .

3. 平行四边形判定： 四．课程重点

1.菱形的定义：

有一组

的 叫菱形。

例1：如图，在△ABC中，AB=BC,D,E,F,分别是BC,AC,AB边上的中点。 求证：四边形BDEF是菱形。

B

D

例2：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E,F，并且DE=DF，求

证：四边形ABCD是菱形。

D

A

2.菱形的性质：

性质1：具有 CB

已知:如图,四边形ABCD

是菱形.

求证:AB=BC=CD=DA.

性质2：四条边已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证: (1).AC⊥BD; (2).

AC平分∠BAD

和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC.

性质3：对角线 ，并且每条对角线 一组对角.

例1：菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的

周长为（ ）

A． 2 B． 33 C． 43 D． 3

A

B

E

DFC

例2：四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（ ） ．．．

A. DADE B. BDCE C. EAC90° D. ABC2E

E

AD

对角线BD的长是 ．

3.菱形的判定

已知:如图

,在四边形ABCD中, AB=BC.

求证:四边形ABCD是菱形.

判定1：有一组

已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA..求证:四边形ABCD是菱形.

判定3：四条边都

已知:如图,在□ABCD

中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.

判定:3：对角线相互平行四边形，是菱形。

例1：如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6 （1）AC、BD互相垂直吗？为什么？ （2）四边形

ABCD是菱形吗？为什么？

例2：已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

求证：四边形AEDF是菱形．

练习题 一．选择题（共4小题）

1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ） A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）

2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）

A．2

B．

C．1

D．

3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1

4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ） A．15

B．

C．7.5 D．

2

二．填空题（共15小题）

5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是．

6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=．

2

7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm．

6题图 7题图 8题图 9题图

8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 _________ ．

9如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=

10如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=

12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F

﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 _________ 点． 13如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是． 14已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为

15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为cm．

16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是cm．

17如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．

17题图 19题图

19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．

三．解答题（共7小题）

20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）

． （1）求点D的坐标；

（2）求经过点C的反比例函数解析式．

2

2

21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE

∥AC交BC的延长线于点E． 求证：DE=BE．

22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． （1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．

23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F． （1）求证：

BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE． （1）证明：∠APD=∠CBE；

（2

）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？

25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．

（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．