关于解析函数零点的连续性问题
第’)卷第$期
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关于解析函数零点的连续性问题
陶印心
(湖南城市学院数学系,湖南益阳
摘&’("&))要:给出一个关于解析函数零点的连续性定理,由它可推出多项式的零点关于其系数的连续性*
文献标识码:-文章编号:(!""! )’""’#.%$/"$#""", #"! 关键词:解析函数;零点;连续性;最大模原理中图分类号:+’%&*,
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这里所说的关于解析函数零点的连续性问题简单说来就是充分接近的两个解析函数的零点也是充分接近的*为方便起见,先给出下面的三个引理*
’几个引理
[’,! ]引理’[M8@=;1定理]设A 为一条围线,(及(满足条件:9K )F K )
(’)在A 的内部均解析,且连续到=;
(! )在=上有N (9K )N O N (F K )#(9K )N ;
则(与(在=内有相同的零点个数(一个7级零点算作7个零点)9K )F K )*
[(]引理! 设=为一条围线,(满足条件:9K )
(’)在=内解析且连续到=,不恒为常数;
(! )在=上没有零点;
则(在=的内部至多有有限个零点*9K )
证明:若(在=的内部有无限多个零点,则此有界无穷零点列至少有一个聚点,由(的连续性知此9K )9K )
聚点也为(的零点*若此聚点在=的内部,则由解析函数的唯一性定理有(在=的内部恒等于零,此与已9K )9K )
知条件(’)中的不恒为常数的假设相矛盾;若此聚点在=上,此与已知条件(! )(在=上没有零点的假设相9K )
矛盾*故(在=的内部至多有有限个零点,证毕*9K )
引理(设=为一条围线,(满足条件:9K )
(’)在=内解析且连续到=,不恒为常数;
(! )在=上没有零点;
,存在! O " ,只要在=上有N (,那么(与9则对在=内解析且连续到=的任意函数(F K )9K )#(F K )N P ! F K )
(K )在=内的零点个数相等(一个7级零点算作7个零点)*
收稿日期:!""! #"$#!%
I 益阳师专学报!++!年第I 期证明:由引理! 知(在$的内部至多有有限个零点%令! &’(") (即! " ,由条件(! )知! " #)" #)) ,#$,) (" #)) " ! #$"
从而存在正数#, ! ,使得在$上有) (即在$上有) ((#)又已*+," #)) " " #)-(. #)) ," #)) *). -(" #)) ,! *#*) (
,(都在$内解析且连续到$,于是(,(满足引理/的两个条件,由引理/知(与(在$内知(" #). #)" #). #). #)" #)的零点个数相等,即0(" ,(. ,(一个(级零点算作(个零点),证毕%$)&0$)
! 一个关于解析函数零点的连续性定理
定理设$为一条围线,(满足条件:" #)
(/)在$内解析且连续到$,不恒为常数;
(! )在$上没有零点;
则对任取的充分小正数$,存在正数#,使得任意在$内解析且连续到$的函数(,只要在$上有. #)
,那么(的零点也就全都分布在(的所有零点的$-邻域内%) (" #)-(. #)) , #. #)" #)
证明:由引理! 知(在$内至多有有限个零点,又由引理1知(与(在$内的零点个数相等(一个" #). #)" #)
的所有互异零点为#2,相应零点的级为%(…3),于是(在$内的零(级零点算作(个零点)%设(" #)! ," #)22&/,
(" ,可作以#2为心,充分正数$为半径的圆周$2,使(在$2内无异于#2点个数0$)&&" #)2%由零点的孤点性,%2&/3
3的零点,(4为$之内部),且(沿$2不等于零%令5&6$2,它显然为一有界闭集,这样) ($2#4" #)" #)) 的模在52&/
上有下确界! ,即! " ,因(沿$2不等于零,所以! &’(") (,对于在$) (" #)) " " #)" #)) *+%于是存在正数#, ! #5,! #5"
内的任意解析函数(,当它在$上满足) (由最大模原理可知在5上必有) (. #)" #)-(. #)) , #时," #)-(. #)) , ,这样在5上有) (即在5上有) ((#)又已知(,(都在$内解" #)-(. #)) , #, ! " #)) ," #)) *). -(" #)) ;" #). #)#$) (
析%对5中每个小圆周$2运用引理/得知(与(在圆周$2内的零点个数相等,但(在圆周$2内仅有一. #)" #)" #)个%在圆周$2内有%又因(在$内的零点个数0(. ,(" ,所. #). #)$)&0$)&&2级的零点#2因此(2个零点,2,%2&/3
的零点也就全都分布在圆周$2内,(2&/,…,,即(的零点也就全都分布在(的所有零点#2以(. #)! ,3). #)" #)
的$-邻域内,证毕%
1定理的推论
若定理中的解析函数(与(均为(次多项式,则得多项式的零点关于其系数的连续性定理,即:" #). #)
[7]推论设(为一个(次多项式,则对任取的充分小正数$,存在正数#," #)&8+#(98/#(-/9…98((8+%+)
只要它的系数满足条件;8
的零点也就全部分布在(的所有零点的$-邻域内%-8() }, #那么(. #)" #)
参考文献:
[/][? ]上海科学技术出版社,=%>%阿尔福斯%复分析%上海:/@A7%
[! ]陶印心%BCD$EF定理的等价形式及其应用[G ](I ):%益阳师专学报,!+++,/H!7J !K
[1]钟玉泉%复变函数论[? ]北京高等教育出版社,%北京:/@AA%
[7]谢惠民%绝对稳定性理论与应用[? ]科学出版社,%北京:/@AI%
关于解析函数零点的连续性问题
作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:陶印心湖南城市学院数学系,湖南,益阳,413049益阳师专学报JOURNAL OF YIYANG TEACHERS COLLEGE2002,19(6)0次
参考文献(4条)
1. L V 阿尔福斯 复分析 1984
2. 陶印心 Rouche定理的等价形式与应用[期刊论文]-益阳师专学报(自然科学版) 2000(06)
3. 钟玉泉 复变函数论 1988
4. 谢惠民 绝对稳定性理论与应用 1986
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讨论了解析函数零点分布的情况,给出并证明了解析函数的零点分布在Z平面的不同区域内的充分必要条件,推广了文献[2]中的结论.
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解析函数f(z)的模最小零点满足一定条件时,可由[f(z)]-1=∞∑∏=0bnzn幂级数前后项系数比的序列{bn/bn+1}∞n=0所逼近.据此,得出求解析函数模最小零点的倒数幂级数法.
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文章在定义了K-留数的基础上,给(推)出了K-留数定理、幅角原理|、儒歇定理,所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用.
4.期刊论文 蔺爱国. 黄炳家. 曹建胜. Robert Gardner 解析函数零点位置的某些结果 -工程数学学报2004,21(5) 古典的Enestrom-Kakeya定理指出:如果p(z)=∑mi=0aizi是一个形如0 ≤a0 ≤ a1≤a2≤…≤ an的多项式,则p(z)的所有零点都落在|z|≤1的复平面区域内.多项式的系数加上多种限制条件后(如,系数模的单调性),就存在很多的Enestrom-Kakeya推广的定理.本文中,将介绍当加上Z的偶次幂项和奇次幂项的系数条件限制后的一些结果.
5.期刊论文 戴薇. 李兴民. DAI Wei. LI Xing-min 实解析函数零点的孤立性 -哈尔滨商业大学学报(自然科学版)2007,23(4)
若对任意的x0∈(a,b),存在r>0,使当|x-x0|<r时,实值函数f(x)在x0可以表示成幂级数,则称f(x)在(a,b)实解析.证明实解析函数的零点具有孤立性,并给出实解析函数的某些刻画.
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复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科,它的理论基础是在19世纪奠定的,Cauchy,Weierstrass和Riemann是这一时期的三位代表人物.复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支,在复变函数的解析性质,多值性质,随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果. 解析函数论是复变函数论中重要的分支之一,由于解析函数具有很好的性质,例如无穷可微性,唯一性以及可以用幂级数展开等,数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用.
解析函数的零点,奇异性质,边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题.
在本文中,我们主要研究了加权Hardy空间H(u)中的解析函数可以用它在右半平面边界上的积分表示出来的问题.
7.期刊论文 张建元. 张毅敏. 刘承萍. 姜锐武. Zhang Jianyuan. Zhang Yimin. Liu Chengping. Jiang Ruiwu K-解析函数的幂级数展开式 -大理学院学报2009,8(4)
给出了K-解析函数的幂级数展开式,并在此基础上得到了K-解析函数的零点孤立性及其唯一性,所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用.
8.期刊论文 白焕 一种亚纯函数零点与极点个数定理的证明 -陕西师范大学继续教育学报2006,23(z1)
本文通过对解析函数的不定积分进行推导、证明,得出了一个非常重要的结论,并进一步结合留数的一些相关结论作为引理,证明了有关亚纯函数的零点与极点个数定理.此定理是计算在某邻域内解析函数零点个数一个重要方法,它在理论与实际应用上都十分重要.
9.期刊论文 朱经浩. 王成. 韩静 解析函数方法的一个应用 -高等数学研究2007,10(1)
设u(x,y)是D内的调和函数,f(z)是由u(x,y)生成的解析函数.通过求解f'(z)的零点,可以获得u(x,y)的稳定点.
10.学位论文 赵瑞芳 Sobolev圆盘代数上乘法算子的相似不变性,换位子和不变子空间 2008
为了更好的研究Sobolev空间上线性算子的结构和性质,王宗尧等人提出了Sobolev圆盘代数的概念,即极点在单位圆盘-D外的所有有理函数在Sobolev空间W2,2(D)中的闭包,记作R(D).本文在王宗尧等人工作的基础上进一步对R(D)上乘法算子的相似不变性,换位子和不变子空间作了讨论. 由von Neumann-Wold定理可知,在Hardy空间中,当g是n-Blaschke乘积时,Mg酉等价与Mzn,而在Bergman空间中,以有限Blaschke乘积为符号的解析Toeplitz算子是否相似于有限个Bergman移位的直和的问题,直到2007年才有了一个肯定的回答.本文的内容之一是证明了在比Bergman空间内积定义更复杂的Sobolev圆盘代数R(D)上,Mg~Mzn的充分必要条件是g是n-Blaschke乘积.此外,本文还指出以单叶解析函数为符号的乘法算子类的完全相似不变量是这些单叶解析函数的值域相同,并对强不可约的乘法算子类的完全相似不变量进行了讨论.
众所周知,一个复可分的Hilbert空间上的有界线性算子或算子类的换位子代数对刻画算子或算子类的结构起着重要作用.虽然刘义强和王宗尧利用再生核的性质给出了R(D)上一般乘法算子换位子的表示形式,但他们刻画Mf换位子的方法涉及到方程求根问题,这使得对任意的f∈R(D),想具体表示出
A'(Mf)仍然是很困难的.因而我们需要对R(D)上乘法算子的换位子继续进行深入了解.本文利用已经得到的乘法算子的完全相似不变量的有关结果对f=gh时
Mf的换位子进行了讨论,这里g是n-Blaschke乘积,从而推广了刘义强和王宗尧在[9]的结果.此外,本文还考虑了以复合函数,单叶解析函数和整函数等为符号的乘法算子类的换位子.并利用这些换位子代数对乘法算子的强不可约性进行了讨论.
由于R(D)中函数边界值的复杂性,刘义强和王宗尧对只在单位圆盘内部有有限个公共零点的函数组成的Mz的不变子空间的结构进行了研究.本文则考虑了公共零点在边界的情形.从刘义强和王宗尧的研究成果可知,不变子空间在单位圆盘内部的公共零点的重度对不变子空间的结构有重要影响,但当这些公共零点在边界时,情形就完全不同了.本文指出对于一类Mz的不变子空间来说,边界上公共零点的重度并不影响该子空间的结构,并对该类不变子空间的结构进行了刻画.此外,本文还考虑了乘自变量算子在其不变子空间上限制的基本性质,如谱图像,本性正常性,强不可约性等,并对乘自变量算子分别限制在两个不变子空间上酉等价或相似的充要条件进行了讨论.
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_yyszxb200206002.aspx
授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:20412c9c-8ee4-483f-8817-9dce00f20c42
下载时间:2010年8月10日