函数单调性与导数练习题含有答案
函数单调性与导数练习题
一、选择题
1. 下列说法正确的是
A. 当f ′(x 0)=0时,则f (x 0) 为f (x ) 的极大值 B. 当f ′(x 0)=0时,则f (x 0) 为f (x ) 的极小值 C. 当f ′(x 0)=0时,则f (x 0) 为f (x ) 的极值
D. 当f (x 0) 为函数f (x ) 的极值且f ′(x 0) 存在时,则有f ′(x 0)=0 2. 下列四个函数,在x =0处取得极值的函数是
①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x
A. ①② B. ②③ C.③④ D. ①③
3. 函数y =
1
(3x -1)
2
的导数是 A.
6(3x -1) 3 B.6(3x -1) 2 C.-6(3x -1) 3 D.-6
(3x -1) 2
4. 函数y =sin3(3x +π
4
) 的导数为 A.3sin2(3x +
π
4)cos(3x +πππ
4) B.9sin2(3x +4)cos(3x +4
)
C.9sin2(3x +
π
4
) D.-9sin 2(3x +ππ
4)cos(3x +4
)
5.设f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a >0),则f (x ) 为R 上增函数的充要条件是( A .b 2-4ac >0 B .b >0,c >0 C .b =0,c >0
D .b 2-3ac
6.函数f (x ) =(x -3)e x 的单调递增区间是( )
A .(-∞,2)
B .(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
7. 已知函数y =f (x )(x ∈R) 上任一点(x 0,f (x 0)) 处的切线斜率
k=(x 20-2)(x 0+1) , 则 该函数的单调递减区间为( )
A .[-1,+∞)
B .(-∞,2] C .(-∞,-1) 和(1,2) D .[2,+∞)
)
8. 已知函数y =xf ′(x ) 的图象如图(1)所示(其中f ′(x ) 是函数f (x ) 的导函数) , 下面四个图象中,y =f (x ) 的图象大致是( )
9. 已知对任意实数x ,有f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) ,且x >0时,f ′(x )>0,
g′(x )>0,则x 0,g ′(x )>0
C.f ′(x )0
B .f ′(x )>0,g ′(x )
10 .f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf ′(x ) +f (x ) ≤0,对
任意正数a 、b ,若a
C.af (b ) ≤bf (a )
B .bf (b ) ≤f (a ) D .bf (a ) ≤af (b )
11. 对于R 上可导的任意函数f (x ) ,若满足(x -1) f ′(x ) ≥0,则必有( )
A.f (0)+f (2)
B .f (0)+f (2)≤2f (1) D .f (0)+f (2)>2f (1)
4⎫1⎛
12. 曲线y =x 3+x 在点 1,⎪处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
3⎝3⎭1212
A. B. D.9933
二、填空题
13.函数f (x ) =x +x ________.
14.曲线y =x (3lnx +1) 在点(1,1)处的切线方程为_______.
π⎤⎡
15.函数f (x ) =x +2cos x 在⎢0,⎥上取最大值时,x 的值为_______.
2⎦⎣
16.已知函数f (x ) =ax -ln x ,若f (x ) >1在区间(1,+∞) 内恒成立,实数a 的取值范围为________.
9
三、解答题
17.设函数f (x ) =x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相 切于点(1,-11) .(1)求a 、b 的值 (2)讨论函数f (x ) 的单调性.
18. 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c , 当x =-1时,取得极大值7;当x =3 时,取得极小值. 求这个极小值及a 、b 、c 的值.
11
19. 若函数f (x ) =x 3-ax 2+(a -1) x +1在区间(1,4) 内为减函数,在区间(6,+∞)
32
上为增函数,试求实数a 的取值范围.
20. 已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R )
(1)当a =2时,求曲线y =f (x ) 在点A (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数f (x ) 的极值
函数单调性与导数练习题答案
1--5 DBCBD 6--10 DBCBC 11--12 CA 13:(-3,0) ,(0,3) 14: 4x -y -3=0 15:
17:[解析] (1)求导得f ′(x ) =3x 2-6ax +3b .
由于f (x ) 的图象与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11) ,f (1)=-11,f ′(1)=-12,
⎧⎪1-3a +3b =-11
即⎨,解得a =1,b =-3. ⎪⎩3-6a +3b =-12
π
16: a ≥1 6
(2)由a =1,b =-3得
f ′(x ) =3x 2-6ax +3b =3(x 2-2x -3) =3(x +1)(x -3) .
令f ′(x )>0,解得x 3;又令f ′(x )
所以当x ∈(-∞,-1) 时,f (x ) 是增函数; 当x ∈(3,+∞) 时,f (x ) 也是增函数; 当x ∈(-1,3) 时,f (x ) 是减函数.
18. 解:f ′(x )=3x 2+2ax +b .
据题意,-1,3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根,由韦达定理得
2a ⎧
-1+3=-⎪⎪3
∴a =-3, b =-9,∴f (x )=x 3-3x 2-9x +c ⎨
⎪-1⨯3=b ⎪3⎩
∵f (-1)=7,∴c =2,极小值f (3)=33-3×32-9×3+2=-25 ∴极小值为-25,a =-3, b =-9, c =2.
19解:f '(x ) =x 2-ax +a -1=(x -1)[x -(a -1)], 令f '(x ) =0得x =1或x =a -1,
∴当x ∈(1,4) 时,f '(x ) ≤0,当x ∈(6,+∞) 时,f '(x ) ≥0, ∴4≤a -1≤6,∴5≤a ≤7. 20解:(1)X+Y-
2=0