小波变换在数字图像处理中的应用

小波变换在数字图像处理中的应用

通信1303 周颖 20133565

引言：小波变换（wavelet transform,WT ）是一种新的变换分析方法，是20世纪80年代中期基于Y .Meyer 、S.Mallat 等人的奠基性工作而迅速发展起来的一门新兴学科。与傅里叶变换相比，其继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，克服了窗口大小不随频率变化等缺点。与傅里叶变换的频域分析方法不同，小波动变宽变低，具有自动“聚焦”功能。由于离散小波变换可把信号分解为不同尺度下的信号，而且非常灵活，所以把小波称为“数学显微镜”。小波分析的应用领域及其宽广，在数字图像处理方面，因其无约束基性质，对于一大类信号的压缩、去噪和检测，小波是接近最优的。本文将简单介绍小波变换原理，并讨论其在数字图像领域中的应用。

1. 理论基础

1.1 小波导引

对任意f (t ) ∈L 2(R ) ，其小波展开可以构造一个两参数系统，即 f (t ) =∑k ∑a j j , k ψj , k (t )

（1.1）

其中j,k 是整数指标，ψj , k (t ) 是小波函数，通常形成一组正交基。展开的系数集a j , k 成为f (t ) 的离散小波变换（DWT ）。

a j , k =⎰f (t ) j , k (t ) d (t )

R （1.2）可用内积表示，即

a j , k =f (t ), ψj , k (t ) （1.3） 小波变换的特征：

1）它把一维（或高维）信号用二维展开集（通常是一组基）表示。

2）小波展开具有时频局部化的特点。

3）

O(N)。 a i , j 的计算效率可以非常高，大多数小波变换（展开系数集）的计算量为

4）所有的一代小波系统是由一个尺度函数或小波函数通过简单的尺度伸缩和平移生成的。如下，小波函数（或小波基函数）由生成小波（或母小波）生成：

ψj , k (t ) =2j /2ψ(2j /2t -k ) （1.4） 其中，k 代表时间或空间，j 代表频率或尺度。

5）几乎所有有用的小波系统都满足多分辨条件，即如果展开基的宽度减小一半，且平移步长也减半，那么它们更利于描述图像的细节。

6）使用一个称为滤波器组的树结构算法，低分辨率系数可以由高分辨系数得到，因此计算效率很高。

1.2 小波系统的多分辨阐述

1.2.1 尺度函数

小波的多分辨分析与尺度函数这一概念不可分割，借助于一个基本尺度函数ϕ(t ) ，可以定义一个尺度函数的集合：

ϕk (t ) =ϕ(t -k ) ，k ∈Z ϕ∈L 2 （1.5）

2（R ）由ϕk (t ) 张成的L 的子空间V o 定义为

（1.6）

则通过基本尺度函数的尺度变化和平移得到的二维函数族： k V o =S pan {k (t )}

ϕj , k (t ) =2j /2ϕ(2j t -k )

对所有的k ∈Z （1.7） ，可以张成空间

（1.8）V j =Span {k , j (t )}

k

对于f (t ) ∈V j

k ，那么它可以表示为 （1.9）

j >0ϕj , k (t ) j

如果，表示细节信息；如果，表示粗糙信息。

1.2.2 多分辨分析

陈述多分辨分析的基本要求是张成空间满足如下嵌套关系：

V j ⊂V j +1 （1.10）

即包含高分辨率的信号空间也包含较低分辨率的信号空间。由V j 的定义，空间f (t ) =∑a k ϕ(2j t -k )

必须满足固有的尺度条件：

f (t ) ∈V j ⇔f (2t ) ∈V j +1 （1.11）

这意味着ϕ(t ) 可以借助于ϕ(2t ) 的平移加权和表示：

n ∈Z （1.12） ϕ(t ) =∑h (n ) 2(2t -n ) ，

n

其中系数h (n ) 是称为尺度函数（或尺度滤波器）系数的实数或复数序列，在本文后面会提到它作为一维离散小波变换的数字低通滤波器。

为了更好的描述信号的细节信息，除了尺度函数还需定义一个不同的函数集ψj , k (t ) 来张成不同尺度空间的差空间，这个函数就是小波函数。

将V j +1中V j 的正交补空间定义为W j ，则V j 中的所有元素正交于W j 中的所有元素。对任意j ∈Z 满足如下关系：

V j +1=V j ⊕W j （1.13）

一般情况下，当V 0为尺度函数ϕ(t -k ) 张成的初始空间时，有

L 2=V 0⊕W 0⊕W 1⊕ （1.14）

如图1.1所示。初始尺度空间的尺度是任意的，一般选择的尺度应能够表示信号的感兴趣的组粗糙细节。由于W 0⊂V 1，因此对于某个系数集h 1(n ) ，小波可以由尺度函数ϕ(2t ) 的平移加权和表示为

n ∈Z （1.15） ψ(t ) =∑h 1(n ) 2(2t -n ) ，

n

其中尺度系数h (n ) 与小波系数h 1(n ) 之间有如下关系：

h 1(n ) =(-1) n h (1-n ) （1.16）

对于形如

ψj , k (t ) =2j /2ψ(2j t -k ) （1.17）

的展开函数类可由式（1.15）表示的母小波ψ(t ) 经尺度变换和平移得到。至此，由ϕk (t ) 和ψj , k (t ) 张成整个L 2(R ) 空间，对任意函数g (t ) ∈L 2(R ) ，可以写为尺度函数和小波函数的级数展开，即

g (t ) =

（1.18） k =-∞∑c ∞j 0(k ) ϕk (t ) +∑∞j =j 0k =-∞∑d (j , k ) ψ∞j , k (t )

式（1.18）中第一个和式给出g (t ) 的一个低分辨或粗糙的逼近，在第二个和式中，随指标j 的增加，一个个较高的或较细分辨的函数不停地加入，从而加进了更多的细节信息。对于式中的系数可由如下变换得到：

c j (k ) =g (t ), ϕj , k (t ) =⎰g (t ) j , k (t ) dt （1.19） d j (k ) =g (t ), ψj , k (t ) =⎰g (t ) ψj , k (t ) dt （1.20） 这种小波展开中的系数就称为信号g (t ) 的离散小波变换（DWT ）。

图1.1 尺度函数向量空间和小波向量空间

1.3 离散小波变换

在实际应用当中，不需要直接处理尺度函数或小波，只需考虑系数h (n ) 和h 1(n ) ，以及c j (k ) 和d j (k ) 。他们之间的关系如下：

c j (k ) =∑h (m -2k ) c j +1(m ) （1.21）

m

d j (k ) =∑h 1(m -2k ) c j +1(m ) （1.22）

m

可见执行离散小波变换可由二通道滤波器组实现，如图1.2所示。

图1.2 一维离散小波变换

以上是以分析滤波器对信号实现分解，也可以用综合滤波器对信号实现重构，重构过程实际上是你离散小波变换（IDWT ）。重构原理可表示为

c j +1(k ) =2∑h (m -2k ) c j (m ) +2∑h 1(m -2k ) d j (m )

m m

（1.23）

其实现方式如图1.3所示。

图1.3二通道综合滤波器组

若输入为一数字图像，则对图像做的小波变换为二维离散小波变换，该变换有两种方式，一种为标准的二维离散小波变换，另一种为非标准的二维离散小波变换。前者是先在水平方向进行多层一维离散小波变换，直到水平方向上得到最粗糙细节，再对得到的图像做垂直方向上的多层一维离散小波变换，这种变换得到的特征是不规则的。后者是分别对图像在水平和垂直方向上做一层一维离散小波变换，重复直到得到图像最粗糙细节，这种方式得到的特征是方形的。本文采用非标准二维离散小波变换，其原理框图见图1.4.

图1.4二维离散小波变换

以上执行离散小波变换的方法是由Mallat 于1988年提出的，称为为Mallat 算法。 2. 小波变换的相关算法

2.1 Mallat 算法

Mallat 算法是由S.Mallat 和Y .Meyer 在前人大量工作的基础上于1986年提出的。1989年，Mallat 在小波变换多分辨分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法。

该算法

已在上一节做描述，其分解原理见式（1.21）（1.22），重构原理见式（1.23）。

实现该算法的编程思想如图2.1所示

图2.1Mallat 快速算编程思想

将小尺度尺度系数和低通（高通）滤波器系数进行添零到数据长度，然后进行fft 变换，再进行2抽样，最后相加就能得到大尺度尺度系数和小波系数。具体实现过程见实验部分。

2.2 小波提升算法

第一代小波的小波基是由定义在空间上的函数而今伸缩平移生成。其具有若干局限性，如小波结构依赖于傅里叶变换，仅适用于规则采样数据等。故W.Sweldens 等人提出了一种不依赖于傅里叶变换的新的双正交小波的构造方法——提升法（lifting scheme）。这种方法保留了小波特性，同时又克服了原有的局限性；其主体思想是：始于非常简单的MRA, 然后向具有某一特性的MRA 逐渐逼近（提升）。其复杂度只有原来卷积方法的一半左右，因此成为计算离散小波变换的主流方法。其实lifting scheme就是为了构造第二代小波，使得不像第一代小波那样构造，非常依赖Fourier 变换。同时已经证明了提升方式可以实现所有的第一代小波变换。

提升方式的特点:

1. 继承了第一代小波的多分辨率的特性

2. 不依赖傅立叶变换

3. 不占用系统内存

4. 反变换很容易从正变换得到，只是改变了数据流的方向和正负号

正因为小波提升样式由于其计算速度快，占用内存少，可以实现整数变换等等特点所以被JPEG 2000所推荐作为小波变换，是JPEG 2000里面的核心算法。其通过预测和更新两个提升环节实现信号的高低频分离，由于信号有局部相关性，某一点的信号值可以通过其相邻的信号的值通过适当的预测算子预测出来，同时预测出来的误差就是高频的信息，从而这个过程就是预测环节。预测环节下面得到的高频信息又通过更新算子来调整信号的下抽样来得到低频信息，这个过程就是更新环节，在整个的提升算法中，更新环节叫做primary

lifting ，而预测环节叫做dual lifting。

实际上，小波提升的核心就是更新算法和预测算法，通过预测算法可以得到高频信息，而通过更新算子可以得到正确的低频信息。提升样式可以实现原位计算和整数提升，并且变换的中间结果是交织排列的。其中原位计算和整数提升在硬件实现中很有价值。

原位计算

提升样式中一个很大的特点就是进行小波变换的时候在原位计算各个系数。原位计算，只是占用了跟输入大小相同的空间，不需要其他的辅助空间。 整数提升

在传统的小波变换算法中(即Mallat 算法) ，采取了输入信号与高通和低通滤波器相卷积的方法来实现高频和低频信息的分离。但是小波滤波器的系数都是小数，中间结果中有一些是小数，如果对小数进行取整，会丢失很多信息，使得重构和分解是不可逆，从而无法实现精确重构。但是在提升方案中，可以进行整数变换，并且整数变换是不影响精确重构。

分解结果交织

以一维信号X 进行分解为例:

X进行第一级分解，低频信息在奇数上面，高频在偶数上面，进行第二级分解，对第一级的低频信息进行分解，分解的结果则是在奇数数据中的奇数位数为低频信息，偶数位数为高频信息。小波提升的数学模型见图2.2.

图2.2小波提升的数学模型

2.3 应用

小波分析在图像处理中的应用主要体现在以下几个方面:图像压缩、图像消噪、图像增强、图像平滑和图像融合等。

图像压缩 图像数据往往存在各种信息的冗余, 如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余和结构冗余等. 如果需要进行快速或实时传输以及大量存储, 在同等通信容量下, 把图像数据压缩后再传输, 就可以传输更多的图像信息, 也就可以提高通信能力. 小波分析用于图像压缩具有压缩比高、压缩速度快, 压缩后能保持图像的特征基本不变的特点, 且在传递过程中可以抗干忧. 小波分析进行图像压缩的基本原理是:根据二维小波分解算法, 一幅图像作小波分解后, 可得到一系列不同分辨率的图像, 而表现一幅图像最主要的部分是低频部分, 如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分, 则可以达到图像压缩的目的。

图像消噪 图像在被采集、传输和恢复等过程中, 不可避免地会被噪声污染. 利用小波技术可有效地进行图像消噪处理。其步骤如下:①图像信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N, 然后计算信号s 到第N 层的分解. 对高频系数进行阈值量化. 对于从第1到N 的每一层, 选择一个阈值, 并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理.②二维小波的重构. 根据小波分解的第N 层的低频系数和经过修改的从第1到N 层的各层高频系数, 计算图像信号的小波重构。

图像增强 小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向都不同的分量, 在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小, 这样就可以有选择地放大感兴趣的分量而衰减不重要的分量. 图像轮廓主要体现在低频部分, 而细节部分则体现在高频部分。

拓展：

3. 实验结果

由于编程能力有限，本文只采用Haar 小波分别对图像进行处理分解、重构、去噪处理。首先是分别用mallat 算法对lena 图像进行分解和重构，结果见图3.1和3.2.

图3.1 Mallat算法图像分解

图3.2未设阈值时的图像重构

对lena 图像增加一个服从高斯分布的随机噪声，采用Mallat 算法对叠加噪声的图像进行分解后，对高频系数进行阈值处理，然后重构处理后的图像，观察不同阈值的去噪效果。实验结果见图

3.3.

（a ）

（b ）

（c ）

（d ）

图3.3（a ）原图（b ）加噪声后的图像（c ）第一次消躁后的图像（d ）第二次消躁后的

图像

该实验采用不同阈值和不同小波得到的实验效果不相同，采用合适的于是重构图像与原图相比具有更小的失真，此外，由于图像的连续性较好，采用haar 小波分解图像不是很适合。

4. 总结

小波变换虽是一种新兴的变换分析方法，但由于其在数学分析上的优越性，被广泛用于各个领域中，更是在工程应用中发挥了巨大的作用。在数字图像处理方面，图像压缩具 有压缩比高、压缩速度快 、压缩后能保持图像的特征基本不变等一系列优点 ,进行图像消噪和图像增强具 有方便快捷、去噪效果好 、目标明确等优点, 同时说明了小波技术用于图像处理的有效性 。最后，随着计算机视觉的发展，在提取特征时，haar 特征作为模式识别领域的三大特征之一，得到了广泛的应用。M ·Oren 起初就是根据小波变换提出了三大哈尔特征（垂直，水平，对角），后人又在Oren 的基础上扩展了哈尔特征，使得图像的特征种类更多，提高了识别的精确度。所以，为了在计算机视觉领域有所成就，学好小波变换是十分必要的。

5. 参考文献

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