3.第三章激光器的输出特性

第3章 激光器的输出特性

前两章由发光的物理基础出发,对激光产生的工作原理进行了研究，对于在激光谐振腔中受激辐射大于自发辐射而导致光的受激辐射放大的过程和条件进行了很详细的讨论，为研究从激光谐振腔中传播，到其在腔外的光束强度与相位的大小与分布，也就是激光的输出特性打下了基础。激光器作为光源与普通光源的主要区别之一是激光器有一个谐振腔，谐振腔倍增了激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度，提高了光源发光的方向性。实际上激光的第三个重要特点——高度的相干性也是由谐振腔决定的。由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，改变了输出激光的光束结构及其传输特性。因此本章从谐振腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯光束传播特性，激光器的输出功率以及激光器输出的线宽极限。

3.1光学谐振腔的衍射理论

2.1节中利用几何光学分析方法讨论了光线在谐振腔中的传播、谐振腔的稳定性问题以及谐振腔的分类。而有关谐振腔振荡模式的存在、各种模式的花样也就是光束结构及其传输特性、衍射损耗等，只能用物理光学方法来解决。光学谐振腔模式理论实际上是建立在标量理论的菲涅耳——基尔霍夫衍射积分以及模式再现概念的基础上的，本节用这种方法来讨论光学谐振腔。

3.1.1 菲涅耳——基尔霍夫衍射公式

惠更斯为了描述波的传播过程，提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。菲涅耳引入干涉的概念，补充了惠更斯的原理，认为子波源所发的波应是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。基尔霍夫进一步用格林函数方法求解波动方程，得到惠更斯一菲涅耳原理的数学形式，就是菲涅耳——基尔霍夫衍射公式(3-1)，其意义如图（3-1）所示。

图（3-1） 惠更斯一菲涅耳原理

设波阵面上任一源点P'的光场复振幅为u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振幅

u(P)由下列积分式计算

ik4

e

ik

u(P)

u'(P')





(1＋cos)ds' (3-1)



式中为源点P'与观察点P之间的距离；为源点P'处的波面法线n与PP'的夹角；

k

2



为光波矢的大小，为光波长；ds'为源点P'处的面元。

e

ik

由(3-1)式可以看出，波面上各点发出的次级子波为“非均匀”的球面波。因子



表明了波是球面波，因子1+cos称为倾斜因子，它反映出子波这种球面波是“非均匀”的。

3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程

1．自再现模概念

光学谐振腔是一种“开式”的谐振腔。所谓开式是指，它只靠两端的反射镜来实现光束在腔内的往返传播，对于光波没有任何其它限制。由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应。腔内的光束每经过一次反射镜的作用，就使光束的一部分不能再次被反射回腔内。因而，反射回来的光束的强度要减弱，同时光强分布也将发生变化。1960年Fox A G和Tingye Li采用计算机进行迭代法数值计算证明，当反射次数足够多时（大约三百多次反射），光束的横向场分布便趋于稳定，不再受衍射的影响。场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时(对称开腔)，这种稳态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。

一方面，人们从理论上论证了自再现模的存在性，并且用数值的和解析的方法求出了各种开腔的自再现模。另外又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。因此证明开腔的自再现模确实存在。

2．自再现模积分方程

对于激光器开腔来说，若给定某一镜面上的光场分布函数，如何计算当光波渡越到另一镜面处时所形成的新光场分布函数呢?

图（3-2） 镜面上场分布的计算示意图

图（3-2）所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面M和M'上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标(x,y)和(x',y')。假设镜面M'上的光场分布已知，也就是M'上任一源点

P'(x',y')的光场强度u'(x',y')为已知。利用(3-1)式在整个镜面M'上积分可以计算出M

镜上的场分布函数，即任意一个观察点P(x,y)的光场强度u(x,y)。

为了导出自再现模的积分方程，假设uq(x',y')为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，uq1(x',y')表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，按照(3-1)式，uq1与uq之间应满足如下的迭代关系

ik4

e

ik

uq1(x,y)

u

M'

q

(x',y')



1＋cos)ds' (3-2)

考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq1应能够将uq再现出来，两者之间应有关系

uq1uq (3-3)

式中是一个与坐标无关的复常数。将(3-3)式代入(3-2)式中，有

uq(x,y)

ik4

u

M'

q

(x',y')

e

ik



1＋cos)ds' (3-4)

去掉式中光场分布函数的下标q，用u(x,y)表示稳态场分布函数，则(3-4)式便可改写为自再现模积分方程

u(x,y)

ik4

u(x',y')

M'

e

ik



1＋cos)ds' (3-5)

式中的与都是源点及观察点的坐标x',y',x,y的函数，这样的积分方程运算起来相当麻烦，需要先对此方程做一些近似处理。对于一般的激光谐振腔来说，腔长L

与反射镜曲率半

径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长。即

L,Ra (3-6)

在此条件下，可对(3-5)式做两点近似。首先，式中的值一般很小，因子1cos可用2代替。其次，分母中的可以用腔长L来代替。这里要注意的是，指数中的—般情况下

是不能用L来代替的，这是由于指数因子中与相乘的光波矢k的值是很大的，用L代替

会引起较大的误差，只能根据不同的镜面形状再做不同的近似处理。把上述的两点近似结果代入(3-5)式后，便可得到自再现模所满足的积分方程

mnumn(x,y)

式中

K(x,y,x',y')

ik2L

K(x,y,x',y')u

ik(x,y,x'y')

mn

(x',y')ds' (3-7)

e

i

L

e

ik(x,y,x'y')

称为积分方程的核。umn与mn的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。由于积分方程是二维的，故需要两个模参数来区分这些不同的自再现模。 3．积分方程解的物理意义

（1） 本征函数umn和激光横模

积分方程的本征函数解umn一般为复函数，它的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。用一个屏接收激光器输出的光束时，可以直接用人眼观察到光束横截面上光强的分布情况。有的激光器输出一个对称的圆形光斑，如图(3-3)(a)所示；有的激光器输出一些形状更为复杂的光斑，如图(3-3)中的(b)、 (c)、(d) 、（f）、（g）所示。这些光强在光束横截面上的分布就是各种横模花样，是稳定的、有规律的图形。m＝0，n＝0时对应的横模称为基模(或横向单模)，基模的场集中在反射镜中心，是光斑的最简单结构，而其它的横模称为高阶横模。

图

（3-3） 横模光斑示意图

（2）本征值mn和单程衍射损耗、单程相移

本征值mn一般也是个复数，它的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。这里所讲的损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为



uq

2

uq1uq

2

2

(3-8)

将(3-3)式代入该式后，可得到

mn1

2mn

(3-9)

这里加上横模参数m和n，表明单程衍射功率损耗与横模序数有关。

本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。由(3-3)式，可以写出

arguq1argarguq

而自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为

uq1 arg

arugq (3-10)

因此有

arg (3-11)

另外，自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移kL，它们的关系为

kL (3-12)

表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移。当＞0

时，表示有附加相位超前，当＜0时，表示有附加相位滞后。由(3-11) 及(3-12) 式可写出

mnkLarg

mn

(3-13)

这说明单程附加相移与本征值mn的幅角有关，不同的横模单程附加相移也不同。

3.1.3 激光谐振腔的谐振频率和激光纵模

1． 谐振条件、驻波和激光纵模

当腔内存在激活物质时，为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定的振荡，必须满足谐振条件。这是因为当光波在腔镜上反射时，入射波和反射波会发生干涉。为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到加强，即光波在腔内往返一周的总相移（参阅(3-12)式，并省略式中负号）应等于2的整数倍，因而只有某些特定频率的光才能满足谐振条件

22q q1,2,3, (3-14)

每一个q值对应有正反两列沿轴线相反方向传播的同频率光波，这两列光波叠加的结果，将在腔内形成驻波。谐振腔形成的每一列驻波称做是一个纵模。激光器中满足谐振条件的不同纵模对应着谐振腔内各种不同的稳定驻波场，具有不同的频率。q值定义为纵模序数，又等于驻波的波节数。光波的波长是微米数量级，不难看出，一般的光学谐振腔内产生的驻波波节数是一个很大的量，因此q是一个很大的数。

2

(式中 利用(3-12)式，并考虑到光波矢k的值与谐振频率之间具有的关系kc

为激活物质的折射率)，可以得到稳定存在于开腔中的激光振荡模式的谐振频率为

mnq

qc2L



c2L

mn (3-15)

(3-15)式表明，激光谐振腔的谐振频率与纵模序数q、谐振腔的单程附加相移以及各物理常数有关，其中单程附加相移取决于横模序数m、n。结合(3-12) 和(3-14) 式可以看出，因为单程总相移的主要部分是几何相移，纵模序数q数值非常大。另一方面，单程附加相移数值很有限。因此激光谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数

mnq2. 纵模频率间隔

腔内两个相邻纵模频率之差q称为纵模的频率间隔。由(3-15)式得

qc2L

(3-16)

qq1q

c2L

(3-17)

由(3-17)式可知，q与q无关，对于一定的光腔为一常数，因而腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的，如图(3-4)所示。图中每一个纵模均有一定的谱线宽度c。

图（3-4） 腔中允许的纵模数

例如，对于腔长L＝10厘米的He-Ne气体激光器，设＝1，由(3－17)式可得q＝1.5×109Hz；对腔长L＝30厘米的He-Ne气体激光器，q＝0.5×109Hz。在普通的Ne原子辉光放电中，荧光光谱的中心频率＝4.74×10 /s (波长为6328Å)，其线宽F＝1.5×10Hz。而在光学谐振腔中，允许的谐振频率是一系列分立的频率，其中只有满足谐振条件(3－16)式，同时又满足阈值条件，且落在Ne原子6328Å荧光线宽范围内的频率成分才能形成激光振荡。因此l0cm腔长的He-Ne激光器只能出现一种频率的激光，通常称为单模(或单纵模)激光器。而腔长30cm的He-Ne激光器则可能出现三种频率的激光，也就是可能出现三个纵模。这种激光器称为多模(或多纵模)激光器。

由以上讨论可以看出，普通光源发出线宽为F的光，而在光学谐振腔中，只留下F

中满足谐振条件及阈值条件的那些频率，其他的频率都被谐振腔抑制掉了。这样，由激光器输出的激光的单色性就比普通光源的要好得多。

9

14

3.2对称共焦腔内外的的光场分布

上节从对称开腔中的自再现模积分方程出发，讨论了方程解的物理意义，

建立了激光模

式的概念以及激光器输出频率和频率间隔的计算方法。除了激光的频率以外，在应用激光的时候还必须了解输出激光的具体场分布，从而控制激光的强度和位相。为此，需要求解对称开腔中的自再现模积分方程(3-7)。该方程是个具有连续对称核的线性齐次积分方程，在积分方程的理论中称为第二类弗里德霍姆方程。数学上可以证明，这种方程的解是存在的，但是，至今仍未找到通用的解析求解方法。对不同结构的腔只能采用不同的方法求解，如对于平行平面腔，可用迭代法进行数值计算，结果用图或表的形式给出。对于对称共焦腔，则可用解析法求出方程的精确解以及近似解的解析表达式。本节以方形镜面的对称共焦腔(以下简称共焦腔)为例，求解积分方程(3-7)(略去数学过程)，给出场函数umn的具体表示式。从而得到在共焦腔镜面上的场分布，并由此导出激光谐振腔内外的空间场分布，得到输出激光的强度和位相。

3.2.1 共焦腔镜面上的场分布

1. 方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解

设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L(根据共焦腔的定义，镜面的曲率半径R等于腔长L)，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，

L

的近轴情况下，积分方程(3-7)有本征函数近似解析则在L,Ra及La解(参阅周炳琨《激光原理》国防工业出版社1995年版P44-52)

umnCmnHm(X)Hn(Y)e

XY2

2

2

a

2

2

(3-18)

本征值近似解

mne

i[kL(mn1)



2

]

(3-19)

上式中m＝0，1，2，3，„；n＝0，1，2，3，„，Cmn为一个和m、n

有关的常数，X

，

YHmX和HnY均为厄密多项式，其表示式为：

H0(X)1H1(X)2XH2(X)4X

Hm(X)(1)e

m

X

2

2

d

mm

dX

e

X

2

2．镜面上自再现模场的特征

积分方程的本征函数(3-18)式决定了镜面上的光场分布，其中本征函数的模决定振幅分

布，幅角决定相位分布。单程衍射损耗和单程相移则与积分方程的本征值有关。有了(3-18) 和(3-19)两式就可以讨论光场分布的这几方面问题。

（1）振幅分布

若令：Fm(X)Hm(X)e则(3-18)式可改写为

umnCmnFm(X)Fn(Y) (3-20)

X2

2

；Fn(Y)Hn(Y)e



Y

2

2

，

由于光强I是正比于光振动u的平方的，于是有

IumnFm(X)Fn(Y) (3-21)

2

2

2

图(3-5)画出了m=0，1，2和n=0，1的Fm(X)X及Fn(Y)Y的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布，与第一节中图(3-3)给出的激光器输出的横模的光斑图像完全一样。

图（3-5） Fm(X)X及Fn(Y)Y的变化曲线及相应的光强分布

激光的模式也常用微波中标志模式的符号来标记，记做TEMmnq，其中TEM00是基横模。由Fm(X)、Fn(Y)函数的特点看出，m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且由Fm(X)和Fn(Y)函数的极值分布看出，m、n的数值越大，光场也越向外扩展。

当m＝0，n＝0时，基横模TEM00场分布为

u00C00e

xy

2

2

L/

(3-22)

可见，镜面上的场分布与镜面的半宽度a无关，沿横向的分布是高斯型分布。在镜面中心，场的振幅最大。因此，可定义一个镜面上基模的“光斑有效截面半径”ws，使得在距离镜中心ws处的场振幅下降为镜中心之值的e-1倍，基模光束的光能量集中在光斑有效截面圆内。由(3-22)得ws值为

ws

(3-23)

增大镜面宽度，只减小衍射损耗，对光斑尺寸并无影响。而且，共焦腔的光斑非常小。例如，腔长30厘米的氦氖激光器采用共焦腔时，ws仅0.5毫米。

（2）相位分布

由于umn(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场相位相同，无论对基模还是高阶横模，共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。

（3）单程衍射损耗

由(3-9)式计算单程衍射损耗，如果利用mn近似解(3-19)式，则有mn＝0。要想详细讨论单程衍射损耗，mn必须用精确解。一般说来常将单程衍射损耗忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑它，4.1节中将予以说明。

（4）单程相移与谐振频率

由(3-19)式可得方形镜共焦腔单程相移为

mnmn1

可见，其附加相位超前，其超前量随横模阶数而变。

由(3-15)式可得方形镜共焦腔的谐振频率



2

(3-24)

mnq

1

(3-25) qmn12L2

c

可见，同一横模、两个相邻纵模的频率间隔仍为

q

c2L

(3-26)

而同一纵模两个相邻的横模之间的频率间隔则为

mn

12

q (3-27)

也就是说，m、n与q属于同一个数量级。这样一来，共焦腔对谐振频率出现了高度简并的现象。即所有2qmn相等的模式都将具有相同的谐振频率。如TEMmnq，

TEMm1,n1,q，TEM

m2,n,q1

，„等都有相同的谐振频率。这种现象对激光器的工作状态会

产生不良影响，因为，所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处，从而彼此间产生强烈的竞争作用。导致多模振荡，使输出激光光束质量变坏。图(3-6)画的是方形镜共焦腔的振荡频谱。

图（3-6） 方形镜共焦腔的振荡频谱

对于圆形镜共焦腔，它的分析方法和方形镜共焦腔的分析方法完全一样，只是求解时要用球坐标处理。这里仅给出一个重要结果，即圆形镜共焦腔谐振频率：

mnq

1

(3-28) qm2n12L2

c

3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布

上一节讨论了镜面上光场分布，然而激光器的输出要求知道光束在腔内外的空间分布，这就要求找出腔内外任意一点的光振动的表示式。

腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布umn(x1,y1)在腔内造成的行波求得。这一行波被镜面M2反射使得传播方向相反的两列行波在腔内叠加而形成驻波。该驻波场的分布就是腔内的光场分布。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。实际上，就是行波函数乘以镜面的透射率t。

将(3-18)式表示的镜面场分布umn(x1,y1)代入基尔霍夫衍射公式(3-1)，引入无量纲参量

2zL

，选择腔的中心为坐标原点，积分求解可以得到：



umnx,y,zCmnHm



2exp1



21

22



2ws

2

xHn

21

2



2ws



y

2



xy

expix,y,z2ws



(3-29a)

22

Lxy

x,y,zk1mn1

21L2

(3-29b)

arctg

11

arctg

L2z

2z

(3-29c)

上式中各量如图(3-7)所示，其中umn(x,y,z)是空间P(x,y,z)点的场函数。Cmn是一个与

m,n有关的常量，对于空间场函数的分布没有影响，以下予以忽略。 (3-29)式描述了共焦

腔内场的空间分布。其中(x,y,z)描述了波阵面上的相位分布，称为相位因子。

图（3-7） 计算腔内外的光场分布

因为HmHn是厄密多项式，由mn项组成，(3-29)式实际上也由mn项组成。其中m0,n0的一项是镜面场分布的基横模衍射生成的基横模行波场分布，通常也记做

TEM00行波。基横模行波场是(3-29)式中最简单的一项，也是激光器输出的最重要的一部分。

使用激光也常常只用它的基横模输出。因为基横模行波输出在与光束前进方向的垂直平面上的强度分布呈高斯型，通常称做是高斯光束。高斯光束体现出激光光束与普通光源发出的光束不同的基本特点，对于激光的应用有极其重要的意义，下面用单独的一节对它进行讨论。

3.3高斯光束的传播特性

图（3-5）给出了激光器的各种模式输出的光强分布示意图。图中显示，除了基横模以外的各种高阶模的强度分布都在光斑中呈现出至少一条光强极小的节线，因而光强分布十分不均匀。这就大大限制了高阶模的应用范围。基横模输出是相对均匀的，而且它的强度中心沿直线传播。在下一章还将看到作为高斯光束的基横模可以通过光学系统的变换实现聚焦、准直、扩束，从而使激光广泛应用于国民经济和科学技术的各个领域。但是高斯光束与普通光束有很大的区别，它的传播方向性很好同时也会不断的发散，其发散的规律不同于球面波；在传播过程中它的波面曲率一直在变化，但是永远不会变成零；严格讲，除了光束中心，高斯光束并不沿直线传播。因此，为了实践中广泛地使用激光，必须对高斯光束的传播特性进行深入的研究。

3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布

由(3-29)式，得到基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布

U00

2x2y2

exp212

ws



2

 



 (3-30) 

-1

I00U00

4x2y2

exp212

ws

式中已忽略了常量因子Cmn。当场振幅为轴上(x2y20)的值的e倍，即强度为轴上的值的e倍时，所对应的横向距离w(z)为

ws2

ws2

4zL

22

-2

wz



2



(3-31)

w(z)称为z处截面内基模的有效截面半径，简称截面半径。将共焦腔镜面上基模的光斑半

径(3-23)式代入(3-31)可得在z处高斯光束的截面半径仅取决于共焦腔的腔长，为

wz

L

2

2z

 (3-32) 1

2L

在共焦腔中心(z＝0)的截面内的光斑有极小值

w0

12ws

12

L

(3-33)

通常将w0称为高斯光束的束腰半径。在共焦腔的焦平面上，光束半径w0最小。该处称为高斯光束的“光腰”或“束腰”。(3-31)式可用w0表示为

w(z)w (3-34) 上式可改写为

w

22

w0



z

2

2

2

(w0/)

1 (3-35)

可见，基模光斑半径w随z按双曲线规律变化，如图(3-8)。

图（3-8） 基模光斑半径w随z按双曲线规律的变化

虽然光强在z≠0的各个截面上的分布并不相同，由于光束是限制在各个光斑以光轴为中心、有效截面半径的圆截面以内传播的，所以通过每个截面的总光功率是相同的。光束中同一截面内所有光强为光轴上光强的e-2倍的点的集合是一个圆，而所有各个截面上这些点的集合则组成一个迴转双曲面。从这个意义上来讲，除了光轴以外，高斯光束的光线沿着双曲线传播。

以上都是针对基横模TEM00的讨论，类似的计算也适用于高阶横模。可以证明TEM光束在x方向比TEM00光束扩展

mn

2m1倍，在y方向比TEM00光束扩展2n1倍。

当mn时，可以近似地用光束有效截面半径wm截面半径的大小。

2m1w来描述高阶横模光束有效

3.3.2 高斯光束的相位分布

共焦场的相位分布由式(3-29b)表示的相位函数(x,y,z)描述（参阅图3-7，并注意坐标原点为腔中心）。(x,y,z)随坐标而变化，与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为

x,y,z0,0,z0 (3-36)

将(3-29b)以及

2zL

代入上式并取mn0有

2zL2z

L

2



L2zk12L

1



22L2z0xy

zk1z0 2LL22

忽略由于z变化引起的的微小变化，用z0代替z，则在腔轴附近有

2z

zz0

2z1

L

2z0



2z10

L

2

xy

2

22

L

xyL

22



xy

22

2

L2z01

2z0

(3-37)

令

R0z0[1(

则(3-37)式可以写成

L2z0

)] (3-38)

2

zz0

xy2R0

22

R0

xyR0

2

22

R0R0xy

2

22

R

因此(3-37)式又变成

R0xyzz0R0

2

2

2

2

这是一个其半径与Z0坐标有关的球面方程，球面半径为(3-38)式表示的R0。也就是说(3-36)式描述的等相位面在近轴区域可以看成半径为R0的球面。

由式(3-37)看出，当z0＞0时，zz0＜0；而当z0＜0时，zz0＞0。这就表示，共焦场的等相位面都是凹面向着腔的中心(z＝0)的球面。等相位面的曲率半径随坐标z0而变化，当z0f

L2

时，R(z0)＝2f＝L，表明共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重

合，这与3.2.1节的结果相符。当z0＝0时，R(z0)，z0时，R(z0)，可见通过共焦腔中心的等相位面是与腔轴垂直的平面，距腔中心无限远处的等相位面也是平面。不难证明，共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。共焦腔中等相位面的分布如图(3-9)所示。

图（3-9） 共焦场中等相位面的分布

与球面波类比，可以把高斯光束看成从其对称轴即光轴上一系列的“发光点”上发出的球面波，其波阵面对发光的共焦腔中心具有对称分布。在腔内的波阵面所对应的“发光点”都在腔外，且随着波阵面由镜面向腔中心接近，波阵面的曲率半径逐渐增大，“发光点”由镜面中心移向无穷远处。腔中心处的波阵面是个平面。在腔外的波阵面所对应的“发光点”都在腔内，且随着波阵面由镜面远离腔体，波阵面的曲率半径逐渐增大。“发光点”由镜面中心向腔中心处靠近。无穷远处的波阵面对应的“发光点”是腔中心，因为波阵面的曲率半径增大成无穷大，波阵面也变成平面。镜面本身也是波阵面，它对应的曲率半径最小，每个镜面对应的“发光点”恰好落在另一个镜面的中心。

显然，如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回，这样共焦腔的场分布将不会受到扰动。这个性质十分重要，下节还要用到。

3.3.3 高斯光束的远场发散角

前面已经证明，共焦腔的基模光束依双曲线规律从腔的中心向外扩展，由此不难求得基模的远场发散角。该发散角(全角) 2定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角（参见图(3-8)）

2lim

2wzz

z

(3-39)

式中2w(z)为光斑直径。如以 (3-34) 式表示的w(z)代入，则得到定义在光束有效截面半径处(即基模强度的

1e

2

处)的远场发散角为

22

2

L



2

w0

(3-40)

因此，高斯光束的远场发散角完全取决于其束腰半径。相应的计算表明，

包含在全角发散角

内的功率占高斯基模光束总功率的86.5％。由波动光学知道，在单色平行光照明下，一个半径为r的圆孔夫琅和费衍射角(主极大至第一极小值之间的夹角)

0.61r

。与(3-40)式

相比较可知，高斯光束半角远场发散角在数值上等于以腰斑w0为半径的光束的衍射角，即它已达到了衍射极限。但因为高斯光束强度更集中在中心及其附近，所以实际上比圆孔衍射角要小一点。

由下面的例子可以获得共焦腔基模发散角的数量概念。例如共焦腔氦氖激光器腔长L＝30cm，光波长＝0.6328m，则1/e＝2.3×10rad。共焦腔CO2激光器L＝1m、＝10.6

2

-3

m，则1/e＝5.2×10-3rad。可见，共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，说

2

明它的方向性相当好。由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。

3.3.4 高斯光束的高亮度

由于激光器发出的高斯光束有良好的方向性，因而它也具有高亮度的特点。亮度B定义为单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。令光源的发光面的面积为S，其沿着发光面法线方向上立体角内辐射的光功率为I，则光源的发光面在该方向上的亮度为

B

IS

(3-41)

B的单位是W／cm2sr。由B的定义可以看出，在其他条件不变的情况下，发射光束的立体角越小，则亮度越高。

由于激光的远场发散角很微小，所以它所张的立体角可表示



R

R

2

2



6

2

(3-42)

当1/e＝2×10-3 rad时，相应的立体角为＝10sr，由此看到，一般的激光器是向

2

着数量级约为10－6 sr的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光)是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为4sr。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。因此，即使两者在单位面积上的发光功率相差不大，激光的亮度也应比普通光的亮度高出上百万倍。实际上激光还可通过一定的办法来提高它的单位面积的辐射功率，这就使得激光比普通光源的亮度要高得多。例如，一台较高水平的红宝石巨脉冲激光器，每平

方厘米的输出功率达10W，发散角接近1mrad，它的亮度约为l0源中以高亮度著称的高压脉冲氙灯的亮度还要高出几十亿倍。

9 15

W/cmsr，这比普通光

2

鉴于高斯光束在激光应用中的极其重要的地位,下面再重复强调一下它与球面波的区别,并小结一下它的主要特征参量。

高斯光束不象球面波那样在波阵面上具有均匀的振幅分布，而是呈现出高斯型的振幅分布，在光束中心处光能十分集中；不象球面波那样所有的波阵面具有一个共同的球心，而是不同的波阵面具有不同的曲率中心；不象球面波那样向空间均匀的辐射，而是局限在十分微小的发散角内输出光束，具有极好的方向性。

高斯光束有许多表示其性质的特征参量，其中最重要的是其束腰半径，它由激光器发出的光波长和谐振腔的腔长决定

w0

高斯光束的其他重要特征参量有：

12

ws

L

2

(3-33)

波阵面曲率半径 R0z1(

w0z

2

)] (3-38)

2

2

光束有效截面半径 wzw0

z

1

w2

0

 (3-34) 

镜面光束半径 ws

L2

(3-23)

远场发散角 22

L



2

w0

(3-40)

最后还要说明的是，由(3-29)式得到的高阶模式的其它光束也被称做是高斯光束，但是被冠以厄米-高斯光束的名称。在柱对称稳定腔中，包括圆形孔径共焦腔中还会产生所谓拉盖尔-高斯光束。这些高阶高斯光束与本节上面讨论的高斯光束性质上有很大的不同也复杂得多，就不讨论了。

3.4 稳定球面腔的光束传播特性

对一般稳定球面腔，原则上也可用直接求解它的积分方程的方法得到某一镜面上的光场分布函数，并再进一步用衍射积分得到腔内外的行波，但那是较共焦腔更为困难的事情。这

里采用等价共焦腔方法，将共焦腔的结果推广到一般稳定球面腔。

3.4.1 稳定球面腔的等价共焦腔

3.3.2节中已讲过，如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回，这样共焦腔中产生的场分布将不会改变。只要该反射镜不在共焦腔原先的反射镜位置上，其曲率半径就与原反射镜不相同，便得到了—个新的谐振腔。该球面腔与原共焦腔等价，产生的行波场与原共焦场完全一致，但是一定不再是共焦的。由于任何一个共焦腔场有无穷多个等相位面，因而存在无穷多个“等价”的球面腔。

图（3-10） 球面腔的等价共焦腔 1一球面腔，2一等价共焦腔

反过来，任意一个满足稳定性条件的球面腔只可唯一地与一个共焦腔等价。下边给定稳定球面腔，以双凹腔（图（3-10））为例，来求解与之对应的唯一的一个共焦腔。假设双凹腔两镜面M1与M2的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L，而所要求的等价共焦腔的共焦参数为f。以等价共焦腔中点为z坐标的原点．M1、M2两镜的z坐标为R1和R2。按图示情况，根据(3-38)式，波阵面曲率半径R1和R2可以用f、R1和R2表示为

R1z11(

fz1fz2

)]

2

R2z2[1()]

2

而且 z1z22f 将此三个方程联立，可唯一地解出一组z1、z2与f的数值，即

z1

LR2LR1R22L

(3-43a)

z2

LR1LR1R22L

(3-43b)

f

LR1LR2LR1R2LR1R22L

(3-43c)

LL

如果R1、R2、L满足0111，不难证明z1＜0、z2＞0、f＞0，这说

RR12

明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔。可利用(3-43)式与共焦腔的行波场的特征来讨论一般稳定球面腔(腔参数分别为R1、R2、L)的行波场的特点。

3.4.2稳定球面腔的光束传播特性

这里只讨论基横模也就是相应高斯光束的传播特性，再对稳定球面腔的谐振频率进行讨论。前者与激光束的应用密切相关，后者涉及到激光器的选频。

1.等效共焦腔的束腰半径和原球面腔镜面的基横模光束有效截面半径 将(3-43)式中f代入(3-33)式即可求出等效共焦腔的束腰半径为

1

LRLRLRRL41212

w0 (3-44) 2

R1R22L

这也就是该稳定球面腔输出的基横模高斯光束的束腰半径，它决定了稳定球面腔输出的基横模光束的几乎全部性质。

为了决定腔镜面的大小还需要知道腔镜面上的光斑半径。稳定球面腔镜面上的光斑半径等于它的等价共焦腔在该球面腔镜面处的光斑半径。为此，只需将(3-43)式中f与z1代入(3-34)式，便可得到M1镜面的基模光斑半径ws1，将f与z2代入(3-34)式，便可得到M2镜面的基模光斑半径w

s2



ws1

ws2

1

2

4

L(RL)(RRL)112

R(R2L)

1

2

1

(3-45)

4

L(RL)(RRL)212

R2(R1L)

2

稳定球面腔激光器基横模的其它重要参数，波阵面曲率半径、光束有效截面半径及远场

发散角都可以用(3-44)式得到的等效共焦腔的束腰半径代入上一节的(3-38)、(3-34)、(3-40)中计算出来。

2.谐振频率

由(3-29b)式并利用(3-43)式的结果，可写出方形镜一般稳定球面腔的两个反射镜面顶点处的位相因子分别为

z1fz1

tg1 0,0,z1kf1mn1ffz12z21fz2 0,0,z2kf1mn1tg

ffz22

按谐振条件，单程总相移必须满足(0,0,z1)(0,0,z2)q，上面两式相减得到



kz2z1mn1tg



1

fz2fz2

tg

1

fz1

q

fz1

前面已经证明z1＜0、z2＞0，因此z2z1L为原球面腔腔长。利用反三角函数公式

tg

1

xtg

1

ytg

1

xyxy

，上式可以化简为

2



再利用反三角函数公式tg

1

Lmn1tg

1x

2

1

fLf

2

z1z2

LR1

q （3-46）

LR2

xcos

1

， g11g21，

，并将（3-43）

的结果代入（3-46）式，化简整理得到

2



Lmn1cos

1

g1g2q （3-47）

将波长改写为频率的形式，可得谐振频率为

mnq

c





11

qmn1cos

2L

1

c



g1g2 （3-48）



由于谐振频率公式中出现因子cos者可自行分析。

同理，圆形镜—般稳定球面腔的谐振频率为

mnq

11

qm2n1cos

2L

c



g1g2 (3-49)



若令g1g2

0，则cos1





2

，于是式（3-48）就变为

mnq

c4L

2qmn1

上式正是上节所给出的共焦腔的谐振频率公式(3-25)，由此可见，共焦腔不过是一般稳定球面腔的一种特例。

此外，—般稳定球面腔同一横模、两个相邻纵模的频率间隔和同一纵模两个相邻的横模之间的频率间隔则仍然可用(3-26)及 (3-27)表示。

3.5激光器的输出功率

连续激光器稳定工作时，由于激光工作物质的光放大作用，谐振腔内的损耗系数分布不均匀，各纵模的驻波效应，光场的横向高斯分布等因素,使得腔内光强分布不均匀，因而，精确计算各点的光强是个非常复杂的问题，由谐振腔内的光强分布出发计算激光器的输出功率也就变得十分复杂。本节从另一个角度，由增益饱和效应出发，计算激光器在稳态工作时腔内的平均光强，并在此基础上计算激光器的输出功率。

3.5.1 均匀增宽型介质激光器的输出功率

在谐振腔内工作介质为均匀增宽型物质的激光器内，通常只有一个纵模(详见下章的讨论)。这个纵模是满足谐振条件的诸纵模中增益系数最大的那个纵模，也就是谐振频率q离q的增益系数G(q)可以近似地用0的中心频率0最近的纵模。由于0q很小，因此，

增益系数代替，在第二章中已经给出

G

G1

IIs

(2-39)

式中I为激光器在稳态工作时腔内的平均光强，IS为激光工作介质的饱和光强，G为激光工作介质的小信号增益系数。

1.稳定出光时激光器内诸参数的表达式

激光器在稳态下工作时，腔内诸参量也都达到了稳定。

（1）腔内最小光强I(0)：由部分反射镜Ml反射的、沿腔轴传播的光强I(0)是腔内最弱的行波光强。因为随着I(0)穿过增益介质，它将不断地得到放大，结果腔内任一点的





光强都大于I(0) (光强符号的上标“＋”表示沿腔轴正方向传播；“－”表示沿腔轴负方向传播)。

图（3-11） 谐振腔内的光强

（2）腔内最大光强I(2L)：I(0)在腔内往返放大一周，再回到反射镜M1处时，光强已增大为I(2L)，如图(3-11)所示，它是腔内行波光强值最大者。它与I(0)的关系为

I(2L)r2I(0)exp2L(Ga内) (3-50)





式中r2为反射镜M2的反射率，L为腔长，a内为谐振腔的内部损耗系数。

（3）输出光强Iout：最大光强I(2L)在部分反射镜M1上被分为三份，其中透射光部分就是激光器的输出光强，其值为：

Ioutt1I(2L)t1r2I(0)exp2L(Ga内) (3-51)





式中t1为反射镜M1的透过率。

（4）镜面损耗Ih：激光器的镜面损耗是三份中的另一份。镜面损耗的表达式为

Iha1I(2L)a1r2I(0)exp2L(Ga内) (3-52)





式中a1为反射镜M1的镜面损耗系数。

（5）最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间关系：剩下的部分被部分反射镜M1反射回增益介质继续放大，这部分就是腔内的最小光强，它可以表示为

I(0)r1I(2L)r1r2I(0)exp2L(Ga内) (3-53)







式中r1为反射镜M1的反射率，

由能量守恒定律不难看出，四个表达式(3-50)— (3-53) 之间的关系为

I(2L)I(0)IoutIh(a1t1)I(2L) (3-54)



（6）平均行波光强

在腔内任一点z处都有两束传播方向相反的行波I(z)和I(2Lz)。在这两束行波的作用下，增益介质内的粒子数密度反转分布值会发生饱和效应，增益系数值也随之饱和。在腔内不同的z处，增益系数的值不同。近似地用平均光强2I代替腔内光强I(z)＋

G1

I(2Lz)，用G



2IIs

G阈作为腔内的平均增益系数，则由增益系数的表达式可以导

出腔内平均行波光强为

IsG0IsG

I－1＝－1 (3-55) 

2G阈2a总



2.激光器的输出功率

激光器在理想的情况下可以做到介质内部的损耗a内0，还可把全反射镜M2的镜面损耗都折合到部分反射镜M1上。这样一来，对全反射镜M2有：r21，t20，a20；对部分反射镜M1有：r1(a1t1)；激光器的总损耗变为

1

a总a内

12L

lnr1r2

12L

ln[1(a1t1)]。

如果(a1t1)很小，可以将ln[1(a1t1)]用级数展开，取到一级近似，则有

a总

a1t12L

(3-56)

在上述条件下，(3-55)式所表示的激光器内行波的平均光强I可以化为

Is2LG

I1 (3-57)

2a1t1



激光器的输出光强也可表示为

Iout

2LG0

t1It11 (3-58)

2a1t1



Is

若激光束的平均截面为A，则激光器的输出功率为

PAIout

2LG0

t1IsA1 (3-59) 2a1t11

(3-59)式就是由均匀增宽型增益介质构成的激光器的输出功率P与激光器诸参量之间的关系式。

3. 输出功率与诸参量之间的关系 (1)输出功率与饱和光强的关系

激光器的输出功率P与饱和光强Is成正比，这一点只要回想一下第2.3节中关于饱和光强的讨论，是不难理解的。

(2)输出功率与光束截面的关系

光束截面A大的激光器，其输出功率P也大。高阶横模的光束截面要比基模的大，因此，一般说来，输出高阶横模的激光器，其输出功率要比同型号的输出基模的激光器的输出功率为大。

(3)输出功率与输出反射镜的透射率的关系

部分反射镜的透射率t1的选取对激光器输出功率的影响很大。设计激光器时总是希望输出功率大，镜面损耗小，以使光波在腔中往返一次所获得的光能量绝大部分都用于激光器的输出，也即希望(3-54)式能变成

I(2L)I(0)(a1t1)I(2L)t1I(2L)









这就要求把t1选得尽可能的大，把a1控制得尽可能的小，使t1a1。但是由(3-56)式可以看出，t1不能选得过大，因为t1太大会使增益系数的阈值G阈升高，如果介质的双程增益系数2LG不够大，将会导致腔内光强减小，反而使输出功率降低，严重时甚至会使腔内不能形成激光。当然，透射率t1也不能选得过小，因为t1太小时，虽然它使增益系数的阈值



降低，使腔内光强增强，但是，随着腔内光强的增高，镜面损耗a1I(2L)也将增大，这使

光波在介质中往返一次所增加的光能量用于损耗的部分加多，并未实现增加输出的预期效果。为了让激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的透射率取最佳值。最佳值可以通过对(3-59)式求极值而得到，即令

dPdt1

0，则有

1

2LG01AIs1t1AIs2a1t120

2LG

0 2

(at)11

解此方程得

1

t1(2LGa1)2a1

(3-60)

这就是最佳透射率的表达式，在此透射率下，激光器的输出功率为

P

12Is

Aa1

12

2LG



a1



1 02LGa1

2LG



IsA

(3-61)

2

实际工作中总是先用实验方法确定最佳透射率，再由(3-60)式估算镜面损耗的大小。

3.5.2 非均匀增宽型介质激光器的输出功率

在非均匀增宽型介质中，频率为的光波只能使速度为z的粒子数密度反转分布值饱和，对其他速度的粒子数密度反转分布值几乎无影响。所以增益介质对腔内各纵模的增益系数仅受本纵模光强的影响，基本上与其他纵模的光强无关。这是非均匀增宽型介质与均匀增宽型介质的不同之处。因此，对非均匀增宽型介质构成的激光器中各个纵模的讨论可以分别独立地进行。

1.稳定出光时激光器内诸参数的表达式

在稳定出光时，腔内诸参量也达到稳定，其中一部分参量与均匀增宽介质的情况相似，列出如下：

,)2rI(0,最大光强 I(2L





)exLp2G内(a ) (3-62)



输出光强 Iout()t1I



(L2,)t1rI2(0,)LexGp2a内( (3)-63)

)expL2G( a)-64) (3内

)exLpG2()) a (3-65内

I(2L,)1a2rI(0,镜面损耗 Ih()a1,)rI最小光强 I(01









(2L,)1r2rI(0,

以上各参量对腔内各纵模都适用。光波在腔内传播情况如图(3-12)所示。

图（3-12） 非均匀增宽激光器腔内的光强

非均匀增宽型介质对光波的增益系数随频率而变，下面分两种情况进行讨论，

即光波

频率为介质的中心频率0的情况和光波的频率不在介质的中心频率处的情况。

2.4节中已经讲过，光波的频率不在非均匀增宽介质的中心频率处时会发生“对称烧孔”的现象。频率为的光波沿腔轴正方向传播时，它将使沿腔轴方向运动的速度为z的粒子数密度反转分布值饱和，当该光波经反射镜反射后沿着腔轴的反方向传播时，它又使介质中速度为z的粒子数密度反转分布值饱和。这样，光波在腔内传播时，将有两部分粒子——速度为z的粒子和速度为z的粒子对它的放大作出贡献。也就是说频率为的光波，



I(,z)和I(,2Lz)两束光在增益系数的G~曲线上0的两侧对称地“烧”了两个

孔，如图(2-13)所示。对每一个孔起饱和作用的分别是I(,z)或I(,2Lz)，而不是两者之和。

图（3-13） 非均匀增宽激光器的“烧孔效应”

腔内不同位置的光强不同，取I作为该行波的平均光强，当增益不太大时，III，则介质对光波的平均增益系数为

GD()

G阈 (2-31)

这就是非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数的表达式。

对频率为线型函数的中心频率0的光波，介质对它的增益系数的表达式将不同于上式。0光波在介质中传播时，无论它是沿腔轴正方向传播还是沿腔轴负方向传播，它都只能使

介质中速度为z＝0的这部分粒子数密度反转分值饱和。也就是说，I和I同时使z＝0



的这部分粒子对0光波的增益有贡献，此时腔内的光强为II，故介质对

0光波的增益

系数为

GD(0)

G()0

G阈 (3-66)

若用平均光强2I来代I(z,0)I(2Lz,0)，则光波在腔中的平均增益系数可表示为

GD(0)

G()0

G阈 (3-67)

显见，形式上与介质对光波的增益系数不同。若令腔内各频率的光强相等，都等于Is，

那么

0光波所获得的增益系数为GD(0)

，它比0附近的

光波的增益系数值

GD()值还小一些。反之，若增益系数的阈值都相等，则0光波的平均光强为

2

0GD(0)1

I(0)Is－1 (3-68)

2G阈



光波的平均光强为

G0()2D

I()Is－1 (3-69)

G阈

腔内0光波的光强要比0附近各频率光波的光强为弱。

2.激光器的输出功率 （1）单频激光器的输出功率

若腔内只允许存在一个谐振频率，且0，激光器又工作在理想的情况下，有：

a内0，r21，a总

a1t12L

，此时腔内的平均光强可以由(2-31)式导出为

2LG0()2

D

I()Is1 (3-70)

a1t1

激光器的输出光强为

2LG0()2

D

Iout()t1I()t1Is1 (3-71)

a1t1

若光束的截面为A．则激光器的输出功率为

PAIout

2LG0

D

At1IAt1Is



a1t1

2



1 (3-72) 



(3-72)式对线宽范围内除0频率外的一切频率的光波都适用。

如果谐振腔内单纵模的频率为0，那么，该激光器腔内平均光强可由(3-67)式导出

2

02LGD(0)1

I(0)Is1 (3-73)

2a1t1

激光器的输出光强为

2LG0()2

D0

Iout(0)t1Is1 (3-74)

2at11

1

若频率为0的光束截面为A，则激光器的输出功率为

2LG0()2

D0

P(0)At1Is1 (3-75)

2a1t1

1

对比(3-72)式和(3-75)式可以看出，虽然介质在中心频率处的小讯号增益系数GD(0)要比其他任何频率的小讯号增益系数GD()大，但是，由于在输出功率的表达式中出现系数

12

，所以该激光器对0光波的输出功率P(0)要比它对0附近各频率光波的输出功率

P()还要低。如果使单纵模输出的激光器的谐振频率由小到大逐渐变化，对应每一个频率

1

I2

为1的光波，它都在增益系数的G~曲线上对称地“烧”两个宽度约为1的

Is

孔，如图(3-13)所示。而在输出功率的P~曲线上，对应于1光波的输出功率为P(1)。随着频率逐渐接近0，输出功率也逐渐增大。当频率变到

1

1

I2I2

0101 

I2I2ss

范围内时，该光波在增益系数的G~曲线上对称“烧”的两个孔发生了重叠，这意味着参与对光波进行增益放大的粒子数开始减少，因此，输出功率将不再随GD()的增加而增加。随着与0距离越来越小，G~曲线上两个孔的重叠部分也越来越大，输出功率也逐渐减小，直至0时，G~曲线上的两个孔完全重合，输出功率降至一个极小值。输

出功率曲线P()~如图（3-14）。P()~曲线在中心频率0处出现—个凹陷，这个凹陷称为“兰姆凹陷”。兰姆凹陷的中心频率为0，宽度大致为均匀增宽的线宽。当激光管内气体压力加大时，碰撞增宽使增大，这将使兰姆凹陷变宽、变浅，甚至会使之消失。图(3-15)画的是不同气压下输出功率随频率变化的曲线，图中P3P2P1。输出功率的兰姆凹陷常被作为一种稳频的方法而用于稳频技术中，这将在4.2节的稳频技术部分详细讨论。

图（3-14）P()~曲线与“兰姆凹陷” 图（3-15） “兰姆凹陷”与管中气压的关系

（2）多频激光器的输出功率

对腔长比较长的激光器，通常腔内可以允许有多个纵模存在。如果相邻两个纵模的频率间隔大于烧孔的宽度，并且各频率的烧孔都是彼此独立的，那么在该激光器中，每个纵模的诸参数与其他纵模不存在时一样，有

平均光强

2LG0()2

D

Is1a1t1

I()

2

012LGD()

Is12a1t1

0

(3-76)

0

输出功率

2LG0()2

D

At1Is1

a1t1

P()

2LG0()21D

At1Is12a1t1

0

(3-77)

0

则多频激光器的输出功率为

N

P

P(

i1

i

) (3-78)

式中i表示纵模序数，N表示腔内纵模总数，而P(i)则由(3-77)式给出。

如果腔内各纵模的频率对称地分布在0的两侧，也即，有一个纵模频率0b，必有另一个纵模频率'0b。那么，激光器工作在理想情况下时，纵模的增益系数为：

G()



G阈 (3-79)

纵模在腔内的平均行波光强

2

02LGD()1

I()Is1 (3-80)

2a1t1

纵横的输出功率

2LG0()2

D

P()At1Is1 (3-81)

2at11

1

该多频激光器的输出功率仍然由(3-78)式表示，但P(i)则由(3-81)式给出。

3.6激光器的线宽极限

激光具有良好的单色性，但它的频率是否绝对单一呢?本节将就这一问题作一简单的分析。由于对激光线宽的理论计算和它的实际线宽相差甚远，所以本节只是对激光线宽作一定性的说明，而不再进一步做定量的理论计算。

第1章中已经说明，普通光源发光的谱线是具有一定的宽度的。造成线宽的原因很多，其中主要有：1．能级的有限寿命造成了谱线的自然宽度。2．发光粒子之间的碰撞造成了谱线的碰撞宽度(或压力宽度)。3．发光粒子的热运动造成了谱线的多普勒宽度。这三种原因一般是同时起作用的，实际的谱线线型是它们共同作用的结果。这样的谱线叫做发光物质的荧光谱线，其线宽叫做荧光线宽。

对一个激光器来说，当它在稳定工作时，其增益正好等于总损耗。这时的理想情况是：损耗的能量在腔内的受激过程中得到了补充，而且在受激过程中产生的光波与原来光波有相同的位相，所以新产生的光波与原来的光波相干叠加，使腔内光波的振幅始终保持恒定，相应的就有无限长的波列，故线宽应为“0”。如果激光器是单模输出的话，那么它输出的谱线

应该是落在荧光线宽F范围内的一条“线”，如图(3-16)。

图（3-16） 荧光谱线与理想单色谱线

实际上不可能得到等于“0”的线宽。激光的谱线虽然极窄，但仍然有一定宽度。造成激光线宽的原因是多方面的。

首先是内部的原因：在理想的激光器中完全忽略了激活介质的自发辐射，而一个实际的激光器尽管它的自发辐射相对于受激辐射来说是极其微弱的，但它毕竟还是不可避免地存在着，而且在激光器的输出功率中也贡献它极其微小的一个份额。这一份额是非相干的辐射功率，而受激辐射过程贡献的则是相干的辐射功率。这样，激光器的增益就应该包括受激过程和自发过程两部分的贡献。在振荡达到平衡时，激光器内的能量平衡，应该是介质的受激辐射增益与自发辐射增益之和等于腔的总损耗，因而受激辐射的增益应略小于总损耗。这样，对于受激辐射的相干光来说，每一个波列都存在一定的衰减率，正是这种衰减造成了一定的线宽，这是问题的一面。另一方面，腔内自发辐射又产生一列一列前后位相无关的波列，这些波列和相干的波列的光强相叠加，使腔内的光强保持稳定。而这样一些一段一段的互相独立的自发辐射的波列也要造成一定的线宽。以上两方面的因素就造成了由于存在自发辐射而引起的激光线宽。如图(3-17)所示，曲线1是衰减的相干光的谱线，曲线2是自发辐射本身的谱线，曲线3是总的谱线。

图（3-17） 激光的极限线宽

如果激光器的输出功率增大，就说明腔内辐射场的能量密度也变大了，而受激辐射几率是正比于辐射场能量密度的，自发辐射的几率却不变，因此受激辐射所占的比例也相应增大，激光振荡谱线的宽度也相应变窄。这就是说增加激光器的输出功率可以减小由于自发辐射引起的激光线宽。理论计算表明此激光线宽是和激光器输出功率成反比的。

理论计算还指出，单纯由于腔内自发辐射而引起的激光谱线宽度远小于l Hz。例如，腔长L＝lm，单程损耗a总1%，每端输出l mW的He-Ne激光器发出的0.6328m谱线的宽度约为510-4Hz，这是个极其微小的线宽，而实验测得的激光线宽却远远大于这个数值。这说明造成激光线宽还有其它较自发辐射影响更大的因素。尽管如此，对于自发辐射造成激光线宽的分析还是十分有意义的。因为自发辐射是在任何激光器中都存在的，所以这种因素造成的激光线宽是无法排除的。也就是说这种线宽是消除了其他各种使激光线宽增加的因素后，最终可以达到的最小线宽，所以叫做线宽极限。

产生激光线宽的其他方面的原因是属于外部方面的原因，尤其是影响激光稳定性的—些因素，诸如温度的波动、机械的振动、大气压力和湿度的变化、空气的对流、损耗的波动、增益的波动以及荧光中心频率漂移等等。因为当激光的频率不稳定而发生变化和漂移时，激光振荡就不会是等幅的连续的正弦振荡。它必然会形成一定的频率分布，因而出现一定的谱线宽度。实验表明稳频度较高的He-Ne激光器输出的谱线宽度大约为几十Hz的数量级，普通的He-Ne激光器可达约104Hz的数量级(其荧光线宽大约为109Hz的数量级)。而固体激光器和半导体激光器的谱线宽度更宽，一般都在106Hz以上。

3.7激光光束质量的品质因子M2

在激光技术及其应用领域，以及激光器的设计和生产过程中，光束质量是衡量激光光束优劣的一项重要指标。因此光束质量的定义和测试是激光研究的重要内容之一。但是，

较长

时间以来，光束质量一直没有确切的定义，也未建立标准的测量方法，这给科研和应用都带来不便。

在激光的发展过程中， 针对不同的应用目的，曾用多种参数来评价光束质量，例如聚焦光斑尺寸、远场发散角等。但由于激光束经过光学系统后，束腰尺寸和发散角均可以发生改变，减小腰斑半径必然会使发散角增大，因此单独使用发散角或者单独使用腰斑尺寸来评价光束质量是不科学的。为了克服常用的光束质量评价方法的局限，近年来国际光学界发展出一种表征激光光束质量的参量——品质因子M2，并已由国际标准化组织（ISO）予以推荐试用。

光束质量是激光束可聚焦程度的度量，描写激光光束品质的M2因子的定义式为

M

2



00

（3-89）

式中的和0分别为实际光束和基横模高斯光束的束腰半径；和0分别为实际光束和基横模高斯光束的远场发散角。从定义中可以看出M2因子是以理想高斯光束即基横模

TEM00作为比较的标准。

在讨论基横模高斯光束的特性时，已经得到其束腰半径和远场发散角的表达式如下

0

0

式中为光波波长，L为激光器的腔长。不难看出，基横模高斯光束的束腰半径和远场发散角的乘积为一个常量

00



（3-90）

00也即使采用各种光学变换方法，例如聚焦或准直来减小束腰半径或者压缩远场发散角，

总是为一个常量，因此束腰半径与远场发散角的乘积反映了基横模高斯光束的固有特性, 这样就避免了只用光斑尺寸或只用发散角作为光束品质判据带来的不确定性。作为比较的标准, 基横模高斯光束M光束品质。

2

1，为M因子的极小值。即基横模(TEM00模) 高斯光束,有最好的

2

基横模高斯光束是共焦腔中自再现模所满足的积分方程（式（3-7））在近轴近似下的一个特解，从该积分方程出发还可以导出一系列其他解。对方形镜共焦腔求解该积分方程可以得到高斯光束的多模解，称为厄密-高斯光束，其场分布由厄密多项式与高斯函数的乘积来描述（请参看（3-18）和（3-29））。由厄密-高斯函数所表征的高阶高斯光束用TEMmn来表示，m和n分别表示场在x和y方向的节线数，不同m和n的模具有不同的横向场分布，称为横模。当m0，并且n0时，对应TEM00模式称为基横模。可以证明，在基横模高斯光束中，zz0处的光斑半径的平方刚好是其横坐标平方在基横模模场分布下平均值的四倍。因此可以类似地定义高阶厄密-高斯光束的光斑半径。参看3.2节内容可以知道，高阶厄密-高斯光束在x和y方向上的振幅分布可以表示为

X2

2

Fm(X)

CmHm(X)e

，X

00(z)

Fn(Y)

CnHn(Y)e



Y

2

2

，Y

00(z)

其中00(z)表示基横模高斯光束的光斑半径。则高阶厄密-高斯光束在x和y方向上的光斑半径m(z)和n(z)可以表示为



4

(z)

2

m





Fm(X)xFm(X)dX



2

Fm(X)dX

2





4

(z)

2n





Fn(Y)xFn(Y)dY



2

Fn(Y)dY

2





利用厄密多项式的正交归一化性质







e

X

2

Hm(X)Hn(X)dX2

m

!mn

可以得到







Fm(X)Fm(X)dX2

m

m

2

m!

再者，利用厄密多项式的递推公式，

XHm(X)

12

Hm1(X)mHm1(X)

可以得到



4





Fm(X)xFm(X)dX2

2m

m

2

(2m1)m!00(z)

2

结合以上分析可以计算得到高阶厄密-高斯光束在x和y方向上的光斑半径的平方，表示如下

m(z)(2m1)00(z) （3-90a） n(z)(2n1)00(z) （3-90b）

2

2

2

2

以上两式将高阶厄密-高斯光束的光斑半径的平方与其阶数联系起来。当mn时，x方向上光斑半径不等于y方向上的光斑半径，并且m、n越大，高阶厄密-高斯光束的光斑半径越大，其场分布在空间也就越发散。

对于厄密-高斯光束的远场发散角，仍然采用与基横模高斯光束的定义式，因此在x和y方向上高阶厄密-高斯光束的远场发散角m和n分别为

mlimnlim

m(z)

zz

z

00(z)

zz







0 （3-91a）

0 （3-91b）

n(z)

z



00(z)



对于高阶厄密-高斯光束，其光腰位于z0处，根据前面的分析容易得到高阶厄密-高斯光束在x和y方向上的M2因子分别为

M

2

x

2m1 （3-92a）

M

2y

2n1 （3-92b）

显然，高阶厄密-高斯光束的M2因子大于基横模高斯光束的M2因子。并且，随着模阶数m或n的增加，其光腰半径及发散角与基横模高斯光束相比偏差越来越大，光腰半径与远场发散角之积越大，光束质量也就越差。

对圆形镜共焦腔求解自再现模所满足的积分方程可以得到高斯光束的多模解，称为拉盖尔-高斯光束，其场分布由拉盖尔多项式与高斯函数的乘积来描述。由拉盖尔-高斯函数所表征的高阶高斯光束也用TEMmn来表示，但该处的m表示光束沿径向的节线圆的数目，n表

示光束沿幅角方向的节线数目，其横模图形可参看图3-3（e,f,g）。在此直接给出拉盖尔-高斯光束的光斑半径mn(z)和远场发散角mn的表达式

mn(z)mn

00(z) （3-93a）

0 （3-93b）

显然，拉盖尔-高斯光束的M2因子为

M

2

m2n1 （3-94）

同样，随着模阶数m或n的增加，其光腰半径及发散角与基模高斯光束相比偏差越来越大，光腰半径与远场发散角之积越大，光束质量也就越差。

因此，对实际光束来说M21，M2因子值越大，光束质量越差。并且M2因子克服了常用光束质量评价方法的局限,用M2 因子作为评价标准对激光器系统进行质量监控及辅助设计等具有十分重要的意义。

思考练习题3

1．腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率0＝5.85l014Hz，荧光线宽＝6l08 Hz，问它可能存在几个纵模?相应的q值为多少？ (设=1)

2．He—Ne激光器的中心频率0＝4.74×1014Hz，荧光线宽＝1.5l09Hz。今腔长L＝lm，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？

3．试求出方形镜对称共焦腔镜面上TEM30横的节线位置的表达式(腔长L、光波波长、方形镜边长a)，这些节线是否等间距？

4．连续工作的CO2激光器输出功率为50W，聚焦后的基模有效截面直径2w＝50m，计算(1)每平方厘米平均功率(50W为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W／cm2)及氧乙炔焰(108W／cm2)比较，分别为它们的多少倍？

5．(a)计算腔长为1m的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝6328Å，10km处的光斑面积多大。(b)有一普通探照灯，设发散角为2，则1km远处的光斑面积多大？

6．激光的远场发散角(半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角衍(半角)＝1.22λ/d。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。

试计算腔长为30cm的氦氖激光器，所发波长λ＝6328Å的远场发散角和以放电管直径d＝2mm为输出孔的衍射极限角，并比较二者的大小。

7．一共焦腔(对称)L＝0.40m，λ＝0.6328m，束腰半径w00.2mm，求离腰56cm处的光束有效截面半径。

8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。 9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145m，腔长L＝1m，腔镜曲率半径R1=1.5m，R2=4m。试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。

10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6m，两反射镜间距L＝2m，如选择凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持L不变，选择RL，并使镜面上的光斑尺寸ws＝0.3cm，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？

11．试从（3－81）式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射率表示有：PmAIs

tm(atm)

2

。

12．考虑如图（3－18）所示的He-Ne激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。试求TEM00

和TEM10模之间的频率差。假定TEM00q模的单程衍射损耗δ器振荡的最小增益系数为多大？

图（3－18） 习题三 第12题

00