二次函数的三种表达形式

二次函数的三种表达形式：

①一般式：

y=ax2+bx+c(a≠0,a 、b 、c 为常数) ，顶点坐标为 [, ]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a 、b 、c 的值。 ②顶点式：

y=a(x-h)2+k(a≠0,a 、h 、k 为常数), 顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y 最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y 的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y 的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h 越大，图像的对称轴离y 轴越远，且在x 轴正方向上，不能因h 前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到； 当h0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h>0,k

当h0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单

位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h

③交点式：

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x 轴即y=0有交点时的抛物线，即b 2-4ac ≥0] . 已知抛物线与x 轴即y=0有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）, 我们可设y=a(x-x1)(x-x2), 然后把第三点代入x 、y 中便可求出a 。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数

∵x 1+x2=-b/a， x 1?x 2=c/a(由韦达定理得),

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a[x2-(x1+x2)x+x1?x 2]

=a(x-x1)(x-x2).

重要概念：

a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上； a

a 的绝对值越大开口就越小，a 的绝对值越小开口就越大。

能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题。

二次函数解释式的求法：

就一般式y=ax2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 为常数，且a ≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c ．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。 1. 巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：y ＝a(x－x 1)(x－x 2) （a ≠0）x 1，x 2分别是抛物线与x 轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。 ①典型例题一：告诉抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例：已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：

解设函数的解析式为y ＝a(x+2)(x-1)，

∵过点（2，8），

∴8＝a(2+2)(2-1)。

解得a=2，

∴抛物线的解析式为：

y ＝2(x+2)(x-1)，

即y ＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x 轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

点拨：

在已知抛物线与x 轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x ＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x 轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2. 巧用顶点式：

顶点式y=a(x－h) 2+k（a ≠0），其中（h ，k ）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a 。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。 例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。

点拨：

解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a ≠0）。

把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。

∴a=3。

∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

②典型例题二：

如果a>0，那么当 时，y 有最小值且y 最小=；

如果a

告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。 例：已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

点拨：

析解∵二次函数当x ＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x ＝4，抛物线开口向上。

由于图象与x 轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。

∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。

故可设函数解析式为y ＝a(x－4) 2－3。

将（1，0）代入得0＝a(1－4) 2－3, 解得a ＝13．

∴y ＝13(x－4) 2-3，即y ＝13x 2－83x ＋73。

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。

例如：

（1）已知二次函数的图象经过点A （3，-2）和B （1，0），且对称轴是直线x ＝3．求这个二次函数的解析式.

（2）已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y 轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.

（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.

（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x 轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。

例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。

点拨：

解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。

∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的， ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。