立体几何大题
立体几何大题
1、 如图:梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直,其中AB //DC ,
AD =CD =
1
2
AB ,且O 为AB 中点. ( I ) 求证:BC //平面POD ; ( II ) 求证:AC ⊥PD .
2、 已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形.(Ⅰ)求证:PC ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDE .
P
A
B
D
C
PB =PD ,E 为PA 的中点. C
1 / 35
3、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AA 1的中点. (1)求证:A 1C //平面BDE ; (2)求证:平面A 1AC ⊥平面BDE .
4、如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD=90°,AD >BC ,E ,F 分别为棱AB ,PC 的中点. (I )求证:PE ⊥BC ; (II )求证:EF//平面PAD.
2 / 35
5、在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面是边长为1的正方形,E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点. (Ⅰ) 直线BF //平面AD 1E ; (Ⅱ) 求证:D 1E ⊥面AEC .
1
B A 1
E
C
6、如图,在六面体ABCDEFG 中,平面ABC ∥平面DEFG ,AD ⊥平面DEFG ,
AB ⊥AC , ED ⊥DG , EF ∥DG ,且AC =EF =1, AB =AD =DE =DG =2.
(1)求证:BF ∥平面ACGD ; (2)求证:平面BEF ⊥平面DEFG ; (3)求三棱锥A -BCF 的体积.
3 / 35
7、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,且D , E , F 分别为BC , BB 1, AA 1的中点. (I) 求证:平面B 1FC //平面EAD ; (II )求证:BC 1⊥平面EAD .
AF //DE ,∠ADE =90,8、如图所示,正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直,
DE =DA =2AF =2.
A 1
B C 1
F
A
D
B
C
(Ⅰ) 求证:AC ⊥平面BDE ; (Ⅱ) 求证:AC //平面BEF ; (Ⅲ)求四面体BDEF 的体积.
F
C
4 / 35
9、在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面是边长为1的正方形,E ,G ,F 分别是棱B 1B 、D 1D 、DA 的中点.
(Ⅰ) 求证:平面AD 1E ∥平面BGF ; (Ⅱ) 求证:D 1E ⊥平面AEC .
10、如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中,的中点,求证: (Ⅰ)EF ∥平面PAB ; (Ⅱ)平面PAD ⊥平面PDC .
PA ⊥底面ABCD ,E 、F 分别是PC 、PD 5 / 35
11、如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是∠DAB =60且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD ⊥PB ;
12、直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是直角梯形,∠BAD =∠ADC =90°,AB =2AD =2CD =2.
(Ⅰ) 求证:AC ⊥平面BB1C1C ;
(Ⅱ) A1B1上是否存一点P ,使得DP 与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.
13、【山东省淄博一中2012届高三上学期期末检测文】
(本小题
6 / 35
满分12分)如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 (1)证明PA//平面EDB ; (2)证明PB ⊥平面EFD ;
14、(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科) (本小题满分12分)
如图,四棱锥S -ABCD 中,M 是SB 的中点, AB //CD ,BC ⊥CD ,SD ⊥面SAB , 且AB =BC =2CD =2SD . (Ⅰ)证明:CD ⊥SD ; (Ⅱ)证明:CM //面SAD .
15、如图所示, 正方形A D E F 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,
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AD ⊥CD , AB //CD , CD =2AB =2AD .
(Ⅰ)求证:BC ⊥BE ;
(Ⅱ)在EC 上找一点M , 使得BM //平面ADEF , 请确定M 点的位置, 并给出证明.
A
B
D
C
16、(山东省青岛市2012届高三上学期期末文科) (本小题满分12分)
如图,四边形ABCD 为矩形,DA ⊥平面ABE , AE =EB =BC =2,BF ⊥平面ACE 于点F ,且点F 在CE 上. (Ⅰ)求证:DE ⊥BE ;
(Ⅱ)求四棱锥E -ABCD 的体积; (Ⅲ)设点M 在线段AB 上,且AM =MB , 试在线段CE 上确定一点N ,使得MN //平面DAE . 、
D 1D ⊥平面ABCD ,17、(本小题满分12分)如图,在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD
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D
F A
M E
AB =2AD , AD =A B , ∠BAD =6011是平行四边形,
(Ⅰ)证明:AA 1⊥BD ; (Ⅱ)证明:CC 1//平面A 1BD .
18、【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】(本小题满分12分) 如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形,且PA=AD=1,AB=2, ∠PAB =120, ∠PBC =90.
(1)求证:平面PAD ⊥平面PAB ; (2)求三棱锥D -PAC 的体积;
19、【山东省济宁市2012届高三上学期期末检测文】(本小题满分12分) 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥面ABCD ,E 是PD 的中点. (I )求证:平面PDC ⊥平面PDA ;
P
A
B
C
9 / 35
(II )求几何体P —ABCD 被平面ACE 分得的两部分的体积比V ACDE :V PABCE .
20、已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面
ABC
AB =AC =AA =2∠BAC =901, ,, D , E , F 分别为
A 1
B 1
C 1
B 1A , C 1C , BC 的中点.
D
E
(I )求证:DE //平面ABC ; (II )求证:平面AEF ⊥平面BCC 1B 1; (III) 求三棱锥A-BCB1的体积.
21、【山东省潍坊市第一中学2012届高三阶段测试文】(本小题满分12分) 如图,矩形ABCD 中,AD ⊥平面ABE ,AE =EB =BC =2,F 为CE 上的点,且BE ⊥ACE ,
AC ⋂
BD =G .
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A
B
F
C
(Ⅱ)求证:平面AE //平面BFD ; (Ⅲ)求三棱锥C -BGF 的体积.
22、如图,已知三棱锥A -BPC 中,AP ⊥PC , AC ⊥BC , M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;
(Ⅲ)若BC =4,AB =20,求三棱锥D -BCM 的体积。
23、如图,菱形ABCD 的边长为6,∠BAD =60, AC BD =O . 将菱形ABCD 沿对角线AC
折起,得到三棱锥B -ACD , 点M 是棱BC
的中点,DM =(Ⅰ)求证:OM //平面ABD ;
(Ⅲ)求三棱锥M -ABD 的体积.
24、如图4,AB 是圆O 的的直径,点C 是弧AB 的中点,D ,E 分别是VB ,VC 的中点,
VA ⊥平面ABC .
A
O
C
(1)证明 DE ⊥平面VAC .
25、如图, AB为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,AB//EF,
矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1。 (1)求证:AF ⊥平面CBF ;
(2)设FC 的中点为M ,求证:OM//平面DAF ; (3)设平面
CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥
A
B
体的体积分别为V F -ABCD , V F -CBE ,求V F -ABCD :V F -CBE
26、如图,在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥面ABCD ,BD 交AC 于点E ,F
是PC 中点,G 为AC 上一点. (I )求证:BD ⊥FG ;
(II )确定点G 在线段AC 上的位置,使FG//平面PBD ,
并说明理由.
D
27、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
正视图
侧视图
(1) 若F 为PD 的中点,求证:AF ⊥面PCD ; (2) 证明:BD ∥面PEC ; (3) 求三棱锥E -PBC 的体积。
28、 一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,俯视图为正方形,E 是PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB ∥平面ACE ; (Ⅱ)求证:PC ⊥BD ; (Ⅲ)求三棱锥C-PAB 的体积.
29、右图为一简单组合体,其底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,EC //PD ,且
PD =AD =2EC =2 .
(1)画出该几何体的正(主) 视图和侧(左) 视图以及俯视图; (2)求四棱锥B -CEPD 的体积; (3)求证:BE //平面PDA .
A
P
E
C
B
30、如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为AB 、BC 的中点。 (Ⅰ)求证:平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D ;
11P 。 (Ⅱ)证明:当点P 在DD 1任意位置上,均有MN ∥平面AC
(Ⅱ)按图中示例,在给出的方格纸中,用事先再画出此正方体
的3个形状不同的表面展开图,且每个展开提均满足条件
“有四个正方形连成一个长方形”。(如果多画,则按前3个记分)
31、如图(1),
∆ABC
是等
腰直角三
AC =BC =4,E 、F 分别为AC 、AB 的中点,角形,将∆AEF 沿EF 折起,使A '在平面BCEF
上的射影O 恰为EC 的中点,得到图(2). (1)求证:EF ⊥A 'C ;
(2)求三棱锥F -A 'BC 的体积.
32、已知P 在矩形ABCD 边DC 上,AB=2,BC=1,F 在AB 上且DF ⊥AP ,垂足为E ,将△ADP 沿AP 折起.使点D 位于D ′位置,连D ′B 、D ′C 得四棱锥D ′—ABCP . (I )求证D ′F ⊥AP ;
(II )若PD=1并且平面D ′AP ⊥平面ABCP ,求四棱锥D ′—ABCP 的体积
立体几何答案
1、证明: (I) 因为O 为AB 中点,
所以BO =AB , ………………1分
12
又AB //CD , CD =AB ,
所以有CD =BO , CD //BO , ………………2分
所以ODCB 为平行四边形, 所以BC //OD , ………………3分 又DO ⊂平面POD , BC ⊄平面POD ,
所以BC //平面POD . …………5分 (II)连接OC .
因为CD =BO =AO , CD //AO , 所以ADCO 为 平行四边形, …………………6分 又AD =CD , 所以ADCO 为菱形,
所以 AC ⊥DO , ……………7分
因为正三角形PAB , O 为AB 中点,所以PO ⊥AB , …………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB , 平面ABCD 平面PAB =AB , 所以PO ⊥平面ABCD , ……………10分 而AC ⊂平面ABCD ,所以 PO ⊥AC ,
又PO DO =O ,所以AC ⊥平面POD . ………………12分 又PD ⊂平面POD ,所以AC ⊥PD . ……………13分
2、(Ⅰ)证明:因为E ,O 分别为PA ,AC 的中点, 所以EO ∥PC . 因为EO ⊂平面BDE
C
1
2
P
A D
C
B
PC ⊄平面BDE
所以PC ∥平面BDE .…………………6分
(Ⅱ)证明:连结OP
因为PB =PD ,所以OP ⊥BD .
在菱形ABCD 中,BD ⊥AC 因为OP AC =O 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE
所以平面PAC ⊥平面BDE . ……………………13分
3、证明:(1)设AC ⋂BD =O ,
∵E 、O 分别是AA 1、AC 的中点,∴A 1C ∥EO
⊄平面BDE ,EO ⊂平面BDE ,∴A 1C ∥平面BDE 1又AC
(2)∵AA 1⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,AA 1⊥BD
又BD ⊥AC ,AC ⋂AA 1=A ,∴BD ⊥平面A 1AC ,BD ⊂平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面A 1AC
4、证明:(I ) PA ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD
∴PA ⊥BC
∠ABC =90︒, ∴BC ⊥AB
∴BC ⊥平面PAB
又E 是AB 中点, ∴PE ⊂平面PAB ∴BC ⊥PE. (II )证明:取CD 中点G ,连结FG ,EG ,
∵F 为PC 中点,∴FG//PD
FG ⊄平面PAD , PD ⊂平面PAD ∴FG//平面PAD ;
同理,EG//平面PAD
FG EC =G , ∴平面EFG//平面PAD. ∴EF//平面PAD.
5、解析:证明:(Ⅰ) 取DD 1的中点G ,连接GB , GF
E , F 分别是棱BB 1, AD 中点
1且BE =DG 1∴GF ∥AD 1,BE //DG ,
D C 1
∴四边形BED 1F 为平行四边形,∴D 1E //BF
A 1
G
B 又D 1E , D 1A ⊂平面AD 1E ,BG , GF ⊄平面AD 1E ∴BG //平面AD 1E ,GF //平面AD 1E ∵GF , GB ⊆平面BGF ,∴平面BGF //平面AD 1E ∵BF ⊆平面AD 1E ,∴直线BF //平面AD 1E
AD ==AA =21 (Ⅱ) 1
∴
E
C
同理AE =D 1E 222
∴AD 1=D 1E +AE ∴D 1E ⊥AE
同理可证D 1E ⊥CE
又AC AE =A , AC ⊂面AEC , AE ⊂面AEC ∴D 1E ⊥面AEC
【注】:或者 AC ⊥BD , AC ⊥D 1D ∴AC ⊥面BD 1又,D 1E ⊂平面BD 1, ∴AC ⊥D 1E ,亦可。
6、解:(1)取DG 的中点为M ,连接AM 、FM , 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形,
∴DE //FM ,又∵AB //DE , ∴AB //FM ……………2分 ∴四边形ABFM 是平行四边形,即BF //AM ,
又BF ⊄平面ACGD 故 BF ∥平面ACGD . ………4分 (或利用面面平行的性质证明亦可)
(2)∵平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC 平面ADEB =AB , 平面DEFG 平面ADEB =DE
∴AB //DE
. Q AB =DE AB =DE ,
∴ADEB 为平行四边形,BE //AD . …………6分
AD ⊥平面DEFG BE ⊂平面BEF ,
, ∴BE ⊥平面DEFG ,
∴平面BEF ⊥平面DEFG . …………8分 (3) 平面ABC ∥平面DEFG ,则F 到面ABC 的距离为AD.
1121
⋅(⋅1⋅2) ⋅2=V A -BCF =V F -ABC =⋅S ABC ⋅AD
3. …………………………12分 3=32
7、(Ⅰ)由已知可得AF //B 1E ,AF =B 1E , ∴四边形AFB 1E 是平行四边形,
∴AE //FB 1, ……………1分
A 1
B 1
C 1
AE ⊄平面B 1FC ,FB 1⊂平面B 1FC ,
F
∴AE //平面B 1FC ; ……………2分
又 D , E 分别是BC , BB 1的中点,
A
C
D
B
∴DE //B 1C , ……………3分 ED ⊄平面B 1FC ,B 1C ⊂平面B 1FC ,
∴ED //平面B 1FC ; ……………4分
AE DE =E , AE ⊂平面EAD ,ED ⊂平面EAD , ……………5分
∴平面B 1FC ∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱, ∴C 1C ⊥面ABC ,又 AD ⊂面ABC ,
∴C 1C ⊥AD . ……………7分 又 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等,D 是BC 边中点, ∴∆ABC 是正三角形,∴BC ⊥AD , ……………8分 而C 1C BC =C , CC 1⊂面BCC 1B 1 ,BC ⊂面BCC 1B 1 ,
∴AD ⊥面BCC 1B 1 , ……………9
分
故 AD ⊥BC 1 . ……………10分
四边形BCC 1B 1是菱形,∴BC 1⊥B 1C , ……………11分
而DE //B 1C ,故 DE ⊥BC 1 , ……………12分
由AD DE =D ,AD ⊂面EAD ,ED ⊂面EAD ,
得 BC 1⊥面EAD . ……………13分
8、(Ⅰ) 证明:因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,∠ADE =90,
所以DE ⊥平面ABCD , …………………2分 所以DE ⊥AC . …………………3分 因为ABCD 是正方形,
所以AC ⊥BD ,所以AC ⊥平面BDE . …………4分 (Ⅱ) 证明:设AC BD =O ,取BE 中点G ,连结FG , OG ,
1//DE OG 2=所以,. …………………5分
D
C
因为AF //DE ,DE
=2AF
,所以AF =OG , …………………6分
//
从而四边形AFGO 是平行四边形,FG //AO . …………7分 因为FG ⊂平面BEF , AO ⊄平面BEF , ……………8分 所以AO //平面BEF ,即AC //平面BEF . ……………9分 (Ⅲ)解:因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,AB ⊥AD ,
所以AB ⊥平面ADEF . ………………11分 因为AF //DE , ∠ADE =90, DE
=DA =2AF =2,
1
⨯ED ⨯AD =2
所以∆DEF 的面积为2,…………12分
所以四面体BDEF 的体积
=
41
S ∆DEF ⨯AB =
3. ……………13分 3
9、证明:(Ⅰ) E ,F 分别是棱B 1B ,D 1D 中点,
∴BE ∥D 1F 且BE =D 1F ,
四边形BED 1F 为平行四边形,∴D 1E ∥BF ,
又D 1E ⊂平面AD 1E ,BF ⊄平面AD 1E ,∴BF ∥平面AD 1E , 又G 是棱DA 的中点,∴GF ∥AD 1, 又AD 1⊂平面AD 1E ,GF ⊄平面AD 1E
∴GF ∥平面AD 1E ,又BF GF =F , ∴ 平面AD 1E ∥平面BGF
,
(Ⅱ
)
AA 1=2,
AD 1==AE =D 1E
AD 12=D 1E 2+AE 2⇒D 1E ⊥AE ,
AC ⊥BD ,AC ⊥D 1D ,∴AC ⊥平面BD 1,又D 1E ⊂平面BD 1,AC ⊥D 1E ,
又AC AE =A ,AC ⊂平面AEC ,AE ⊂平面AEC . 所以D 1E ⊥平面AEC .
10、解:(Ⅰ)∵E 、F 分别是PC 、PD 的中点, ∴EF ∥CD .
∵底面ABCD 是矩形,∴CD ∥AB .∴EF ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ,EF ⊄平面PAB , ∴EF ∥平面PAB . (Ⅱ)∵PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD ,∴PA ⊥CD . ∵底面ABCD 是矩形,∴AD ⊥CD .
又PA AD =A , AP ⊂面PAD , AD ⊂面PAD ,∴DC ⊥平面PAD . ∵DC ⊂平面PDC ,∴平面PAD ⊥平面PDC .
11、证明:(1)∆ABD 为等边三角形且G 为AD 的中点,∴BG ⊥AD 又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴BG ⊥平面PAD
(2)PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,∴AD ⊥PG 且AD ⊥BG ,PG ⋂BG =G ,∴AD ⊥平面PBG ,
PB ⊂平面PBG ,∴AD ⊥PB
12、证明:(Ⅰ) 直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD ,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴AC=2,∠CAB=45°,∴BC=2,∴BC ⊥AC. 又BB1∩BC=B,BB1,BC ⊂平面BB1C1C , ∴AC ⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ) 存在点P ,P 为A1B1的中点。 证明:由P 为A1B1的中点,有
1又∵DC ∥AB ,DC=2
1
PB1∥AB ,且PB1=2
AB.
AB ,∴DC ∥PB1,且DC=PB1,
∴DCB1P 为平行四边形,从而CB1∥DP. 又CB1∥⊂ACB1,DP ⊄面ACB1, ∴DP ∥面ACB1. 同理,DP ∥面BCB1.
13、解(1)证明:连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO 。 ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在∆PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO……………3分 而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ,
所以,PA // 平面EDB …………………………6分
(2)证明:
∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD , ∴PD ⊥DC
∵PD=DC,可知∆PDC 是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,
o
∴DE ⊥PC 。 ①………………………8分 同理由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC 。
∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC 。 而DE ⊂平面PDC ,∴BC ⊥DE 。 ②
由①和②推得DE ⊥平面PBC 。………………10分 而PB ⊂平面PBC ,∴DE ⊥PB
又∵EF ⊥PB ,EF ⋂DE =E ∴PB ⊥平面EFD ………………………12分
14、证明:(Ⅰ)由SD ⊥面SAB ,AB ⊂面SAB ,所以SD ⊥AB . ………3分
又AB //CD ,所以CD ⊥SD . ……………………………………6分 (Ⅱ)取SA 中点N ,连结ND , NM ,则NM //AB ,且
MN =
1
AB =DC 2,……8分
又AB //CD 所以NMCD 是平行四边形, …………9分
ND //MC ,且ND ⊂面SAD , MC ⊄面SAD
所以CM //面SAD . ………………………12分
15、(本小题满分12分)
N
证明: (Ⅰ)因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,DE ⊥AD 所以DE ⊥平面ABCD ∴DE ⊥BC ………………………………………1分
因为AB =AD ,所以
∠ADB =∠
BDC =
π
,
4BD ==
取CD 中点N ,连接BN
则由题意知:四边形ABND 为正方形
BC ===所以,BD =BC
则∆BDC 为等腰直角三角形,则BD ⊥BC …………5分
则BC ⊥平面BDE ,则BC ⊥BE ………………7分 (Ⅱ)取EC 中点M ,则有
BM //平面ADEF
M
D
N
C
…………8分
B
证明如下:连接MN
由(Ⅰ)知BN //AD ,所以 BN //平面ADEF
又因为M 、N 分别为CE 、CD 的中点,所以 MN //DE 则MN //平面ADEF ………………10分
则平面BMN //平面ADEF ,所以BM //平面ADEF …………12分
16、解(Ⅰ)因为DA ⊥平面ABE ,BC ∥DA 所以AE ⊥BC ,DA ⊥BE 因为BF ⊥平面ACE 于点F ,
AE ⊥BF
D
C
…………………………2分
F A
H M
因为BC BF =B ,所以AE ⊥面BEC , 则AE ⊥BE
因为AE AD =A ,所以BE ⊥面DAE ,
则DE ⊥BE ………………………………………………………4分 (Ⅱ)作EH ⊥AB ,因为面ABCD ⊥平面ABE ,所以EH ⊥面AC
E 因为AE ⊥BE ,AE =EB =BC =2,所以EH =6分
118
V E -ABCD =EH ⋅S ABCD =2⨯=
333…………………………………8分
(Ⅲ)因为BE =BC ,BF ⊥平面ACE 于点F ,所以F 是EC 的中点
设P 是BE 的中点,连接MP , FP …………………………………………………10分 所以MP ∥AE , FP ∥DA
因为AE DA =A ,所以MF ∥面DAE ,则点N 就是点F …………………12分
17、【解析】考查空间线面的垂直、平行关系,容易题。 (Ⅰ)证明:因为AB=2AD,所以设AD=a,则AB=2a, 又因为∠BAD=60°, 所以在∆ABD 中, 由余弦定理得:
BD 2=(2a ) 2+a 2-2a ⨯2a ⨯cos60 =3a 2,
222
所以
, 所以AD +BD =AB , 故BD ⊥AD
1
B 1
C
B
A
, 又因为D 1D ⊥平面A B C D ,所以D 1D ⊥BD, 又因为
A D ⋂1D =D , D
所以BD ⊥平面ADD 1A 1, 故AA 1⊥BD .
1, 由底面ABCD 是平行四边形得:O是AC 的中点, 由(2)连结AC, 设AC ⋂BD=0, 连结AO
1B 1C 1D 1知:平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1, 因为这两个平面同时都和平面四棱台ABCD -A
ACAC 11,故AC AC 11相交, 交线分别为AC 、AC 11,又因为AB=2a, BC=a, ∠ABC=120,
a
∠A B C =1202111所以可由余弦定理计算得
,又因为
A1B1=2a, B1C1=, ,所以可由余弦定理计算得
A1C1=,所以A1C1∥OC 且A1C1=OC,故四边形OCC1A1是
平行四边形,所以CC1∥A1O ,又CC1⊄平面A1BD ,A1O ⊂平面A1BD ,所以CC 1∥平面A 1BD .
18、 (1)证明:∵ABCD 为矩形
∴AD ⊥AB 且AD //BC
∵BC ⊥PB ∴DA ⊥PB 且AB PB =B ∴DA ⊥平面PAB , 又∵DA ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB
(2) ∵V D -PAC =V P -DAC =V P -ABC =V C -PAB
由(1)知DA ⊥平面PAB ,且AD //BC ∴BC ⊥平面PAB 分
111
V C -PAB =S ∆PAB ⋅BC =⋅PA ⋅AB ⋅sin
∠PAB ⋅BC =1⨯1⨯213326∴
C
A
B
P
19、【答案】证明:
(I )∵PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD. ∴PA ⊥CO ………2分
∵四边形ABCD 是矩形.
∴AD ⊥CD ∴CD ⊥平面PAD ……………4分 又∵CD ⊂平面PDC ,∴平面PDC ⊥平面PAD ……………6分
V E -ACD
V P -ABCD
1⎛1⎫⋅S ∆ACD ∙ PA ⎪3⎝2⎭=1=1
∙(2S ∆ACD )∙PA 43 ………10分
(II )由已知
V ACDE 1
=V ∴PABCE 3 ………………12分
20、解:(I )取AB 中点G ,连DG,CG ,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,
CC 1⊥底面ABC ,∴BCC 1B 1是矩形.
A 1
B E C 1
∵D,E 分别为AB1,CC1的中点,
D
∴
DG //
11BB 1, CE //BB 122,
∴DG //CE , DGCE
是平行四边形,∴DE ∥GC
∵GC ⊂平面ABC ,DE ⊄平面ABC , ∴DE//平面ABC .
(II )三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC, ∴ AF⊥CC1
AB =AC , F 为BC 中点,∴AF ⊥BC
又BC ⋂CC 1=C ,∴AF ⊥平面BCC 1B 1,
又AF ⊂平面AEF , ∴平面AEF ⊥平面BCC 1B 1
(III )由(II )得,AF ⊥平面BCC 1B 1,
在
由已知,RT ABC 中,AB =AC =2, ∴BC =AF =
1
BC =2
S BCB 1=
114
BC BB 1=∴V A -BCB 1=S BCB 1 AF =233 ,
21、【答案】解:(Ⅰ)证明:∵AD ⊥平面ABE ,AD//BC ∴BC ⊥平面ABE ,…………………………2分 则AE ⊥BC. 又∵BF ⊥平面ACE ,则AE ⊥BF. ∴AE ⊥平面BCE. ……………………………4分 (Ⅱ)证明:依题意可知:G 是AC 中点. ∵BF ⊥平面ACE ,则CE ⊥BF ,而BC=BE. ∴F 是AC 中点. …………………………6分
在∆AEC 中,FG//AE,∴AE//平面BFD. ………………………………8分 (Ⅲ)解法一:∵AE//平面BFD ,∴AE//FG,
而AE ⊥平面BCE. ∴FG ⊥平面BCE , ∴FG ⊥平面BCF. ∵G 是AC 中点,∴F 是CE 中点. ∴FG//AE且
1FG=2
AE=1.
BF ⊥平面ACE ,∴BF ⊥CE. ………………………10分
1
∴Rt ∆BCE 中,BF=CF=2
CE=
2
∴
S ∆CFB =
1
⋅2=12.
11
V C -BFG =V G -BCF =⋅S ∆CFB ⋅FG =
33. ……………………………12∴
分
分
111111
V C -BFG =V C -ABE =⋅V A -BCE =⋅⋅⋅BC ⋅BE ⋅AE =
444323. ……………………12解法二:
22、解:(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点, ∴M D ∥AP ,又∴MD ⊄平面APC ∴DM ∥平面APC
(Ⅱ)∵△PMB 为正三角形, 且D 为PB 中点,∴MD ⊥PB 又由(1)∴知MD ⊥AP , ∴AP ⊥PB 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC ,又∵AC ⊥BC
∴BC ⊥平面APC , ∴平面ABC ⊥平面PAC , (Ⅲ)∵AB =20,∴MB =10, ∴PB =10 又BC =
4,PC ==
∴
S ∆BDC =
111
S ∆PBC =PC ∙BC =⨯4⨯=
244
又MD =
1AP ==2
11
V D -BCM =V M -BCD =S ∆BDC ∙DM =⨯=33∴
23、(Ⅰ)证明:因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点,
所以O 是AC 的中点. 又点M 是棱BC 的中点,
所以OM 是∆ABC 的中位线,OM //AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD , AB ⊂平面ABD ,
所以OM //平面ABD . ………4分 (Ⅱ)证明:由题意,OM =OD
=3,
因为DM =所以∠DOM =90 ,OD ⊥OM . …………6分 又因为菱形ABCD ,所以OD ⊥AC . …………7分 因为OM AC =O ,
所以OD ⊥平面ABC , ……………8分
A
O
C
因为OD ⊂平面MDO ,
所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分
(Ⅲ)解:三棱锥M -ABD 的体积等于三棱锥D -ABM 的体积. ……………10分
由(Ⅱ)知,OD ⊥平面ABC ,
所以OD =3为三棱锥D -ABM 的高. ……………11分
11∆
ABM
的面积为BA ⨯BM ⨯sin120 =⨯6⨯3⨯=, ……………12
分
2222
所求体积等于⨯S ∆ABM ⨯OD =
13. ……………13分 2
24、解(1)因为VA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以BC ⊥VA . 由已知可知,BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面VAC . 又由已知可知,BC //DE ,故DE ⊥平面VAC .
25、(1)证明:由平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB ⊥AB ,
B
平面ABCD ∩平面ABEF=AB,
得CB ⊥平面ABEF ,
而AF ⊂平面ABEF ,所以AF ⊥CB ,
又因为AB 为圆O 的直径,所以AF ⊥BF ,
又BF ∩CB=B,所以AF ⊥平面CBF
11MN //CD , 又AO //CD 22(2)证明:设DF 的中点为N ,连接AN ,MN ,则 = =
= 则MN//AO,所以四边形MNAO 为平行四边形,
所以OM//AN,又AN ⊂平面DAF ,OM ⊄平面DAF ,
所以OM//平面DAF 。
(3)过点F 作FG ⊥AB 于G ,因为平面ABCD ⊥平面ABEF ,
所以FG ⊥平面ABCD ,所以
因为CB ⊥平面ABEF ,
所以V F -CBE =V C -BFE =1111S ∆BFE ⋅CB =⋅EF ⋅FG ⋅CB =FG 3326 V F -ABCD =12S ABCD ⋅FG =FG 33
所以V F -ABCD :V F -CBE =4:1.
26、证明:(I ) PA ⊥面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,
其对角线BD ,AC 交于点E ,
∴PA ⊥BD ,AC ⊥BD.
∴BD ⊥平面APC ,
FG ⊂平面PAC , ∴BD ⊥FG
3 (II )当G 为EC 中点,即AG =AC 时,
4D
FG//平面PBD ,
理由如下:
连接PE ,由F 为PC 中点,G 为EC 中点,知FG//PE,
而FG ⊄平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,
故FG//平面PBD.
PA ⊥面ABCD ,27、简析:(1)由几何体的三视图可知,底面ABCD 是边长为4的正方形,
PA ∥EB ,PA =2EB =4.
PA =AD , F 为PD 中点,∴PD ⊥AF .
又 CD ⊥DA , CD ⊥PA , ∴CD ⊥AF , AF ⊥面PCD 。
(2)取PC 的中点M ,AC 与BD 的交点为N ,∴MN =1PA , MN ∥PA , 2
∴MN =EB , MN ∥EB ,故BEMN 为平行四边形,
∴EM ∥BN ,∴BD ∥面PEC 。
28. 解:(1)连接BD ,BD ∩AC=O,连接OE ,易知OE 是△BPD 的中位线,
∴BP ∥OE ,OE 属于平面ACE ,∴PB ∥平面ACE. ………………4分
(2)俯视图为正方形,即ABCD 是正方形,
∴AC ⊥BD ,∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BD ,
PA ∩AC=A,BD ⊥平面PAC.PC 奂 平面PAC. ∴PC ⊥BD ………8分
(3)易知正方形ABCD 的边长为1,
111⋅⋅1⋅1⋅
1=. 6…………………12分 PA=1,V C-PAB = VP-ABC =32
29、解:(1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:
(2)∵PD ⊥平面ABCD ,PD ⊂平面PDCE
∴平面PDCE ⊥平面ABCD
∵BC ⊥CD ∴BC ⊥平面PDCE ∵S 梯形PDCE =11(PD +EC ) ⋅DC =⨯3⨯2=322 正视图侧视图∴四棱锥B -CEPD 的体积
11V B -CEPD =S 梯形PDCE ⋅BC =⨯3⨯2=233. 俯视图
(3) 证明:∵EC //PD ,PD ⊂平面PDA ,
EC ⊄平面PDA
∴EC//平面PDA ,
同理可得BC//平面PDA
∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC =C
∴平面BEC //平面PDA
又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA
30、解:(1)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1⊥平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以BB 1⊥MN ,连结AC ,因为M 、N 分别为AB 、BC 的中点,所以MN ∥AC ; 又四边形ABCD 是正方形,所以,AC ⊥BD ,所以,MN ⊥BD ,
因为BD BB 1=B ,所以,MN ⊥平面BB 1D 1D ,
又MN ⊂平面B 1MN ,所以,平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D
11P 。证明如下: (2)当点P 在DD 1上移动时,都有MN ∥平面AC
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=CC 1,AA 1∥CC 1,
11, 11C 是平行四边形,所以AC ∥AC 所以,四边形AAC
11, 由(1)只MN ∥AC ,所以,MN ∥AC
11P ,AC 11⊂平面AC 11P ,所以,MN ∥平面AC 11P 。 又 MN ⊄平面AC
(3)复合条件的表面展开图还要五个,如下图,正确画出一个得1分,满分3分。
31、(Ⅰ)证法一:在∆ABC 中,EF 是等腰直角∆ABC 的中位线,
∴EF ⊥AC ,在四棱锥A '-BCEF 中,EF ⊥A 'E ,EF ⊥EC ,
∴EF ⊥平面A 'EC , 又A 'C ⊂平面A 'EC , ∴EF ⊥A 'C
证法二:同证法一EF ⊥EC ∴A 'O ⊥EF ∴EF ⊥平面A 'EC ,
又A 'C ⊂平面A 'EC , ∴EF ⊥A 'C
(Ⅱ)在直角梯形EFBC 中,EC =2, BC =4,
又 A 'O 垂直平分EC ,∴A 'O =∴S ∆FBC =1BC ⋅EC =42 A 'E 2-EO 2=
1143V F -A 'BC =V A '-FBC =S ∆FBC ⋅A 'O =⋅4⋅=333 ∴三棱锥F -A 'BC 的体积为:
32、证明:(I ) AP ⊥D 'E , AP ⊥EF , 又 D 'E , EF 是面D 'EF 内两相交直线
∴AP ⊥平面D 'EF , ∴AP ⊥D 'F
(II ) PD =1, ∴四边形ADPF 是边长为1的正方形,
2
平面D 'AP ⊥平面ABCP,D 'E ⊥AP, ∴D 'E =DE =EF =
∴D 'E ⊥平面ABCP ,
13 S 梯形ABCP =⨯(1+2) ⨯1=, 22
1∴V D '-ABCP =⨯D 'E ⨯S 梯形ABCP =34