相似三角形专题
相似三角形专题复习
【教材解读】
一、相似三角形的定义: 三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法
1如图:若DE∥BC(A型和X型)则________________________ .
2、两个角对应相等的两个三角形__________.
3、两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 4、三边对应成比例的两个三角形___________.
5、射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt
AC2=__________,CD2=_________,BC2. 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________,对应角________. 2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______•线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________. 【例题精讲】 1、(2013乌鲁木齐)如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为 .
2、(2013南充)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为BC边上一点(不
与B,C重合),过点P作∠APE=∠B,PE交CD 于E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若CE=3,求BP的长.
3、如图10所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点, EF⊥DE交BC于点F. (1)求证: ∆ADE∽∆BEF;
(2)设正方形的边长为4, AE=x,BF=y.当x取什么值时, y有最大值?并求出这个最大值. .
A
DB
P
C
5、(江苏通州)如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1),以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2). (1)画出图形;
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′ 的坐标;
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M位似变化的对应点M′ 的坐标.
【巩固练习】 一、选择
1.一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是( ) A.19 B.17 C.24 D.21 2.下列说法不正确的是( )
A.所有的矩形是相似的 B.含30︒直角三角形与含60︒角的直角三角形是相似的 C.所有边数相等的正多边形是相似的 D.所有的等边三角形都是相似的
3.如图1,∆ADE∽∆ABC,若AD=2,BD=4,则∆ADE与∆ABC的相似比是( ) A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2
4.如图2,点P是∆ABC的边AC上一点,连结BP,以下条件中,不能判定
∆ABP∽∆ACB的是( )
ABACBCAC
==A. B. C.∠ABP=∠C D.∠APB=∠ABC APABBPAB
5.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与∆ABC相似的是( )
6.如图3,D、E分别在边AB、AC上,且∠1=∠2=∠B,则图中相似三角形有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
7.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的的矩形彩条,如图,在Rt∆ABC中,
∠C=90︒,AC=30cm,AB=50cm,仿效裁下宽为1cm的矩形纸条a1,a2,a3,……,若使得裁得的矩形纸
条的长都不小于5cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A.24 B.25 C.26 D.27
8.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、H,设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2,则( )
A.3S1 = 2S2 B.2S1 = 3S2 C.2S1 =3S2 D.3S1 = 2S2
9. (江苏苏州)如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于 A.
3344
B. C. D.
5435
二、填空
10.如图,身高为1.7m的小明AB站在河边的一岸,利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度,CD的倒影为C'D,A,E,C'在一条视线上,已知河BD的宽度为12m,BE=3m,则树CD的高为 。
10题
11题
12题
13题
14题
11.如图,在平行四边形ABCD中,AF交DC于E,交BC的延长线于F,∠DAE=20°,∠AED=90°,则∠B= 度;若
EC1
=,AD=4厘米,则CF= 厘米. AB3
12.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB的高度为36cm,那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
13.如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,BF∥DE,如果S∆AGE=6cm,则四边形FDGH的面积为
14.如图,A、B是反比例函数y=
2
2
的图象上的两点.AC、BD都垂直于x轴,垂足分别为C、D.AB的x
延长线交x轴于点E.若C、D的坐标分别为(1,0)、(4,0),则ΔBDE的面积与ΔACE的面积的比值是
三、解答题:
15. (四川南充市)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上. 求证:⊿ABE∽⊿DFE ;
DE
B
C
16、(苏州) 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x. (1)在△ABC中,;
(2)当时,矩形PMCN的周长是14;
(3)是否存在x的值,使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明.
17、(2013•巴中)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,
AF=4,求AE的长.
18、已知:如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高. (1)求证:AC•BC=BE•CD;
(2)若CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.
19、如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动:点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的
时间(0≤t≤6),那么: (1)设△POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式。 (2)当t为何值时, △POQ与△AOB相似?
20(长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y
轴上,OA=cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA
cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒. (1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
1
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点,过线段BP上一动点M
4
作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
第21题图
相似三角形的应用举例
知识点1:测量与计算问题:
例1、如图,某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上,已知此人眼睛距地面1.6米,标杆为3.2米,且BC=1米,CD=5米,求电视塔的高ED。
2、小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度:如图,在地面上放一面镜子(镜子高度忽略不计),他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米,以及他与镜子的距离CE=2.5米,已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米,请你帮助小强计算出教学楼的高度。(根据光的反射定律:反射角等于入射角)
【练习】1、如图,点D、E分别在AC、BC上,如果测得CD=20m,CE=40m,AD=100m,BE=20m,DE=45m,求A、B两地间的距离。
2、如图,零件的外径为16cm,要求它的壁厚x,需要先求出内径AB,现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量,若测得OA:OD=OB:OC=3:1,CD=5cm,你能求零件的壁厚x吗?
知识点2:物高与影长问题:
例3、为了测量路灯(OS)的高度,把一根长1.5米的竹竿(AB)竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子
‘
(BC)长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB),再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 (B‘C‘)为1.8米,求路灯离地面的高度.
S
hA'
练习:1、(四川达州)已知:如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某一时刻,AB在阳光下的投影BC=4 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影,并简述画图步骤;
(2)在测量AB的投影长时,同时测出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.
2、如图,小明站在灯光下,投在地面上的身影AB=1.125m,蹲下来,则身影AC=0.5m,已知小明的身高AD=1.6m,蹲下时的高度等于站立高度的一半,求灯离地面的高度PH.
(第2题)
.知识点3.三角形中截出矩形问题:
例4、如图,一块三角形铁片的一边BC=8cm,AH=6cm,在铁片上画一个内接矩形DEFG,使它的边FG与BC重合,其它两个顶点D和E分别在边AC和AB上,如果设矩形边长EF= x cm, 矩形面积为ycm。 ⑴求y与x的函数关系式; ⑵求自变量x的取值范围; ⑶画出函数的图象;
⑷从图象上观察出矩形的最大面积是多少?
2
BFHC
练习:1、(孝感)锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以
MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0).
(1)△ABC中边BC上高AD= ;
(2)当x= 时,PQ恰好落在边BC上(如图1
); (3)当PQ在△ABC外部时(如图2), 求y关于x的函数关系式
B
P
D Q N D
(第1题图1) (第1题图2)
知识点4.动态中的相似问题:
例5、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间 (0≤ t ≤6),那么:
(1)当t为何值时,三角形QAP为等腰三角形?
DC
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论; (3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
练习:如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线
l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,当点C与点
R重合时正方形ABCD就停止运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm,解答下列问题: (1)求S与t的函数关系式;
(2)当t为何值时,S的值最大?并求S的最大值。
2
【课后作业】:
1、在阳光下,身高1.68m的小强在地面上的影长为2m,在同一时刻,测得学校的旗杆在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为
(精确到0.1m).
2、如图,在河两岸分别有A、B两村,现测得A、B、D在一条直线上,A、C、E在一条直线上,BC//DE,DE=90米,BC=70米,BD=20米。则A、B两村间的距离为 。 3、(06湖州)为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如下图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度约为________米(精确到0.1米)。 4、如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是 S1、S2 ,那么S1、S2的大小关系是( ) (A) S1 > S2 (B) S1 = S2 (C) S1
2题图 3题图 4题图
5、如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE∶EA = 2∶3,EF = 4,则CD的长为 ( )
16
A. B.8 C.10 D.16
3
6、如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠,窗AMC=︒30户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户的下檐到教室地面的距离BG=1米(点M、N、C在同一直线上),则窗户的高AB为 ( ) A.3米 B.3米 C.2米 D.1.5米
7、如图,E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF︰GH= ( )
A.2︰3 B.3︰2 C.4︰9 D.无法确定
5题图 6题图 7题图
B
8、如图,A、B两点间有一湖泊,无法直接测量,已知CA=60米,CD=24米,DE=32米, 第8题图 9、DE//AB,则米。 9、如果
xyz
==,且x+y+z=5,那么x+y-z=234
10.如图,AD∥BC,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,梯形ABCD中,两腰BA与CD的延长线相交于P,则PF=_____. 11.在平面直角坐标系xoy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐标平面中确定点P,使△AOP与△AOB
相似,
则符合条件的点P共有 个
12.如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
Q P
14题图 B
R
A
第10题图
第12题图
E
第13题图
B
13.矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且矩形ABCD与矩形EFCB相似,AB=a,则用含a的代数式表示)
14.如图,正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上,其余两个顶点A、D在PQ、PR上,则PA:PQ等于______。
15、在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB=20米,AD=30米,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD相似?请说明理由。
16、如图,有一路灯杆AB(底部B不能直接到达),在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3m,沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m,如果小明得身高为1.6m,求路灯杆AB的高度。 A
G
17、(郴州)如图10,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF. (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG.
(2) 当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由.
(3)设BE=x,△DEF的面积为 y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
AF
D
M
B
xE
C
图10
相似三角形专题 编讲:姚老师
18、(广东湛江市)如图11所示,已知抛物线y=x-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C. 2
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以
A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,
请说明理由.
11