矩阵奇异值分解在图像隐藏中的应用

矩阵奇异值分解在图像隐藏中的应用

摘 要：基于数字图像的奇异值分解和Arnold置换，提出了一种图像的隐藏方法。在该方法中，置乱用于数字图像隐藏的预处理和后处理，奇异值分解用于将一幅图像隐藏于另一幅图像中。根据提出的数字图像隐藏技术，探讨了在数字水印技术中的应用。实验结果显示，该方法实现方便，水印的提取不需要原图像，并能较好地保障数据的安全性。

一、问题的提出

随着信息技术的迅猛发展，一方面人们对信息隐藏技术研究的逐渐深入，确实取得了可喜的成果；而另一方面人们也清楚的意识到信息攻击者所采用的攻击手段也在不断高明，能否很好地保证我们的信息安全，是一个不得不让我们担忧的问题。信息安全技术经过多年的发展，我们对信息的保护已从密码技术发展到了隐藏技术，在信息隐藏之前，先对秘密信息按照一定的运算规则进行置乱处理，使其失去本身原有的面目，然后再将其隐藏到载体信息里面，这样我们所要传输的信息就更安全了。本文则主要说明的是利用矩阵奇异值分解和图像的置乱技术对数据进行隐藏。

二、基本概念

定义11：设mn矩阵A的秩为r,则必存在一个mm阶正交矩阵Qm和一个nn

T

SQnA，矩阵S为nn阶对角矩阵，则称S的对角元素阶正交矩阵Qn，使Qm

为A的奇异值，Qm、Qn分别称为A的左右奇异向量。奇异值分解(Singular Value

Decomposition,简称SVD）。

矩阵奇异值的有关性质如下：

T

性质12：矩阵A的奇异值是AA的特征值的平方根，即奇异值ii

其中i是ATA的特征值。 性质2：奇异值对扰动具有相对稳定性

mn矩阵A和矩阵B的奇异值分别为12n，若12n，则有iiBA2，设扰动阵为B-A，则奇异值的扰动ii决不会大于B-A的谱半径，指出了奇异值扰动的相对稳定性。 性质3：奇异值对矩阵转置不变性

任何一旋转变换阵都可以分解为两个正交阵的乘积，由于正交阵P左乘A就把A变为PAPAATPTPAATP1，所以PA与A有相同的奇异值。

T

三、利用Arnold置换和数字图像的奇异值分解对图形进行隐藏

1、数字图像置乱的数学性质1

置乱原理：将原来点xi,yi处的像素对应的灰度值或RGB颜色值移动到变换后的点xi1,yi1处，数字图像的置乱有基于位置空间、色彩空间和频率空间的置乱变换。

置乱具有周期性，如果对一个数字图像反复地使用置乱变换，当经过一定周

期的迭代后，会出现复现原图像。我们构造自同构变换如下：

1xixi11ykk1ymodN

ii1

则置乱次数及k可作为隐藏系统的密码，从而提高了系统的安全性和保密性。 2、数字图像的奇异值分解

一幅静态图像，实质上就是一个彩色或灰度像素矩阵，在线性代数中，矩阵的特征值是矩阵特征的体现，而矩阵的奇异值在体现矩阵特征方面，要优于特征值，图像矩阵的奇异值反映了图像的“能量特性”，对应奇异向量则反映了图像的“几何特性”，它对图像的灰度变化具有不敏感性，图像奇异值的细微变化不会引起图像视觉质量的下降，如果对图像矩阵做转置运算，其奇异值不发生变化。

矩阵奇异值具有很好的稳定性，当矩阵A有微小振动时，其奇异值的改变不会大于振动矩阵的2－范数。若矩阵奇异值经过归一化处理，则可实现奇异值的比例不变性。另外，矩阵奇异值还具有旋转不变性，因此，奇异值能有效地反映矩阵的特征，在图像处理中能表现图像的代数特性。矩阵SVD分解在一定程度上可以用来进行图像压缩.对于图像分解得到的奇异值矩阵,将其较小的一些对角元清为0,再进行SVD反变换即可完成图像的有损压缩.

SVD方法的基本原理是将水印嵌入到图像矩阵的奇异值中。在水印的嵌人过

程中对图像矩阵Amn的奇异值分解，得到两个正交矩阵U、V及一个对角阵S。水印WRnn 被叠加到矩阵S上，对新产生的矩阵SW进行奇异值分解，得

T

到U1、S1和V1(SWU1S1V1)，其中常数0调节水印的叠加强度。然后将

矩阵U、S1和VT 相乘，得到处理后的包含水印的图像A 。即如果矩阵A和W 分别表示原始图像矩阵和水印，那么通过以下的四个步骤得到水印图 A：

1) 将图像矩阵A进行奇异值分解





AUSVT

2) 读取水印图像W，将其迭加到对角阵S上得到新矩阵S'

S'SW

3) 将新矩阵S'进行奇异值分解

S'U1S1V1T

4)得到含水印的图像



AUS1VT

3、数据隐藏算法1

数字水印技术实际上就是一种数据隐藏技术，它是把一些附加信息（水印信息）直接嵌入原始数字信息的内容中，我们将上述技术应用于数字水印中，采用了置乱与奇异值分解结合的方法进行数据隐藏于提取，收到了较好的效果。 从水印的提取方法来看，可分为提取时需要原图像和不需要原图像两种，后者被称为盲水印，我们实现的是盲水印处理，处理过程如图1所示：

图1 盲水印基本处理过程

本文算法的具体描述如下： 3.1

水印图像的嵌入

设M为载体图像，W为水印图像

（1）、利用Arnold变换对载体图像M进行置乱变换，得到M' （2）、对M'分为互不相关的大小为44的若干块

（3）、对每一小块进行奇异值分解，得到降序排列的奇异值

SdiagS1,S2,Sr

R为图像矩阵的秩，U、V为对应的左右奇异矩阵，BLOCKUSVT，对S矩阵来说，显然是S1,1S1,S2,2S2….Sr,rSr

( 4 )、求相邻块BLOCK1,BLOCK2的S值的相似系数

（5）、若两块相似，求其S(1,1)最小值，将两相似块S(1,1)置为同样值。 （6）、修改S值，进行微量调整以嵌入水印信息。 （7）、计算嵌入水印后的该两图像块的新S值。 （8）、得到新的图像块，填回图像矩阵M'中。

（9）、重复上述（2）~（8）步，直至该图像所有信息全部嵌入数字图像中。 （10）、对M'做复原逆变换，得到M''为正常显示图像。 3.2 水印的提取过程

水印提取采用了最常用的提取方法，就是运用加入水印逆运算。 （1）对M（加入水印的图像）做置换，得到M'

（2）对含有水印的图像矩阵M'进行44分块，对分块进行奇异值分解

MUSVSiUiViT

'

T

i14

SS1,S2,Sr为分解后的按降序排列的奇异值向量，U、V为正交

的奇异矩阵。

（3）计算相邻矩阵的相似系数。

（4）若两块相似，则按相应规则提取水印。 （5）重复（2）~(4)步，直至取出所有的水印W。

（1）原始图像 （2）置乱图像

（3）原始水印 （4）水印嵌入置乱图像并复原

（5）提取水印前的置乱图像 （6）提取水印

图2 基于置乱变换与奇异值分解的数字水印图像处理

4、图像实验结果

由于奇异值具有相对稳定的特点，水印被叠加在图像的SVD域上，使算法具有较好的稳定性和安全性，嵌入水印的图像保持了较好的品质，算法采用了相邻块存放的策略，使得提取水印无需使用原图像，仿真实验说明了算法是可行的，特别是与置乱技术的结合，更是提高了图像信息在传送处理过程中的安全性，对于静止图像来说，奇异值分解方法与置乱技术结合时一种有效的数据隐藏技术。

四、小结

本文是利用奇异值分解与置乱技术结合对图像进行隐藏，从文中我们可以看到只用奇异值分解也可以对数字进行隐藏，只是深度不如与置乱技术结合隐藏的深，本文用到了奇异值的稳定性与旋转不变性，稳定性中是利用的矩阵的谱半径，即2-范数，正是利用这些性质才使得将要隐藏的信息（水印）嵌入载体后，对于观察者的视觉或听觉系统来讲，察觉不出载体数据的变换，最理想的情况是水印与原始载体在视觉上是一模一样的。

参考文献

[1]董梅，高康林. 矩阵奇异值分解和Arnold置乱技术在图像隐藏中的应用[J].山东大学学报，2005. [2]徐仲，张凯院等. 矩阵论简明教程[M]. 科学出版社,2005:114-118.

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