一元二次方程题型总结

考点一：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 3x12x1 B 21120 2xx22C axbxc0 2 D x2xx1

22练习1.当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。

练习2.方程m2xm则m的值为 。 3mx10是关于x的一元二次方程，

练习3.若方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

考点二：方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；利用根的概念求方程中的待定系数。 例1、已知2yy3的值为2，则4y22y1的值为 。 2

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 。 例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程

必有一根为 。

2例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根， 2

则m的值为 。

练习1.已知方程xkx100的一根是2，则k为 ，另一根是 。 2

练习2.已知a是x3x10的根，则2a6a 。 22

练习3.若2x5y30,则432 。 xy

练习4.方程abxbcxca0的一个根为（ ） 2

A 1 B 1 C bc D a

考点三：解一元二次方程

（1）直接开平方法

12x280; (2)9x1216x220 321x290;

（2）因式分解法

(1)2xx35x3 (2)2x5x20 2

(3)4x134x140 (4)x2x60 2

（3）配方法

(1)4x12x30 (2)x2231x240 2

（4）二元二次方程组

2xy6, (1)22x5xy6y0.

x2y210,xy10, (2) (3)xy24;xy2.

考点四：换元法和降次的应用

例1、若4xy34xy40，则4x+y的值为 。 2

练习1：a2b2a22b260,则a2b2 。 

练习2：若xy2xy30，则x+y的值为 。

练习3：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为 。

2例2、已知x3x1x213x20，求代数式的值。 x1

3 练习1：如果xx10，那么代数式x2x7的值。 22

a32a25a1 练习2： 已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。 a212

考点五：

因式分解的应用

例1、已知x2xyy20，且x0，y0，求2xy的值。 xy

练习： 已知2x3xy2y0,则22xy的值为 。 xy

例2、方程1999x19982000x10的较大根为r，方程 2

2007x22008x10的较小根为s，则s-r的值为 。

配方法的应用

例3、试用配方法说明x2x3的值恒大于0。 2

练习：试用配方法说明10x7x4的值恒小于0。 2

例4、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

例5、已知x2y24x6y130，x、y为实数，求x的值。 y

例6. 方程：x12的解是 。 2x

1112练习：已知x2x40，则x . xxx2

考点六：根的判别式

例1、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1

练习：若关于x的方程x2kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围2

是 。

例2、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

x22y26,例3、m为何值时，方程组

mxy3.

有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

例4、已知关于x的方程xk2x2k0 2

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。 例5、当k取何值时，方程x4mx4x3m2m4k0的根为有理数？ m为有理数，22

考点七：韦达定理

2axbxc0而言，当满足①a0、②0时，

才能用韦达定理。

x1x2bc,x1x2 aa

22 常见对称式变形如下：x1x2(x1x2)22x1x2

(x1x2)2(x1x2)24x1x2

xx211 1

x1x2x1x2

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x8x70的两根，则这个直角三 2

角形的斜边是（ ）

A. B.3 C.6 D.

22例2、已知ab，a2a10，b2b10，求ab

变式：若a2a10，b2b10，则22

2ab的值为 。 ba例3、已知,是方程xx10的两个根，那么43 .

例4、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。

练习1．若方程x23x10的两根为x1，x2，则11=( ) x1x2

29，则k=( ) 4练习2.已知方程2x2kx2k10两个实数根的平方和为

练习3.已知关于x的一元二次方程x26xk10的两个实数根是x1，x2，且

2x12x224，则k的值是（ ）

练习4.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2nx10的两实数根，则式子

值是（ ） x2x1的x1x2

练习5. 已知，是方程x22x50的两个实数根，则22的值为练习6.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k为整数，求k的值。

考点七：应用题

例1.五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

例2.某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

例3.将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

例4..某市为争创全国文明卫生城，2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2010年投入的资金是2420万元，且从2008年到2010年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.

（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012年需投入多少万元？