任意角及其度量

任意角及其度量（3课时）

一、任意角

定义：角是由平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）而形成的图形．

规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角． 例1、

已知：主动轮与被动轮相向旋转，它们的齿数之比是3:5，求当主动轮逆时针方向旋转5周时，被动轮旋转的角度．–1080°

二、直角坐标系中的角 例2、

(1) 观察：390°，330°角，它们的终边都与30°角的终边相同； (2) 终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k个周角的和

30°30°+0×360° (k0) 390°30°+360° (k1) –330°30°–360° (k–1) 1470°30°+4×360° (k4) –1770°=30°5×360° (k–5) (3) 所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合S|k360,kZ．

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

例3、课本第30页的例1．

判别下列各角分别属于哪个象限：(1) –200°； (2) 2000°．

三、角度制与弧度制

定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad．

l||

r

其中l是以角a作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径． 概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

注：弧度是两个长度的比值，在不引起混淆的情形下，可以省略单位“rad”或“弧度”．

角的集合与实数集R之间的对应关系：

任意角的集合

1、把角度换成弧度

实数集R

1



180

0.01745rad

2、把弧度换成角度

1rad

180



57.305718'

例4、

(1) 把67°30’化成弧度；

3

(2) 把rad化成度．

5

解：(1) 6030'60.567.5

333180(rad)，(2) (rad)108．

180455

cr

我们知道，所有的圆都相似，两圆的相似比=11，每个圆的周长与半径之比是常数2π，

c2r2

(rad)



记周角2π rad．

因此平角π rad，直角



rad，进而可得（请学生填第二行） 问：长度等于半径长的弧所对的圆心角_________________________rad．

例5、

找出下列同终边角的最大负角：(1) (1) 

194

； (2) ；(3) ． 123

5

； 12

(2)

14

； (3) 5π． 3

【归纳小结】 1、

2、学习了角的弧度和弧度制的定义，要熟记特殊角的弧度数； 3、角度制与弧度制的互化：180°πrad．

对于角α，设它的角度为n°，它的弧度为θ，则满足公式：

n

． 180

四、扇形的弧长与面积

填课本第32页的表1

l

一般地，如果一个半径为r的圆心角所对的弧长为l，那么比值就是角弧度数的绝对值，

r

即||

l． r

例6、课本第33页的例4．

如图，已知扇形的圆心角的弧度数为α（0

22

11

公式：lr，Sr2，Slr．

22

注：扇形中有关的基本量有四个r,l,,S，只要知道其中的2个量就可求出其它的量．

例7、

一个半径为R的扇形，它的周长是4R．求这个扇形所含弓形的面积． 11

解：SR2R2sin(2)(1sin2)R2

22

例8、《数学教学目标与课堂教学设计》书105页．

如图，弓形ABC所在的半径为1，如果弓形的弧ACB的长为x，弓形的面积为y，试写出y关于x的函数关系式。 解：y

11

xsinx,0x，问：如果x> 呢？ 22

例9、

一绳索绕在半径为40厘米的轮圈上．绳索的下端B处悬挂着物体W（如图）．如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W的位置向上提升100厘米？ 解：

10025

（秒）． 

6224060

例10、

两个齿轮相向旋转，其中大齿轮逆时针旋转．已知：两齿轮的半径大小分别是R、r，大齿轮的角速度是ω．用ω、R、r表示小齿轮的角速度θ． 解：

R

r

．

【归纳小结】

11

扇形的弧长与面积公式：l r，Slrr2；

22

五、角的加、减运算与终边的关系

例11、

(1) 写出终边分别在x轴、y轴正负半轴的角的集合； (2) 写出终边分别在x轴、y轴的角的集合； (3) 写出终边在坐标轴的角的集合．

解：(1) 终边在x轴正半轴的角的集合是{|2k,kZ}，终边在x轴负半轴的角的集合是{|2k,kZ}，终边在y轴正半轴的角的集合是{|2k



2

,kZ}，终边在y轴负半

轴的角的集合是{|2k



2

,kZ}；

(2) 终边在x轴的角的集合是{|k,kZ}，终边在y轴的角的集合是{|k(3) 终边在坐标轴的角的集合是{|

例12、在直角坐标系中画出集合{|

k

,kZ}中角的终边． 36k

,kZ}． 2



2

,kZ}；

例13、写出直角坐标系中终边在直线yx上的角的集合．

六、终边关于x轴、y轴、原点等对称的角

例14、在直角坐标系中

(1) 角 与 的终边关于x轴对称，写出、 满足的关系式； (2) 角 与 的终边关于原点对称，写出、 满足的关系式； (3) 角 与 的终边关于y轴对称，写出、 满足的关系式．

例15、在直角坐标系中

(1) 角 与 的终边关于直线yx对称，写出、 满足的关系式； (2) 角 与 的终边关于直线yx对称，写出、 满足的关系式．

七、象限角、轴线角与区间角

例16、用区间表示终边在下列位置的角的集合．

1）第一象限； 2）第四象限； 3）第二、四象限； 4）第一、四象限．

例17、在直角坐标系中，用阴影表示属于区间(



2

2k,



2k)(2k,2k],kZ的62



角的终边所在的位置．

例18、写出终边落在图1，图2所示范围内的角的集合（不包含画成虚线的边界）． 其中OA是角

2

的终边，OB是角的终边． 34

图1

例19、课本第34页的例6 设α是第三象限的角，试讨论

例20、若角是第一象限角，指出，

图2



是哪个象限的角，并在直角坐标系中用阴影部分表示出来． 2



2

，2，



2

，



3

终边所在的位置．

例21、设圆与x轴正半轴的交点为A，质点M从圆周上点A位置开始，依逆时针方向作匀速圆周运动．已知：质点M一分钟转过的角为θ (0 ≤ θ ≤ 2π)，2分钟后到达第二象限，14分钟后回到原来位置．求角θ ．

弧度制

一、填空题

1．把下列给角化成弧度

(1)5____________________ (3)2230'____________________ 2．把下列给弧度化成角度

6

(1)____________________ 7

(3)1.5____________________

二、选择题

(2)75____________________ (4)54____________________ 4

____________________ 3

(4) 2____________________

(2)

1．在半径为R的圆中,一个扇形的圆心角为 弧度,那么这个扇形面积为

1111A．R B．l C．R2 D．R2

2222

2．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,那么这个扇形的圆心角的大小为

3A．1 B．1 C． D．2

22

三、解答题

( )

( )

1．计算下列三角式的值 12

ctg cos50 tg89 sin25

2．设两个角的差为2,它们的和为2弧度,求这两个角各是多少弧度?

3．圆的半径等于12cm,求这个圆上长25cm的弧所对圆心角的度数(精确到1)

4．直径是20cm的轮子,每秒钟旋转45弧度,那么轮周上一点经过5秒钟所转过的弧长为多少?

52

5．一个扇形OAB的中心角为150,扇形的面积为cm,求弧AB的长和以AB为弦的弓形的面

3

积

6．若扇形的圆心角为60,半径为r ,求扇形的内切圆与扇形的面积之比

7．已知一扇形的周长为m(m>0)．问:扇形的圆心角为多大时,它的面积最大?

任意角（1）

一、选择题

1、角1414属于第几象限 A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

C．640

D．第四象限

D．280

（ ） （ ） （ ）

2、与1000角终边相同的角是 A．800

B．-80

3、下列各角的始边相同，其中有相同的终边的一组角是 A．390 330 650 690 C．1360 280 440 800 4．若角的终边在第四象限，则角A．第二象限

B．670 50 1030 310 D． 20 740 1000 700

（ ）



的终边在 2

B. 第二象限或第一象限 D. 第二象限或第四象限 C．90

C．第三象限角

D．90

（ ） （ ）

C．第二象限或第三象限

5．经过20分钟时，钟的分针所转过的角是 A．120 6．2003是 A．第一象限角

B．120

B．第二象限角

D．第四象限角

（ ）

7．所有与角终边相同的角可表示为2k (kZ)，其中一定是 A．小于2的角 二、填空题

1．在下列角的集合中，找出终边在720~720之间的一切角： （i）Ak36060,k，A中有____________________ （ii）Bk180135,k，B中有____________________ （iii）Ck72030,k，C中有____________________ 2．A2k

B．正角

C．象限角

D．任何角





2

2k,k, B2k2k,k 6332

则AB____________________，三、解答题

AB____________________

1、在下列角的集合中，找出终边在4~4之间的一切角： （i）A2k

3,k

（ii）Bk3

4,k

2、设A和B分别是等腰三角形的顶角和底角，用弧度制表示A和B的范围。

3、若是第二象限的角，试判定下列各角所在象限： （i）

2

（ii）2

(iii)



任意角（2）

一、选择题

1、终边在y轴上的角的集合为

（A．k,k

B．



k

2,k

C．2k





2,k



D．2k





2,k



2、已知角和分别是等腰三角形的顶角和底角，则和满足

（A．2k2,k B．2k2,k C．k2,k

D．2

3、下列各角中，有一个角与其它三个角的终边不重合，这个角是

（A．563

B．517

C．2363

D．19574、设M=第一象限角 N小于90的角,则MN是

（A．第一象限角

B．锐角

C．小于90的角

D．以上都不对

5、已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2

，则扇形的中心角的弧度数为 （A．1弧度

B．4弧度

C．1弧度或4弧度

D．6弧度

）

）

）

）

）

二、填空题

1、在0~360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定是哪个象限的角： a）1245的角与______________的角的终边相同，它是第__________象限角 b）118124'的角与______________的角的终边相同，它是第__________象限角 2、在直角坐标系中，

若角和角的终边互为反向延长线，则角和角的关系是_____________________ 若角和角终边关于x轴对称，则角和角的关系是______________________ 若角和角终边关于y轴对称，则角和角的关系是______________________ 3、与8终边相同的角是____________________，它们是第__________象限角；其中最小的正角是____________________；最大负角是____________________． 三、解答题

1、若是第二象限的角，试判定下列各角所在象限： （i）



2、已知集Akk,k, Bxx12．求AB

4



2





2

（ii） (iii) 



2



3、已知1610

（1）把写成2k,k,[0,2)的形式； （2）求，使与的终边重合且(4,2)