整周未知数的求解方法

整周未知数的求解方法

孙逸伦 09资环 [1**********]

摘要：整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结果。

因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时间。 如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达1-3小时的观测时间。因为在同步观测4颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上至少观测3个历元。但如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的可靠性。

准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重要意义。

关键词：整周未知数 载波相位 静态相对定位法 交换接收天线法 搜索法

0 引言

整周未知数解算方法分类

按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算法。

经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。

快速解算法包括：交换天线法、P 码双频技术、滤波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般为数分钟。

按接收机状态区分：静态法和动态法。前述的快速算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。

1 确定整周未知数的经典静态相对定位法

该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，其数学模型有单差和双差模型。也可采用三差模型，首先消除整周未知数，在观测站坐标确定后，再根据单差和双差模型，求解相应的整周未知数。

在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况：

整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知数取为相近的整数，并作为已知数代入原方程，重新解算其它待定参数。当观测误差和外界误差（或残差）对观测值影响较小时，该方法较有效，一般应用于基线较短的相对定位中。

非整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，求解的整周未知数精度较低(误差影响大于半个波长) ，将其凑成整数，无助于提高解的精度。此时，不考虑整周未知数的整数性质，平差计算所得的整周未知数，不再进行凑整和重新计算。一般用于基线较长相对定位中。

2 交换接收天线法

原理：在观测之前，先在基准站附近5-10m 处选择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互交换天线，并继续观测若干历元；

最后将两天线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而确定整周未知数。

假设在固定站1和天线交换点2的接收机，于历元t1同步观测了卫星j 、k ，在忽略大气折射影响的情况下，可得单差观测方程：

上式中 N j =N 2j (t 0) -N 1j (t 0) ∆ k k k ∆N =N 2(t 0) -N 1(t 0)

当两接收机交换天线后，于历元t2同步观测相同卫星j 、k ，则单差观测方程为：

其中

ρk (t 2) =ρ2k (t 2) -ρ1k (t 2) ∆

j j j ∆ρ(t 2) =ρ2(t 2) -ρ1(t 2) k k k ∆ρ(t 1) =ρ2(t 1) -ρ1(t 1)

j j j ∆ ρ(t 1) =ρ2(t 1) -ρ1(t 1)

上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。

3 确定整周未知数的搜索法

1990年E. Frei 和G . Beutler 提出了一种快速解算整周未知数的方法（fast ambiguity resolution approach——FARA ）。基本思想是：以数理统计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）及其精度信息（方差与协方差和单位权中误差），确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的组合，然后将整周未知数的每一组合作为已知值，重复进行平差计算，其中使估值的验后方差（或方差和）为最小的

一组整周未知数就是所搜索的整周未知数的最佳估值。

现以载波相位观测值双差模型为例：

假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为nj ）进行同步观测，观测历元数为nt ，相应的误差方程组已知为

V =(A ⎡δX 2⎤B ) ⎢⎥+L N ⎣⎦

其中 T X =[δX ]δδY δZ 2222 N =[N 1N 2... N n -1]

相应整周未知数解向量的协因数阵为Q NN ，单位权验后方差估算式： j

其中n 为观测方程数，u 为未知量个数，n-u 为自由度。

则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为 在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信区间为

N -m N t (α/2) ≤N i ≤N i +m N t (α/2) i

i=1,2, …,nj-1

其中t(α/2)为显著水平α和自由度的函数。当α和自由度确定后， t(α/2)值可由t 值分布表中查得。例如：当取α=0.001，n-u=40时， 得t(α/2)=3.55。如果初始平差后得Ni=9.05, i i mNi=0.78, 则Ni 的置信区间为6.28≤ Ni ≤ 11.8。其置信水平为99.9%，在上述区间整数 Ni 的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。

设Ci 为Ni 的可能取值数，由向量N =(N1, N2, …, Nnj-1), 可得整数组合的总数

n -1 C =∏C i =C 1⋅C 2... C n -1 i =1j j

如果观测的卫星数为nj=6, 而每个整周未知数在其置信区间内均有7个可能的整数取值，按上式可能的组合数为75= 16807，对双频接收机则为33614。

将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整周未知数的最后取值。

参考文献：

[1] 邱蕾、花向红等，GPS 短基线整周模糊度的直接解法，武汉大学学报-信息科学版，2009年1月第34卷第1期

[2] 刘立龙、唐诗华、文鸿雁，一种快速求解整周模糊度的方法，遥测遥控，2007年9月第28卷第5期

[3] 孙红星、付建红等，基于多历元递推最小二乘卡尔曼滤波方法的整周模糊度解算，武汉大学学报-信息科学版，2008年7月第33卷第7期