1[静力学]内容讲解

第一章 静力学

【竞赛知识要点】重心 共点力作用下物体的平衡 物体平衡的种类 力矩 刚体的平衡 流体静力学（静止流体中的压强） 【内容讲解】

一. 物体的重心

1. 常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R 的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h 的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。

2. 重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m 的物体划分为质点m 1、m 2、m 3……mn . 设重心坐标为（x 0,y 0，z 0）, 各质点坐标为（x 1,y 1,z 1）,(x2,y 2,z 2)„„(xn ,y n ,z n ). 那么：

mx 0=∑m i x i my 0=∑m i y i mz 0=∑m i z i 【例题】

1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC ，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A 、B 、C 三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A 、B 、C 三点受的支持力各是N A 、N B 、N C ，则三力的大小关系是 .

（2）半径为R 的均匀球体，球心为O 点，今在此球内挖去一半径为0.5R 的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O 点距离为 .

2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD ，CD=2AB，求该梯形的重心位置。

3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC （角C 为直角）上，切去一等腰三角形APB ，如图所示。如果剩余部分的重心恰在P 点，试证明：△APB 的腰长与底边长的比为

4、（1）质量分别为m,2m,3m „„nm 的一系列小球（可视为质点），用长均为L 的细绳相连，并用长也是L 的细绳悬于天花板上，如图所示。求总重心的位置

：4.

5、如图所示，质量均匀分布的三根细杆围成三角形ABC ，试用作图法作出其重心的位置。

6、如图所示，半径为R 圆心角为θ的一段质量均匀分布的圆弧，求其重心位置。

8、求半径为R 的厚薄均匀的半圆形薄板的重心

9、均匀半球体的重心问题

10、均匀圆锥体的重心

7、论证质量均匀分布的三角形板的重心在三条中线的交点上

11、如图所示，有一固定的半径为R 的光滑半球体，将一长度恰好等于

1

R 、质量为m 的均匀链2

条搭在球体上，其一端恰在球体的顶点上，并用水平拉力拉住链条使之静止，求拉力的大小。

12、将半径为R 的均匀薄壁球壳切成两部分，做成高脚杯，如图所示。已知高脚杯的脚高为h ，求高脚杯重心的高度。

二、平衡的种类

平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡

稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，仍能回到原来的平衡位置。

不稳定平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后，不能回到原来的平衡位置。

随遇平衡：处于平衡状态的物体受到扰动而离开平衡位置，当扰动撤销后虽不能回到原来的平衡位置，但仍处于平衡状态。

例1、一根质量为m 的均匀杆，长为L ，其一端可绕固定的水平轴旋转，另一端用劲度系数相同的水平轻弹簧拴住，使其处于竖直位置，如图所示。问弹簧的劲度系数满足什么要求才能使杆处于稳定平衡？

例2、如图所示，浮子由两个半径为Ｒ的球冠相结合而成，其质量为ｍ１，中心厚度为ｈ（ｈ＜２Ｒ）长为Ｌ、质量为ｍ２的均匀细杆从浮子中心垂直插入，下端恰好到达下球冠表面．细杆的铅垂位置显然是一个平衡位置，试分析平衡的稳定性．

例3、一个不倒翁可以看成两部分组成，一部分是半径为r ，底面是球冠的球扇形。球扇形圆锥部分顶角为900，另一部分是一半径为倒翁各部分的质量均匀分布。

（1）如果把不倒翁按倒在水平面上，放手后，不倒翁仍能立起，则重心位置要满足什么要求？ （2）如果把不倒翁放在一个固定的、半径为R 的大球面上，只要不倒翁与大球面的接触面为扇形球面，不倒翁就能处于稳定平衡，则重心位置要满足什么要求？

1

r 的球挖去恰当的一部分套在球扇形上，两球心重合，如图所示。不2

例4、在固定的半径为R 的半球体上面放“不倒翁”玩具，玩具的下面是半径为r 的球面，已知

R =4r ，玩具重心在对成轴上距离最低点为

“不倒翁”的极限倾斜角θ

r 2

处，要使“不倒翁”在固定的球面上稳定平衡，求玩具

=

?

例5、杆AB 的重心为C ，它的A 、B 两端分别支在相互垂直的两光滑斜面上而静止，如图所示。试论证该杆的平衡类型。

例6、质量为m 、长为b 的均匀细棒AB 一端用不可伸长的细绳拴住，细绳绕过光滑的定滑轮P 与劲度系数为k 的轻弹簧相连，如图所示。细棒AB 的A 端是一在定滑轮P 正下方的光滑转轴，AP=a，已知b

例7、罗马教皇卡尔诺为信徒布拉基罗用薄白铁皮制作了一顶高帽子。高帽子是顶角为θ高为h 吗？

例8、截面为正方形的均匀木块浮在水面上，如图所示。为使木块关于水平轴的扰动是稳定平衡，木块的密度应为多大？

=600、

=20cm 的圆锥形。设人头为直径d =15cm 的光滑球，问这顶帽子能保持在布拉基罗的头上

三、一般物体的平衡

【内容】如图所示，一物体在xoy 平面内的F 1、F 2„„F n 各力作用下处于静止状态，根据一般物体的平衡条件可列下列方程：

∑F ∑F

x

=0------------------------------------------------------① =0------------------------------------------------------②

y

以过坐标原点垂直于xoy 平面的直线为转动轴列力矩平衡方程：

∑F

ix

y i -∑F iy x i =0-------------------------------------③

对于垂直于xoy 平面的任意转动轴A ，坐标为(x 0, y 0) ，合力矩为

M A =∑F ix (y i -y 0) -∑F iy (x i -x 0)

=∑F ix y i -∑F iy x i -y 0∑F x +x 0∑F y

=0

由①②③式可得：M A

这说明由①②③式可以导出对于垂直于xoy 平面的任意转动轴的力矩平衡，所以，对于平面力系统的物体平衡，有且只有三个独立的平衡方程，即：平面的轴合力矩为零，M

∑F

x

=0、∑F y =0和对于任意垂直于力所在

=0。也可以列∑F x =0、M 1=0、M 2=0或其他列法，但只能列

出三个独立的平衡方程。若对于三维空间的力平衡，可以列出六个独立的平衡方程。

关于平衡状态方程组可总结如下：

1. 一条直线上力作用下物体的平衡，有且只有一个平衡方程

2. 平面力作用下物体的平衡，有且只有三个独立的平衡方程。这里指的是最多可列出三个独立的平衡

方程，这三个平衡方程分别是：

∑F ∑F

x

=0 ，∑F y =0 M=0.

=0 ，∑F y =0，∑F x =0 ， M x =0, My =0, M z =0

3. 三维空间的力作用下物体的平衡，有且只有六个平衡方程。这里指的是最多可列出六个独立的平衡

方程，这六个平衡方程分别是：

x

【例题讲解】

第一部分：平面力系统问题

例1. 内表面光滑的半球形碗，半径为R ，一根重为G 、长为l

4R 的均匀直棒AB ，B 端搁在碗

里，A 端露出碗外，如图所示，求B 、C 两点对棒的作用力各是多大？

例2. 如图所示，长为L 的杆竖立在水平面上，杆与地面间的动摩擦因数为μ，杆的上端被固定在地面上钢索拉住，它与杆间的夹角为θ，今用水平力作用在杆上，问水平力的作用点距地面高度h 满足什么条件，杆始终不会被拉倒？

例3、人对均匀细杆的一端施力，力的方向始终垂直于杆，要将杆从地板上慢慢的无滑动的抬到竖直位置．试求杆与地板间的最小静摩擦因数．

例4、如图所示。写字台抽屉长a ，宽b ，抽屉两侧与侧壁之间的摩擦因数均为μ，抽屉底面是光滑的，抽屉前方有对称地安装着的两个把手A 与B ，相距h ，要想拉动一个把手将抽屉拉出，问μ应小于什么值？

例5、质量为m 、长为l 的均匀光滑细绳，对称地搭在半径为R 的滑轮上，求绳中的最大张力。

例6、质量为m 、长为l 的均匀杆AB 的下端A 靠在竖直墙上，借助一条轻绳保持倾斜静止状态。绳的一端连在杆上D 点，另一端连在墙上C 点，如图所示。AD

=

l

，绳和杆与墙壁成的夹角分别为α、3

β，求杆与墙壁之间的静摩擦因数满足什么条件?

例7、均匀小木棒放在粗糙球面内，木棒长等于球面半径，木棒与球面间静摩擦因数为μ，求木棒平衡时与水平方向成的最大角。

例8（十一届复赛）、有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面内，如图所示。开始时，木板与墙面的夹角为150，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为r ，在木板外侧加一力F 使其保持平衡。在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦因数分别为μ1

=

1.00、μ2=

=0.577。若极缓慢地减小所加的力F 3

，使夹角慢慢张开，木棍下落。问

夹角张到60时，木棍端面上的箭头指向什么方向？附三角函数表：

第二部分：联接体问题

连接体是指两个相互关联的物体构成的系统。解决连接体问题应注意下列问题：

研究对象的选择：个体和整体；有n 个物体构成的连接体，研究对象的选择次数最多为n 次 例1、三个完全相同的圆柱体垛在一起，如图所示。每个圆柱体的质量均为m ，问上面的圆柱体受到下面圆柱体的支持为多少？已知各圆柱体之间及圆柱体和地面之间的静摩擦因数均相同，则它们之间的静摩擦因数μ最小为多少它们才不会滚散？

例2、 如图AB 、BC 、CD 和DE 为质量相等长度均为2a 的四根均匀细杆. 四杆通过位于B 、C 、D 的光滑铰链相连，并以端点A 和E 置于粗糙水平面上，形成对称弓形，而且在竖直面内保持平衡. 若平面与杆件间静摩擦因数 =0.25，求AE 的最大距离及此时C 距水平面的高度.

例3、有一半径为R 的圆柱体A ，静止在水平面上，并与竖直墙面接触。现有另一质量与A 相同、半径为r 的较细的圆柱体B ，用手扶着圆柱体A 将B 放在A 的上面，并使之与墙面接触，如图所示，然后放手。

已知圆柱体A 与地面间的静摩擦因数为0.20，两圆柱体之间的静摩擦因数为0.30。若放手后两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B 与竖直墙面间的静摩擦因数和圆柱体B 的半径r 的值各应满足什么条件？

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例4、有六个完全相同的刚性长条薄片A i B i (i=1，2，„„6) 其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均可不计，现将六个薄片架在一只水平的碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由上方俯视如图所示，若将一质量为m 的质点放在薄片A 6 B 6上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，求薄片中点所受A 1的压力。

>d ）的两个均匀圆柱体置于粗糙的水平面上，如图所示。大圆柱体

质量为M ，小圆柱体质量为m ，在大圆柱体上绕有一根细绳，在绳端施以水平拉力F ，设所有接触面的静摩擦因数均为μ，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问μ应满足什么条件？为此所施加的水平拉力F =？ 例5、直径分别为D 和d （D

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例6、如图所示，质量相等的两个圆柱体A 、B 放于倾角为θ的粗糙斜面上，已知A 圆柱体的截面圆半径是B 圆柱体的截面圆半径的4倍，两圆柱体与斜面之间的静摩擦因数相等。求系统平衡时两圆柱体之间的静摩擦因数及圆柱体与斜面之间的静摩擦因数应满足什么条件

?

例7、如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为l 1和l 2，它们的下端在C 点相连结并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上。A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为μ1和μ2。已知l 1和l 2的数值，且l 1

图1 图2 图3

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第三部分：“立体结构力”的平衡问题

例1、一表面光滑的圆锥体正立在水平面上，过该圆锥体的轴线作截面得到等腰三角形的顶角为2θ，现将一个由均匀绳索做成的柔软圆环套在圆锥体上静止不动，若已知该圆环的质量为m ，求圆环内的张力。

例2、质量为m 、长为L 的均匀细棒AB ，A 端铰链连接在水平面（x 轴）上，B 端斜靠在竖直墙壁（yoz 面）上，如图所示。∠OAB

OB 与竖直线所成的最大夹角θ=？

（2）OB 与竖直线所成的夹角最大时，墙壁对B 端的支持力

（3）A 端的作用力为多大？

例3、如图所示，三根重为G ，长为l 的相同的均匀铁杆对称的搁在一起，三杆底端在水平面上，三杆的下端点间均相距l ，求：

（1）A 杆顶端所受作用力的大小

（2）若有一重为G 的人坐在A 杆中点处，则A 杆顶端所受作用力的大小又是多少？

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=α，B 端与墙壁间的静摩擦因数为μ，求：（1）AB 保持静止时，

例4、4个半径均为r 的相同的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内，这4个光滑球的球心恰好在同一水平面内，现将一个相同的第5个光滑球放在上述4个球之上，而该系统仍能保持平衡，求碗的半径满足什么条件？

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