中考数学压轴题精选(4)

全国中考数学压轴题精选精析（四）

39. （08山西省卷）（本题答案暂缺）26．（本题14分）如图，已知直线l 1的解析式为y =3x +6，直线l 1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线l 2经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2从点C 向点B 移动。点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（1

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。 （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？

40（08山西太原）29．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x +1与y =-

3

x +3交于点A ，分别交x 轴于4

点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A ，B ，C 的坐标．

（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．

（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边

BE 形？如果存在，直线写出CD

（08山西太原29题解析）29．解：（1）在y =x +1中，当y =0时，x +1=0，

∴x =-1，点B 的坐标为(-1，0) ． ················································································ 1分

在y =-

33

x +3中，当y =0时，-x +3=0，∴x =4，点C 的坐标为（4，0）． ·· 2分 44

8⎧

x =，⎧y =x +1，⎪⎪⎪7

由题意，得⎨解得⎨ 3

15y =-x +3．⎪y =．⎪⎩4⎪7⎩

⎛815⎫

··························································································· 3分 ∴点A 的坐标为 ⎪． ·

⎝77⎭

B D （2）当△C

为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D 的坐标为(x ，y ) ． 图（1）

图（2） ，，0) C (4，0) ，∴BC =5． 由（1），得B (-1

①当BD 1=D 1C 时，过点D 1作D 1M 1⊥x 轴，垂足为点M 1，则BM 1=M 1C =

1

BC ． 2

5533

∴BM 1=，OM 1=-1=，x =．

2222

3315⎛315⎫

∴y =-⨯+3=，点D 1的坐标为 ⎪． ····················································· 4分

428⎝28⎭

2

②当BC =BD 2时，过点D 2作D 2M 2⊥x 轴，垂足为点M 2，则D M +222MB

2

DB =2

2

．

3

M 2B =-x -1，D 2M 2=-x +3，D 2B =5，

4

⎛3⎫

∴(-x -1) 2+ -x +3⎪=52．

⎝4⎭

解，得x 1=-

2

123⎛12⎫24，x 2=4（舍去）．此时，y =-⨯ -⎪+3=． 54⎝5⎭5

⎛1224⎫

····················································································· 6分 ∴点D 2的坐标为 -⎪．·

⎝55⎭

③当CD 3=BC ，或CD 4=BC 时，同理可得D 3(0，，······················· 9分 3) D 4(8，-3) ． ·由此可得点D 的坐标分别为D 1 ⎪，D 2 -

⎛315⎫

⎝28⎭⎛1224⎫

⎪，D 3(0，，3) D 4(8，-3) ． ⎝55⎭

评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

（3）存在．以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．

①当四边形AE 1OD

1为平行四边形时，

BE 1 ··············································· 10分

=

CD 120

②当四边形AD 2E 1O

为平行四边形时，

BE 1 ················································ 11分 =

CD 210

BE 2． ··········································· 12分 =

CD 120

③当四边形AOD 1E

2为平行四边形时，41（08陕西省卷）25、（本题满分12分）

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学。点B 在点M 的北偏西30°的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60°

的处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

图①

图②

（08陕西省卷25题解析）25、解：方案一：由题意可得：MB ⊥OB ， ∴点M 到甲村的最短距离为MB 。…………………（1分）

∵点M 到乙村的最短距离为MD ，

∴将供水站建在点M 处时，管道沿MD 、MB 线路铺设的长度之和最小， 即最小值为

MB+MD=3+（km ）…………………（3分）

方案二：如图①，作点M 关于射线OE 的对称点M′，则MM′＝2ME ，

连接AM′交OE 于点P ，PE ∥AM ，PE ＝

1

AM 。 2

∵AM ＝2BM ＝6，∴PE ＝3 …………………（4分） 在Rt △DME 中， ∵DE ＝DM·sin60°

＝

11＝3，ME ＝DM ＝×=

22

2

∴PE ＝DE ，∴ P点与E 点重合，即AM′过D 点。…………（6分） 在线段CD 上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′， 则P′M＝P′M′。 ∵A P′＋P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D 点处，管道沿DA 、DM 线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD ＋DM ＝AM′

（7分）

东

方案三：作点M 关于射线OF 的对称点M′，作M′N⊥OE 于N 点，交OF 于点G ，

交AM 于点H ，连接GM ，则GM ＝GM′

∴M′N为点M′到OE 的最短距离，即M′N＝GM ＋GN 在Rt △M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6， ∴MH ＝3，∴NE ＝MH ＝3

∵DE ＝3，∴N 、D 两点重合，即M′N过D 点。

在Rt △M′DM中，

DM ＝

M′D＝（10分）

在线段AB 上任取一点G′，过G′作G′N′

连接G′M′，G′M，

显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 GM ＋GD ＝M′D＝ …（11分） 综上，∵3＋

图②

∴供水站建在M 处，所需铺设的管道长度最短。 …………（12分）

42. （08四川成都）（本题答案暂缺）四、（共12分）

28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB sin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为S ∆QMN ，△QNR 的面积S ∆Q NR ，求S ∆QMN ∶S ∆Q NR 的值.

43. （08四川广安）（本题答案暂缺）七、解答题（本大题满分12分） 25．如图10，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）设此抛物线与直线y =x 相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y

轴的直线

x =m 0

求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．

（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？

若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．

44. （08四川乐山）（本题答案暂缺）27. 阅读下列材料：

()

x 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离；即|x |=|x -0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离；

这个结论可以推广为|x 1-x 2|表示在数轴上x 1，x 2对应点之间的距离；

例1 解方程|x |=2，容易看出，在数轴下与原点距离为2点的对应数为±2，即该方程的解为x=±2

例2 解不等式|x -2|>2，如图（16），在数轴上找出|x -2|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为－1、3，则|x -2|>2的解为x3

-1

1

2

3

例3 解方程|x -1|+|x +2|=5。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1 和－2的距离之和为5的点对应的x 的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x

对应点在1的右边或－2的左边，若x 对应点在1的右边，由图（17）可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在－2的左边，可得x ＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3

0 1 2 -2 参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x +3|=4的解为 （2）解不等式|x -3|+|x +4|≥9；

（3）若|x -3|-|x +4|≤a对任意的x 都成立，求a 的取值范围

45（08四川乐山）（本题答案暂缺）28. 在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C ，若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程x 2-(m +2) x +n -1=0的两根:

(1) 求m ，n 的值 (2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`

11+的值CM CN

L`

46. （08四川凉山）25．（9分）如图，在△ABC 中∠ACB =90，D 是AB 的中点，以DC 为直径的

O 交△ABC 的三边，交点分别是G ，F ，E 点．GE ，CD 的交点为M ，且

ME =MD :CO =2:5．

（1）求证：∠GEF =∠A ． （2）求O 的直径CD 的长．

（3）若cos ∠B =0.6，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为X 轴和Y 轴，建立平面直角坐标系，求直线AB 的函数表达式．

（08四川凉山25题解析）25．（9分）

第25题图

（1）连接DF

CD 是圆直径，∴∠CFD =90，即DF ⊥BC

∠ACB =90，∴DF ∥AC ． ························································································· 1分 ∴∠BDF =∠A ．在O 中∠BDF =∠GEF ，∴∠GEF =∠A ． ····························· 2分 （2）D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴DC =DA ，∴∠DCA =∠A ， 又由（1）知∠GEF =∠A ，∴∠DCA =∠GEF ． 又∠OME =∠EMC ，∴△OME 与△EMC 相似 ··························································· 3分 OM ME 2∴= ∴ME =OM ⨯MC ··················································································· 4分

ME MC

又

ME =

，∴OM ⨯MC =2=96

MD :CO =2:5，∴OM :MD =3:2，∴OM :MC =3:8 ········································· 5分 设OM =3x ，MC =8x ，∴3x ⨯8x =96，∴x =2

······································································································ 6分 ∴直径CD =10x =20． ·

（3）Rt △ABC 斜边上中线CD =20，∴AB =40

BC

在Rt △ABC 中cos ∠B =0.6=，∴BC =24，∴AC =32 ································· 7分

AB

设直线AB 的函数表达式为y =kx +b ，

0) ，B (0，24) 根据题意得A (32，

3⎧

⎧0⨯k +b =24⎪k =-

解得⎨∴⎨4

32⨯k +b =0⎩⎪⎩b =24

∴直线AB 的函数解析式为y =-

第25题图 3

x +24（其他方法参照评分） ···································· 9分 4

47. （08四川泸州）（本题答案暂缺）四（本大题 10分）

9．如图11，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过三点A (-1,0)，B (3,0)，C (0,3)，它的顶点为M ，又正比例函数y =kx 的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；

⑵已知点E (2,3)，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围； ⑶当0

【参考公式：已知两点D (x 1, y 1)，E (

⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫

】

48. （08四川内江）（本题答案暂缺）D ，OB =B 横坐标是点B （1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A 横坐标为m ，△ABO 面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

49. （08四川宜宾）24、(本小题满分12分)

已知:如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

⎛b 4ac -b 2⎫

（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 -2a , 4a ⎪⎪）

⎝⎭

2

⎧c =3

（08四川宜宾24题解析）24. 解：（ 1）由已知得：⎨解得

-1-b +c =0⎩

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y =-x 2+2x +3

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以

设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=S ∆ABO +S 梯形BOFD +111

AO ⋅BO +(BO +DF ) ⋅OF +EF ⋅DF 222111

=⨯1⨯3+(3+4) ⨯1+⨯2⨯4 222

=

=9

（3）相似

如图，== =222

所以BD +BE =20, DE =20即： BD +BE =DE , 所以∆BDE 是直角三角形

222

所以∠AOB =∠DBE =90︒,

且所以∆AOB

AO BO , ==BD BE 2∆DBE .

11