试论过圆.椭圆.双曲线上一点的切线方程的统一性

中学数学 研究

得m=

2007 年第 1 期

二

_ 世 由此知 尸 的方程为y = Q 2 ’

一 1 联立， 护 = 得 叔

p2+ 4b2

一 参从 yl+y 而 2=

k 一 ，2 p 2 p2护 一 x 譬且 一 一 一 譬 二 k,y k 譬

山_ _ :_ _ 世 七 .

国 y 一 /G,( . 八

‘

攀， 其 一 (1) 即’一 一呵 一 1， 将 ” 入、 ‘ ”得kin线 … x若 a2端二 双曲 上， 护 一 护护，

切线方程为

、

L2

_ .. , v

，_ _ 一

y 一 一 a2’ - n kx 一 y” 而二元 x01’

b2(x。 一m) (x 一 + a2(y。 ) (y 一 xo) 一n

yo) = 0， 即 (x。 m)(x 一 +(yo- n)(y- yo) 一 一 xo) 0.

a2

b`

由 定理 1 与定理2 知， 心在原点的圆、 过中 椭圆、 线上的一点的 双曲 切线方程具有统一的、 优美的表达式. 如果中 心不在原点， 其切线方程的表达式 又呈何规律呢?

证(2) 由 称性， 仍就y > n 情形讨论即 可.

_ 立v / / :.c _ 了_N _ “ 1 _ ， 一 一，2 _2 ’ 7L 一 k 一 /6

b

x 一 刀正

例1 求 过(x 一 m)2+ (y 一 n)2= 产上一 点M(xo.yo) 的 方 切线 程 y

解 如 k -xo-m 图 y - n, 0

则 k1= 一

x o 一m

y o 一n

一 一

a / (x 一 m)2一 a2

k=y } 一 二二 。

护 一 护

/ _2

b

x o 一m

a 丫 瓦 m)2+a2 不 一

x o 一刀 E

_2 _ }2 _

Z的方程为:

x o一” z

/ _ 2 、 丝~ 1 __ _

yo 一n

(x。 m)(x 一 + (y。 n)(y 一 O =0 ① 一 xo) 一 Y)

这是一个优美的对称表达式， 对于椭圆和 双曲线我们类比猜想 (1) 过椭圆 x - m)2+( r- n) = 1 上 一

一‘ 心 名 L L U

，y 一赘 等 一 )I即 一 o 于 (二xo

习“ ， 护ky 一ft ,

切线方程为

y 一y o

L2 ~ __ 一

“

=失件u一 7L (x 一 ， 一 竺 xo) 即 a - y o

(， 一 )(y 一 = 。n yo)

b2

0.

(x。 m) (x 一 一 xo)

a2

点M(xo.yo) 的 方 为 切线 程 (xo- m丛— 一 甲 — 。 n)(y 一 = 0 ② x xo) . (，一 yo) 一 而

一‘ “ L L 口

(2

(x 一 m)2_ (y早 =1 上 n) 一一 过双 曲线 a 2 b‘

这就证明了 猜想(1) 与(2) ， 得到了中心不 在原点的圆、 椭圆、 线上一点的 双曲 切线方程的 统一表达式. 在①中 二二n 二 得 令 0

一点M(xo,yo) 的 方 切线 程为 (xo- m)(x 一 xo) (y。 n)(y 一 。= 0 ③ 一 ，) a2 b2

证:(1) 由 对称性知， 只就y > n 情形讨论

即可 .

z.2

.xo(x 一 +yo(y 一 =0. xo) yo) xox +yoy =xa十 涛， 即xox +yoy 二 :2

在②中 m = 。 0 得 令 二

(y 一 n)2= 先[a2一 一 (x M)2] ，

口

x(x-x)+ob o一 oa o y(y-y) 。 2 2 ， xx-x+ob o一 oa o y(y-y) 。 2 2 ， x2 y2一十 ax+b x y' o oab y 22 0

即o b ‘ xx+y2一 a2 y o

22

中学数学研究

得 在③中 m = n = 0， 令

X OX 2

2007 年第1 期

它 直线5x - y + 1=0 的 最短， 到 距离 并求此最

短距离.

y oy

a

b2

解:设所求点为P (x0, yo) ， 则过该点的双

b`

即

X擎 + yoy = 1

a`

曲线的切线 XO 万 = 1 应平行于直线5x 一 X一

y oy

这就证明了 过中 心在原点的圆、 椭圆、 双曲 线上一点的切线方程即为中心不在原点的圆、 椭圆、 双曲线上一点的切线方程的 特殊情况. 过圆、 椭圆、 双曲线上一点的 切线方程在中 学数学中有着广泛的应用， 由于其表达式既统

一又对称， 使用十分方便. 必

例2

y+ i = 0. 由kt = 5， = 得yo

方程x2 x0

9 4

万 x 0 钱 n

J

9

,1 、， 。* , ，。 _

, A 圈 双

1， 解之得关

于原点对称的两点

5 4

、 、 产

Pl(备号与2 ， P( )

一 )适 题 早 合 意

峙

由 于5x - y + 1

5 一4 ’

已 椭 x2 知圆

，

4

一 一

1 及直线 l ; x +

= 0 不关于原点对称， 因而仅有 P2(

2y + 18= 0， 在椭圆 上求一点Pl ， 使P1到直线

Z的 距离最小;在椭圆上求一点P2， P2 到直 使

线 Z 的距离最大.

解:设所求点为P (xo,yo) ， 则过此点的椭

+ 1 1 3 ,/ - 6 2 d. . = — 26 了52+ 1

一 e 丁 s

25 }一4

9

4

圆 切 晋 +yo 一应 行 直 二 y 的线 9 4 ‘ 平 于 线 +2 y

_ 2

门 才 ，气 一 丫 于 产 二 J

， ，， 。

+1 一，， 普 8 0 即。 一 5

9

一

I L 、 工0

1 5 ， 丈 9 一1 上求一点， 例3 在双曲线 x2一 一 使

一 5

、 1 2

r }') l 一 二~ ~ 、j

。 ， 9

x 0， / 5一 T 、奋 it i

丫 少

1， 解之

用联系的 观点学习中学数学， 可使分散的 知识得到集中， 孤立的 知识得到统一， 这对于我 们构建知识网络， 有着重要意义.

参考文献

[1]王 平 .直 方 等 一 =1 的 何 义 数 芝 等 线 程 岑 几 意 ，

a 口-

学通报， 2002.11.

三 角 形 一 个 性 质 的发 展 及 完 善

安徽省宁国中学 (242300)

文【 1]给出三角形的一个性质: 命题 1 已知△ABC 及其内 部一点尸， 若

刘 飞

么 So PB r,PA

十 P r,PB+ SA APC=衣 S&A P B

事实上， 容易发现， 两个命题的意思是一样 文【 3]在文【 的 1] 墓础提出了 推广: 定理 1 已知点P 为△ABC 所在平面上

A PA+ A l 2PB+ ,L 3PC= O,A ,A 3都 l 2,A 是大

于0 的实数. 则△PBC, A PAC, A PAB 的面积

之比为A :A 3I 2:A 文【 由物理学上的力矩定理: 如果点 O 2〕

是线段AB 内的任意一点， 那么}OB I