2008川大高等代数及答案
四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、解答下列各题.
1. (7分)设n 是大于1的整数,问:2008是否为无理数?说明理由.
n
证明:令f (x ) =x -2008,2008是f (x ) 的实根
3
验证其有理根,2008=2⋅251
则存在素数p =251,使得p a 0, a 1, a n -1,p 不能整除a n ,p 不能整除a 0 则f (x ) 在有理数域不可约,故2008不是f (x ) 的有理根,即2008为无理数
2.(5分) 设F 是数域,f (x ), g (x ) ∈F [x ]且deg f (x ) =m >1,deg g (x ) =n >1. 利用多项式f (x ), g (x ) 构造一个次数为mn -1的可约多项式. 解:令F (x ) =f (g (x )) ,有F ' (x ) =f ' (g (x )) g ' (x ) 由∂(F (x )) =mn ,有∂(F ' (x )) =mn -1
由∂(f (g (x ))) =mn ≥4,有∂(f ' (g (x ))) =(m -1) n ≥2, 即f ' (g (x )) 在F 上不为零次多项式
由∂(g (x )) =n ≥2,有∂(g ' (x )) ≥1,即g ' (x ) 在F 上不为零次多项式 又在数域F 上有g ' (x ) F ' (x ) ,则F ' (x ) 为所求多项式
3
3. (10分)设x 1, x 2, x 3是多项式f (x ) =x +ax +1的全部根. 求一个三次多项式g (x ) ,使
2
得它的全部根为x 1, x 2, x 3
222
解: g (x ) =k (x -x 1)(x -x 2)(x -x 3) (k ≠0)
[1**********]222
g (x ) =k [x -(x 1+x 2+x 3) x +(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3) x -x 1x 2x 3] 3
由x 1,x 2,x 3是多项式f (x ) =x +ax +1的全部复根
222
有x 1+x 2+x 3=0、x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=a 、x 1x 2x 3=-1
2222
则x 1+x 2+x 3=(x 1+x 2+x 3) -2(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3) =-2a
2222x 12x 2+x 12x 3+x 2x 3=(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3) 2-2x 1x 2x 3(x 1+x 2+x 3) =a 2 22x 12x 2x 3=1
322
有g (x ) =k (x +2ax +a x -1)
二、设M n (F ) 是数域F 上的全体n 阶方阵的集合,A ∈M n (F ) ,f (x ) 是A 的特征多项式. 1(5分)对任意g (x ) ∈F [x ],求齐次线性方程组g (f (A )) X =O 的解. 解:由f (x ) 是A 的特征多项式,有f (A ) =O
n n -1
令g (x ) =a n x +a n -1x + +a 1x +a 0,有g (f (A )) =g (O ) =a 0E
则原方程为a 0EX =O
当a 0=0,X 为M n (F ) 中的任意矩阵; 当a 0≠0,X =O
2(10分)证明: U ={h (A ) h (x ) ∈F [x ]}是M n (F ) 的子空间. 进一步,f (x ) 在F 上不可约,求dim F U 和U 的一个基.
m m -1
证明:令h (A ) =b m A +b m -1A + +b 1A +b 0E
取h (A 1), h (A 2), h (A 3) ∈U ,k , l ∈F
m m -1
k [h (A 1) +h (A 2)]=kb m (A 1m +A 2) +kb m -1(A 1m -1+A 2) + +kb 1(A 1+A 2) +kb 0(E +E )
=kh (A 2) +kh (A 1)
(k +l ) h (A 1) =kb m A 1m +kb m -1A 1m -1+ +kb 1A 1+kb 0E
m m -1
+lb m A 1+lb m -1A 1+ +lb 1A 1+lb 0E =kh (A 1) +lh (A 1)
又O ∈U ,故U 是M n (F ) 的子空间
n n -1
令f (x ) =x +a n -1x + +a 1x +a 0
n -1n -2
假设a 0=0, f (x ) =x (x +a n -1x + +a 1x ) =0
f (x ) 在F 上可约,与题设矛盾. 故假设不成立,则a 0≠0
n n -1
由根据题意有f (A ) =A +a n -1A + +a 1A +a 0E =O
a 1a 11n -1a n -1n -21n a n -1n -1
A - -E ) =-A -A - -A 有E =A (-A -
a 0a 0a 0a 0a 0a 0a 11a n -1
, , -)' ,有E =(A n , A n -1, , A ) α0 令n 维列向量α0=(-, -
a 0a 0a 0
n n -1n n -1n n -1
由A =A (A , A , , A ) α2=(A , A , , A )(A α0) =(A , A , , A ) α1 22n n -1n n -12n n -1
A =A (A , A , , A ) α2=(A , A , , A )(A α0) =(A , A , , A ) α2
k k n n -1n n -1k n n -1
A =A (A , A , , A ) α2=(A , A , , A )(A α0) =(A , A , , A ) αk n n -1
则A 的任何次方都可由A , A , , A 线性表出 n n -1
则有h (A ) 可由A , A , , A 线性表出
由A 在F 上可逆,且A 唯一
-1
A -1=(A n , A n -1, , A )(A -1α0) =(A n , A n -1, , A ) β
n n -1-1
则β是非齐次方程(A , A , , A ) X =A 的唯一解, n n -1n n -1-1
有r (A , A , , A ) =r (A , A , , A , A ) =n
n n -1n n -1
则A , A , , A 线性无关, 又U 的任何元素可由A , A , , A 线性表出 n n -1
则dim F U =n ,A , A , , A 为U 的一组基.
⎡2-22⎤⎢-2-14⎥A =3(10分)设⎢⎥,对任意q (x ) ∈F [x ],求行列式det q (A ) ⎢4-1⎥⎣2⎦
λ-2
解: λE -A =
2-2
-4=(λ-3) 2(λ+6) ,A 的特征值为3,3,-6
λ+2-2
λ+1
-4
A 为实对称矩阵,则A 可对角化,存在可逆矩阵P ,P -1AP =Λ=diag (3, 3, -6)
n n -1
令q (x ) =a n x +a n -1x + +a 1x +a 0
-1n n -1-1
有det q (A ) =det q (P ΛP ) =P a n Λ+a n -1Λ+ +a 1Λ+a 0E P =det q (Λ)
q (3) =
q (3)
q (-6)
三、设M n (F ) 是数域F 上的全体n 阶方阵的集合,A ∈M n (F ) . 定义映射T:
=q 2(3) q (-6)
M n (F ) M n (F ) 为:X AX ,任意X ∈M n (F ) .
1(5分)证明:T是M n (F ) 上的线性变换.
2(10分)证明:a 是A 的一个特征值当且仅当a 也是T的一个特征值.
3(10分)设a 作为A 的特征值的几何重数为m ,求a 作为T的特征值的几何重数. (注:特征值的几何重数就是特征值的特征子空间的维数). 1. 证明:取X 1, X 2∈M n (F ) 、k ∈F
T(kX 1) =A (kX 1) =kAX 1=k T(X 1)
T(X 1+X 2) =A (X 1+X 2) =AX 1+AX 2=T(X 1) +T(X 2)
故T是M n (F ) 上的线性变换 2. 证明: 必要性:
由AX =aX , 有T(X ) =aX ,则a 是T的一个特征值 充分性:
由T(X ) =aX ,有AX =aX ,故a 是A 的一个特征值
3. 解:取M n (F ) 的一组基E 11, E 12, , E 1n , E 21, , E nn ,T在这组基下对应的矩阵为B 由T(E 11, E 12, , E 1n , E 21, , E nn ) =(E 11, E 12, , E 1n , E 21, , E nn ) B 有T(E ij ) =AE ij (i , j =1, 2, , n )
⎡a 11⎢a A =⎢21令⎢
⎢⎣a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎤ a 2n ⎥⎥
⎥ ⎥
a nn ⎦
⎡a 11⎢ ⎢⎢a 11⎢⎢a 21⎢ ⎢
a 21⎢
B =⎢
⎢则
⎢⎢⎢⎢a n 1⎢
⎢⎢a n 1⎣
a 12
a 12
a 22
a 22 a n 2
a n 2
a 1n
a 2n
a nn
⎤
⎥ ⎥a 1n ⎥⎥⎥⎥
⎥a 2n ⎥⎥⎥ ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
a nn ⎥⎦n 2⨯n 2
由a 作为A 的特征值的几何重数为m
有齐次线性方程(aE n -A ) x =θ的基础解系由m 个线性无关向量构成 则齐次线性方程(aE n 2-B ) x =θ的基础解系由mn 个线性无关向量构成 故a 作为T的特征值的几何重数为mn
k
四、数域F 上的一个方阵X 称为幂零的,如果存在正整数k 使得X =O
1. (5分)设A ,B 为可交换的n 阶幂零方阵. 证明:A +B 也是幂零的. 举例说明,存在
n 阶幂零矩阵A ,B 使得A +B 不是幂零的.
2. (5分)设A ,B 为n 阶方阵且AB 是幂零的. 证明:BA 也是幂零的. 举例说明,存在n 阶幂零矩阵A ,B 使得AB 不是是幂零的. 3. (5分)设数域F 上的n 阶方阵A 满足A
n -1
≠O ,但A n =O . 证明:不存在数域F 上的
n 阶方阵B ,使得B 2=A .
4. (5分)设A 为实对称矩阵. 证明:A 是幂零的当且仅当A =O
l k
1. 证明:A ,B 为幂零方阵,有A =O 、B =O (k ,l 为正整数)
kl kl kl kl -1kl -11kl -10kl
由A ,B 可交换,有(A +B ) =C kl A +C kl A B + +C kl AB +C kl B kl
故有(A +B ) =O 、则A +B 也是幂零的
⎡0⎤⎡01⎤⎢10⎥⎢0 ⎥⎢⎥B =⎢⎥A =取n 阶幂零矩阵⎢ ⎥,⎢ 1⎥ ⎢⎥⎢⎥
100⎣⎦⎣⎦
⎡01⎤
⎢10 ⎥⎢⎥A +B =有⎢ 1⎥,由A +B ≠0,则A +B 的特征值不可能全为零 ⎢⎥
10⎣⎦
则A +B 不是幂零的,故A +B 为所求矩阵
k
2. 证明:AB 是幂零矩阵,有(AB ) =O , k k +1
有B (AB ) A =(BA ) =O ,故BA 也是幂零的.
⎡0⎤⎡01⎤⎢10⎥⎢0 ⎥⎢⎥B =⎢⎥A =A ,B 为的n 阶幂零矩阵,取⎢ ⎥,⎢ 1⎥ ⎢⎥⎢⎥
100⎣⎦⎣⎦⎡0⎤
⎢1⎥⎢⎥k AB =(AB ) =O ,则AB 不是是幂零的 k 有,不存在正整数使得⎢ ⎥⎢⎥
1⎣⎦
AB 为所求矩阵
3. 证明:反证法,假设B 存在 由A 将A
n -1
≠O ,A n =O ,得A 为幂零矩阵
-1n -1
化为若尔当型,有T A T =J
n -1
-1n -1-12n -2-1n -12
有T A T =T B T =(T B T ) =J ,
由A
n -1
⎡01⎤
≠O ,则J 中一定有一个2阶若尔当子块J 2=⎢⎥ 00⎣⎦
c 2⎤
2
J 2=C 2,使得、 ⎥c 4⎦
⎡c 1
令C 2=⎢c
⎣3
2⎡c c 2(c 1+c 4) ⎤⎡01⎤21+c 2c 3
C 2=⎢=⎢⎥ 2⎥00⎦⎣c 3(c 1+c 4) c 2c 3+c 4⎦⎣
⎧c 2(c 1+c 4) =1由⎨,得c 3=0,则c 1=0、c 4=0,有c 1+c 4=0矛盾 ⎩c 3(c 1+c 4) =0
则J 2不能分解,则J 不能分解,故B 不存在
4. 证明:充分性:
由A =O ,则存在正整数1,使得A =O ,故A 是幂零的 必要性:
由A 是幂零的,有A 的特征值全部为零 由A 为实对称矩阵,则A 可对角化
-1
即存在可逆矩阵P ,使得P AP =O -1
故A =POP =O
五、解答下列各题.
1. (5分)证明:n 阶实对称矩阵的特征值一定是实数.
-1
2. (15分)证明如下的定理:对任意n 阶实对称矩阵A ,都存在正交矩阵T 使得T AT 为
对角阵. 对任意n 阶实对称矩阵A ,如何求上述正交阵T ? 3. (5分)举例说明,复对称矩阵不一定能相似于一个对角阵. 1. 证明:取λ∈C ,α∈C
n
α' A α=α' (λα) =λα' α(α为A 的非零特征向量)
' A α=' A =' A ' =(A )' =' ='
有λα' α=λα' α,即λ=λ,故n 阶实对称矩阵的特征值一定是实数
2. 证明:由n 阶实对称矩阵可对角化,则实对称矩阵对应n 个线性无关特征向量 又实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
-1
则存在可逆矩阵P ,使得P AP =Λ,P 的行(列)向量两两正交 -1
把P 的行(列)向量,单位化后,得到正交矩阵T ,使得T AT 为对角阵
求法:1. 由λE -A =0,求出A 的特征值λ1, λ2, , λn
2.由方程(λi E -A ) x =θ,求出对应的特征向量αi (i =1, 2, , n )
αi
3.α1, α2, , αn 已两两正交,则只需由γi =单位化
i
4.取T =(γ1, γ2, , γn ) ,则T 为所求
⎡0i 0⎤⎢i 20⎥A =3. 解:取⎢⎥,A ∈M 3(C ) ⎢⎣001⎥⎦
λ
-i 01
0=(λ-1) 3
λ--i 0
1-i 0
00
0 0
有λE -A =-i λ-2
λ=1时,E -A =-i -10=0
0000
则基础解系由3-r (E -A ) =2个线性无关的向量构成,故A 不能对角化
六、设A 为n 阶正定矩阵.
1. (5分)证明:对任意整数k ,A 也是正定矩阵.
2. (5分)证明:存在R 上的一个内积(,) ,使得(,) 在R 的某个基下的度量矩阵是A . 3. (10分)对于任意n ⨯m 型的实矩阵B ,证明:r (B ) =r (B ' AB ) 1. 证明:A 为正定矩阵,有x ' Ax >0 (x 为非零列向量)
k k -1k k -1k k
有(x ' Ax ) =(x ' x ) x ' A x >0,由(x ' x ) >0,有x ' A x >0,则A 为正定矩阵
n
n
k
n
2. 证明:取R 的一个基γ1, γ2, , γn ,令A =[(γi , γj )]n ⨯n (i , j =1, 2, , n )
则A 为γ1, γ2, , γn 下的度量矩阵 对于任意非零列向量α, β∈R
有α=x 1γ1+x 2γ2+ +x n γn 、β=y 1γ1+y 2γ2+ +y n γn 令x =(x 1, x 2, , x n )' 、y =(y 1, y 2, , y n )' 有α=(γ1, γ2, , γn ) x ,β=(γ1, γ2, , γn ) y 有(α, β) =x ' (γ1, γ2, , γn )' (γ1, γ2, , γn ) y =x ' Ay
故存在R 上的一个内积(,) ,使得(,) 在R 的某个基下的度量矩阵是A
3. 证明:由A 是n 阶正定矩阵,则存在n 阶可逆矩阵C ,使得A =C ' C
n
n
n
r (B ' AB ) =r (B ' C ' CB ) =r [(CB )' CB ]=r (CB ) =r (B )
关于r (A ) =r (A ' A ) 的证明
取齐次方程①Ax =θ、②A ' Ax =θ 方程①的解是②的解
由A ' Ax =θ,得x ' A ' Ax =(Ax )' Ax =θ,则方程②的解是①的解 故①、②为同解方程,有r (A ) =r (A ' A )