柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导

柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导

[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。

[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分

[中图分类号]：O13[文献标识码]：A [文章编号]:1672-1452(2015)**-****-04

1 引 言

在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。在电动力学课本[3]中, 这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。

本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。

2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导

2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导

首先，直角坐标系的分量(x , y , z )与柱坐标系的分量(ρ, ϕ, z )有如下的转换关系：

ρ2=x 2+y 2

ρcos ϕ=x

（1） （2） （3） （4）

ρsin ϕ=y z =z

（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得

∂ρx

==cos ϕ ∂x ρ∂ρy

==sin ϕ ∂y ρ

（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得

（5）

（6）

∂ρ∂ϕcos ϕ-ρsin ϕ=1 ∂x ∂x

（7）

∂ϕsin ϕ=-∂x ρ ∂ϕcos ϕ=∂y ρ

同理可知，

（8）

假设所研究的函数为f =f (x , y , z ) 由于z 关于x ，y 是独立的变量，故

∂f ∂f ∂ρ∂f ∂ϕ∂f ∂f sin ϕ=+=cos ϕ-∂x ∂ρ∂x ∂ϕ∂x ∂ρ∂ϕρ ∂f ∂f ∂ρ∂f ∂ϕ∂f ∂f cos ϕ=+=sin ϕ+∂y ∂ρ∂y ∂ϕ∂y ∂ρ∂ϕρ

（9）

同理

（10）

利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导

∂2f ∂ρ∂⎛∂f ⎫∂ϕ∂⎛∂f ⎫

= ⎪+ ⎪2

∂x ∂ρ⎝∂x ⎭∂x ∂ϕ⎝∂x ⎭∂x

⎛∂2f ∂2f sin ϕ∂f sin ϕ⎫

= ∂ρ2cos ϕ-∂ρ∂ϕρ+∂ϕρ2⎪⎪cos ϕ⎝⎭⎛∂f ∂2f ∂2f sin ϕ∂f cos ϕ⎫⎛sin ϕ⎫+ -ρ⎪⎪ -∂ρsin ϕ+∂ρ∂ϕcos ϕ-∂ϕ2ρ-∂ϕρ⎪⎪

⎭⎝⎭⎝

∂2f ∂2f 2sin ϕcos ϕ∂2f sin 2ϕ∂f sin 2ϕ∂f 2sin ϕcos ϕ2

=cos ϕ-+++

∂ρ∂ϕρ∂ρρ∂ϕ∂ρ2∂ϕ2ρ2ρ2

cos ϕ换为sin ϕ，类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。计算过程与上面相同，将x 换为y ，sin ϕ

换为-cos ϕ即可。于是

（11）

∂2f ∂2f ∂2f 2sin ϕcos ϕ∂2f cos 2ϕ∂f cos 2ϕ∂f 2sin ϕcos ϕ2

（12） =sin ϕ++2+-

∂ρ∂ϕρ∂ρρ∂ϕ∂y 2∂ρ2∂ϕρ2ρ2

结合（11）（12）式，合并同类项后可以得到（13）式

∂2f ∂2f ∂2f ∂2f 1∂f 1

+2=2+22+2

∂ρρ∂x ∂y ∂ρ∂ϕρ

最后，拉普拉斯算子的柱坐标可表示如下

（13）

∂2f ∂2f 1∂f 1∂2f

∇f =2+22++2

∂ρρ∂z ∂ρ∂ϕρ

2

（14-a ）

或者

1∂⎛∂f ⎫∂2f 1∂2f

∇f =ρ⎪+22+2 ⎪ρ∂ρ⎝∂ρ⎭∂ϕρ∂z

2

（14-b ）

2.2 球坐标系下的拉普拉斯算子的推导

上述柱坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导方法较为常用，运算量不大，也是大多数理工类本

科生可以独立完成的。采用多元复合函数微商法则进行证明的现有文献中，推导路径是从直角坐标公式分别推导出柱坐标和球坐标系下的算符表达式。但是从直角坐标系出发推导球坐标系下的拉普拉斯算符表达式较为繁琐，运算量过大，不利于学生理解整个证明过程，许多同学难以完成。本文

(x , y , z )与(ρ, ϕ, z )的关系式（1）采取从（14）式出发，利用(z , ρ, ϕ)与(r , θ, ϕ)的关系式和 （2）（3）

（4）间的相似性，给出利用柱坐标系下的拉普拉斯算符的表达式导出球坐标系下拉普拉斯算符表达

式的方法。此法亦适用于旋度、梯度、散度算符在球坐标系下表达式的推导。

球坐标系下的变量和柱坐标系下的变量间的关系如下：

r 2=z 2+ρ2

（15） （16） （17） （18）

ρcos θ=z ρsin θ=ρ

ϕ=ϕ

对比（14）（15）（16）（17）式与（1）（2）（3）（4）式，可以发现球坐标系和柱坐标系的变量关系与柱坐标系和直角坐标系的变量关系相同。于是在利用（13）式推导球坐标系的拉普拉斯算符表达式时，可以将上一节的推导过程中得到的公式套用过来。将（10）（13）式中的x , y , z , ρ, ϕ分

, r , θ可得， 别换为z , ρ, ϕ

∂f ∂f ∂f cos θ

=sin θ+ ∂ρ∂r ∂θr

（19）

∂2f ∂2f ∂2f ∂2f 1∂f 1

+2=2+22+2

∂r r ∂z ∂ρ∂r ∂θr

将（19）（20）式代入（14-a ）式，并注意到ρ=r sin θ，有

（20）

⎛∂2f ∂2f ⎫∂2f 1∂f 1

⎪∇f = +++ ∂ρ2∂z 2⎪∂ϕ2ρ2∂ρρ

⎝⎭

⎛∂2f ∂2f 1∂f 1⎫∂2f 11

⎪= ++++ ∂r 2∂θ2r 2∂r r ⎪∂ϕ2r 2sin 2θr sin θ

⎝⎭

2

∂f cos θ⎫⎛∂f

sin θ+ ⎪

∂θr ⎭⎝∂r

∂2f ∂f 2∂2f 1∂f cos θ∂2f 1

=2++++

∂r r ∂θ2r 2∂θr 2sin θ∂ϕ2r 2sin 2θ∂r

最后整理得，

1∂⎛2∂f ⎫1∂⎛∂f ⎫∂2f 1

∇f =2 r +sin θ+⎪ ⎪2222

∂θ⎭∂ϕr sin θr ∂r ⎝∂r ⎭r sin θ∂θ⎝

2

（21）

（21）式即为球坐标系下的拉普拉斯算子。

3 结 论

本文利用多元微积分，从直角坐标系出发导出柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式，利用球坐标系变量与柱坐标系变量的关系式与柱坐标系变量与直角坐标系变量的关系式相同的特点，从柱坐标系的算符表达式出发导出球坐标系下的算符表达式，证明简洁易懂。此外，此法在证明梯度、旋度、散度算符的柱坐标和球坐标的表达式时同样能简化计算，适合理工类本科生学习和掌握。

[参考文献]

[1] Beiser, A. Concepts of modern physics[M].New York: McGraw-Hill Education,2003. [2]潘金生，田民波，仝健民. 材料科学基础[M].北京：清华大学出版社，2011. [3]郭硕鸿，电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]江俊勤. 柱面坐标系和球面坐标系中的拉普拉斯算符[J].广东教育学院学报, 2003，2：32-34. [5]姚久民，石凤良. 球坐标系中拉普拉斯算符表达式的推导[J].唐山师范学院学报,2005，5：67-71.

A Concise Derivation of the Expressionsof Laplacian Operator in

Cylindrical and Spherical Coordinate Systems

Zhang Jinyu

School of Material Science and Engineering, Tsinghua University，Beijing100084, China;

Abstract:In this paper, the expressions of Laplacian operator in cylindrical and spherical coordinate systemare derived by using the knowledge of multivariable calculus. The relationship between variables in spherical coordinate system and those in spherical coordinate system is similar to that between variables in cylindrical coordinate system and those in Cartesian coordinate, which simplifies the derivation greatly. It is proposed that this method can alsopredigest the derivation of the expressions ofthe curl, gradient, divergence operator in the two curvilinear coordinate systems mentioned above. In sum, this method is suitable for undergraduates of engineering to grasp. It is suggested that this method could be involved in the relative textbooks and teaching processes.

Key words:Laplacian operator; spherical coordinate system; cylindricalcoordinate system; multivariable calculus