双曲线性质小结

双曲线

PFx2y2

1.PF1−PF2=1 3.1e>1 2a 2.标准方程2−2=

d1ab

4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.

x2y2

9．双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(−a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2

ab

x2y2

交点的轨迹方程是2+2=1.

ab

xxyyx2y2

10．若P0(x0,y0)在双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02−02=1.

ababx2y2

11．若P0(x0,y0)在双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直

ab

xxyy

线方程是02−02=1.

ab

x2y2b2

12．AB是双曲线2−2=. 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则kOM⋅kAB2

aab

x0xy0yx02y02x2y2

13．若P0(x0,y0)在双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2−2=2−2.

ababab

x2y2x0xy0yx2y2

14．若P0(x0,y0)在双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2−2=2−2.

ababab

x2y21111

15．若PQ是双曲线2−2=1（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则2+2=2−2(r1=|OP|,r2=|OQ|).

abr1r2abx2y2

16．若双曲线2−2=1（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)

ab1122

−=A+

B;(2) L=

a2b2a2+b2

, C2：17．给定双曲线C1：bx−ay(22ab)2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),bx−ay=ab（a＞b＞0）

a−b

a2+b2a2+b2

它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(2x,−22y0). 20

a−ba−b

'''

(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P'点.

2

2

2

2

22

2

2

2

2

x2y2

18．设P(x0,y0)为双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2斜率存在，记为k1, k 2, 则

ab

1+mb2

直线P1P2通过定点M(mx0,−my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k=⋅2. 2

1−ma

x2y2

19．过双曲线2−2=1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC

abb2x0

有定向且kBC=−2（常数）.

ay0x2y2

20．双曲线2−2=1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点

ab

b2γγ2

±cot . 角形的面积为S∆F1PF2=

bcot，P(c22

x2y2

21．若P为双曲线2−2=β，1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ∠PF1F2=α, ∠PF2F1=

ab

c−ac−aαββα

则=tancot（或=tancot）.

2222c+ac+ax2y2

22．双曲线2−2=1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：F1(−c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF==1|ex0+a,|MF2|ex0−a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=−ex0+a. −ex0−a,|MF2|=x2y2

23．若双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜

+1时，可在双曲线上求

ab

一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.

x2y2

24．P为双曲线2−2=（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|−2a≤|PA|+|PF1|,1

ab

当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.

x2y2

25．双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：=yk(x−x0)对称的充要条件是

ab

(a2+b2)2a2

x0>222k≠0且k≠±.

a−bkb

26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P是双曲线

x=asecϕ1

（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=. 2

1−tanϕy=btanϕ

x2y2x2y2

29．设A,B为双曲线2−2=k（a＞0,b＞0，k>0,k≠1）上两点，其直线AB与双曲线2−2=1相交于P,Q,则

abab

AP=BQ.

x2y2

30．在双曲线2−2=1中，定长为2m（m>0）的弦中点轨迹方程为

ab

x2y22ay222

−,x=0时t=0，弦两端点在两支上1−2−2(acosht+bsinht),cothtabbx

m2=

22

y2bxx222

atbt，t−−1sinh+coshcoth−,y=0时t=0，弦两端点在同支上)a2b2(ay

x2y2

的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)31．设S为双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）

ab

a2l222c是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=+(x0)min=(c=a+b,e=);当l

S时，有

c2eax2y2

32．双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2−B2b2≤C2.

ab

(x−x0)2(y−y0)2

33．双曲线−=1（a＞0,b＞0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是

a2b2

A2a2−B2b2≤(Ax0+By0+C)2.

x2y2

34．设双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记

ab

csinα

∠F1PF2=α, ∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有e.

±(sinγ−sinβ)ax2y2

35．经过双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则

ab

|Pb2. 1A1|⋅|P2A2|=

1111x2y2

36．已知双曲线2−2=（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ（.1;+12222

|OP||OQ|abab4a2b2a2b2

;（3）S∆OPQ的最小值是2. （2）|OP|222

b−ab−a

x2y2

37．MN是经过双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的

ab

弦，则|AB|2=2a|MN|.

2+|OQ|2的最小值为

x2y2

38．MN是经过双曲线2−2=1（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥MN，则

ab

2111

. −222

a|MN||OP|bax2y2

39．设双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相

ab

a2

交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线l：x=上.

m

40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x2y2''

42．设双曲线方程2−2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=kx上,而且kk=2.

aab

x2y2

43．设A、B、C、D为双曲线2−2=1（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD

ab

|PA|⋅|PB|b2cos2β−a2sin2β

. 相交于P,且P不在双曲线上,则=

|PC|⋅|PD|b2cos2α−a2sin2αx2y2

44．已知双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，∠F1PF2的内（外）角平分线为l，作

ab

222

ay−bx(x±c)). 22222

F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是x+y=a(cy=2

a2y2−b2(x±c)

45．设△ABC三顶点分别在双曲线Γ上，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线Γ相切的充要条件是D为EF的中点.

x2y2

46．过双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于

ab|PF|eP，则=.

|MN|2

2

b2x1x2y2

47．设A（x1 ,y1）是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2的直线L，又设d是原点到直线

abay1

L的距离, r1,r2分别是A

=ab.

x2y2x2y2

，一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，48．已知双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）和2−2=λ（0

abab

则│AB│=|CD│.

x2y2

49．已知双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则

ab

a2+b2a2+b2

或x0≤−. x0≥aa

x2y2

50．设P点是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则

ab

2b2θ2

(1)|PF1||PF2|=.(2) S∆PF1F2=bcot.

1−cosθ2

51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分

a2(n−m)a−m

别交相应于过B点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=. 90⇔−2

a+mb(n+a)2

x2y2

（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点P∈L，52．L是经过双曲线2−2=1

ab

11

若∠APB=α，则α是锐角且sinα≤或α≤arcsin（当且仅当|PF|=b时取等号）.

ee

x2y2

53．L是经过双曲线2−2=（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点P∈L，1

ab

11ab

H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤或α≤arcsin|PA|=e是离心率，∠EPF=α，

eec

时取等号）.

2

x2y2

54．L是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的

ab

11

交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤2或α≤arcsin2（当

且仅当

ee

|PF1|时取等号）. =

x2y2

55．已知双曲线2−2=，直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左1（a＞0,b＞0）

ab

(2a2+b2)2

焦点F1连结起来，则|F1A|⋅|F1B|≥（当且仅当AB⊥x轴时取等号）. 2

a

x2y2

56．设A、B是双曲线2−2=（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，1∠PAB=α, ∠PBA=β,∠BPA=γ，

ab

2a2b22ab2|cosα|2

.(2) tanαtanβ=1−e.(3) S∆PAB=2c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2cotγ.

b+a2|a−c2cos2α|x2y2

、外部的两点，且xA、xB57．设A、B是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）

ab2

的横坐标xA⋅xB=（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则∠PBA=（2）若过B引直线a，∠QBA；

与双曲线这一支相交于P、Q两点，则∠PBA+∠QBA=180.

x2y2

，外部的两点，（1）若过58．设A、B是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）

ab

A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且∠PBA=∠QBA，

（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且则点A、B的横坐标xA、xB满足xA⋅xB=a2；

a2. ∠PBA+∠QBA=180,则点A、B的横坐标满足xA⋅xB=

x2y2''

的交点P的轨迹是双曲59．设A,A是双曲线2−2=1的实轴的两个端点，QQ'是与AA'垂直的弦，则直线AQ与AQ

ab

x2y2

线2+2=1. ab

x2y28ab2

60．过双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则|AB|+|CD|≥22(a≠b)；

ab|a−b|

'

2c2

|AB|+|CD|≥4a(ab)

ax2y2c−a

61．到双曲线2−2=（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆1（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于

abb222

(x±ec)+y=(eb).

x2y2c−a

62．到双曲线2−2=（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆1（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于

abb

(x±c)2+y2=b2. x2y2c−a

（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆63．到双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为

abbb

(x±a)2+y2()2（e为离心率）.

e

x2y2'

64．已知P是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）上一个动点，A',A是它实轴的两个端点,且AQ⊥AP,AQ⊥A'P，则Q

abx2b2y2

点的轨迹方程是2−4=1.

aa

65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

b2x1x2y2'

66．设双曲线2−2=实轴的端点为A,A,P(x1,y1)是双曲线上的点过P作斜率为2的直线l，过A,A'1（a＞0,b＞0）

ay1ab

分别作垂直于实轴的直线交l于M,M',则（1）|AM||A'M'|=b2.（2）四边形AMA'M'面积趋近于2ab.

x2y2

67．已知双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B

ab

两点,点C在右准线l上，且BC⊥x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

(x−a)2y2

68．OA、OB是双曲线−2=1（a＞0,b＞0,且a≠b）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必2

ab

2ab2ab222ab22

经过一个定点(2O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(x−22)+y。 (22)（除原点）,0).(2) 以O A、2

b−ab−ab−a

(x−a)2y2

69．P(m,n)是双曲线−2=1（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一

a2b

2ab2−m(b2+a2)n(a2+b2)

个定点(,2).（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 222

b−ab−a

ab2−a2m2b2n2a2[b4+n2(a2+b2)]

(除P点). (x−2)+(y−2)b−a2b−a2(b2−a2)2

2

70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么（1）d1d2=b，且F1、F 2在L 异侧

（.2）且F1、F2在L异侧⇔直线L 和双曲线相离，（3）⇔直线L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线d1d2>b2，d1d2

或F1、F2在L同侧⇔直线L和双曲线相交.

x2y2

71．AB是双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的实轴，N是双曲线上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、D两

ab

x24y2

点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是2−2=1(y≠0).

ab

x2y2

72．设点P(x0,y0)为双曲线2−2=1（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点P(x0,y0)的

ab任一弦.

(b2x02−a2y02)−a2b2

(1)如a≥b,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)min2.

a

(b2x02−a2y02)−a2b2

(2)如a

b

73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.

77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.

78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.

82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.

83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.

85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.

88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

x2y2

89.已知双曲线2−2=1(a>0,b>0)上有一点P，过P分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q，

ab

O为原点，则： （1）|OM|⋅|ON|=b2. a2； （2）|OQ|⋅|OR|=

bb

90. 过平面上的P点作直线l1:y=x及l2:y=−x的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q.（1）若

aa

x2y22

b2，则P的轨迹方程是|OM|⋅|ON|=a，则P的轨迹方程是2−2=1(a>0,b>0).(2)若|OQ|⋅|OR|=

ab

x2y2

−=1(a>0,b>0). a2b2

x2y2

91. 点P为双曲线2−2=1(a>0,b>0)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于

ab

abb

M,N，交直线y=−x于Q,R，记 ∆OMQ与∆ONR的面积为S1,S2，则：|S1−S2|.

a2

b

92. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y=−x于Q,R，记 ∆OMQ

ax2y2y2x2ab

与∆ONR的面积为S1,S2，已知|S1−S2|，则P的轨迹方程是2−2=1(a>0,b>0)或2−2=1(a>0,b>0)

abba2

双曲线性质92条证明

1.双曲线第一定义。 2.由定义即可得双曲线标准方程。 3.双曲线第二定义。

4.设P(x0,y0)在第一象限，切线PT（即l）的斜率为k，PF1所在直线l1斜率为k1，PF2所在直线l2斜率为k2，PF1与PT的夹角为α，PF2与PT的夹角为β。由两直线夹角公式tanθ=

k1−k2

得：

1+k1k2

a2b2+b2cx0

c2x0y0+a2cy0

b2(a2+cx0)b2

2

cycy0a+cx00

y0b2x0

−2

x0+cay0k−k1

tanα=b2x0y1+kk1

1+2⋅0

ay0x0+cb2x0y0

−

a2y0x0−ck−k2

=tanβ2

bxy1+kk2

1+20⋅0

ay0x0−c

22b2x0−a2y0+b2x0c

a2x0y0+a2cy0+b2x0y0

22b2x0−a2y0−b2x0c

22

ax0y0−acy0+b2x0y0a2b2−b2cx0

2

cx0y0−a2cy0

b2(a2−cx0)b2

2

cy0a−cx0cy0

π

α,β∈0,∴α=β 同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的内角。

2

5.不妨设P在第一象限。作F2关于切线PT的对称点M，由4可知M在PF1上，则F1M=PF1−PF2=2a，垂足H为F2M

的中点，则OH=

F1M

=a，同理可证其它情况。射影H的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。 2

6. 设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为d1,d2，以PQ中点到准线的距离为d，以PQ为直径的圆的半径为r，则d=

d1+d2PF+FQr

PF2

PF12a+PF1

==a+a+r，故两圆外切。

222

7. 如图，两圆圆心距为dOM7图 8图

PF1−PF2+F1F2=2a+2c，F1S8. 如图，由切线长定理：F1S+FT1FT1a+c

=a+c=F1A2，T与A2重合，故内切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。 而FT1y9. 设P1(asecϕ,btanϕ),P2(asecϕ,−btanϕ)，则A1P1:=

btanϕbtanϕ

y(x+a),A2P2:=(x−a)

asecϕ+1a1−secϕx2y2

则xPacosϕ,ybsinϕ ∴P点的轨迹方程为2+2===1

ab

22

x0y0b2x0x2y2x2y22x2yy''

10. P0(x0,y0)在双曲线2−2= 1上∴2−2=1求导得：2−2=1，对2−2=0∴y2

abababay0ab22

b2x0x0xy0yx0y0

y0∴切线方程为y−=(x−x0)即2−2=2−2=1

a2y0abab

11.设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，由10得：

x0x1y0y1x0x2y0y2

−=1,−2=1，因为点P1,P2在直线PP12上，且同时满足方程222abab

x0xy0yx0xy0y

，所以−=1PP:−2=1 12222

abab

2222

x12−x2y12−y2x12y12x2y2

12.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)则有2−2=1,2−2=1作差得：−=0 22

ababab

(x−x)(x+x)(y−y)(y+y2)y−y

⇒1212−1210⇒k=12=

a2

b2

AB

x1−x2

b2(x1+x2)b2x0b2b2

=2=2⇒kAB⋅kOM=2 2

ay1+y2ay0akOMa

b2x0

13.由12可得：y−y00 (x−x0)⇒a2y0y−a2y02−b2x0x+b2x02=2

ay0

22

x0xy0yx0y0

⇒bx0x−ay0y=bx−ay⇒2−22−2

abab

2

2

22

2

20

y−y0yb2222222

14. .由12可得：⋅⇒−−+ayayybxbx0x=0 02

x−x0xax2y2x0xy0y

⇒bx−ay=bx0x−ay0y⇒2−2=2−2

abab

2

2

2

2

2

2

15. 设P(asecα,btanα),Q(asecβ,btanβ)，则kOP⋅kOQ

btanαbtanβa2

⋅=−1∴sinαsinβ−2

basecαasecβ

1111cos2αcos2β

+2+2+2

[1**********]r1r2asecα+btanαasecβ+btanβa+bsinαa+b2sin2βa2cos2α+b2sin2βcos2α+a2cos2β+b2sin2αcos2β=

a4+b4sin2αsin2β+a2b2sin2α+sin2β=

a2−a2sin2α+b2sin2β(1−sin2α)+a2−a2sin2β+b2sin2α(1−sin2β)

2a4+a2b2sin2α+sin2β2a2+(b2−a2)(sin2α+sin2β

)−2b2sin2αsin2β2a2(b2−a2)+b2(b2−a2)(sin2α+sin2β)2a4+a2b2sin2α+sin2β2a4b2+a2b4sin2α+sin2β=

(b

22222sinsinabαβ)−a2)++(1−1

2222

a2b22sinsina2b2abαβ++2

16. 将直线AB代入双曲线方程中得：B2b2−A2a2x2+2Aa2x−a21+B2b2=0

()()

∆

4aBb(Bb−A

a+1)

2

22

22

2

2

a2(1+B2b2)2Aa2

设A(x1,y1),B(

x2,y2)则x1+x2，x1x2=−22 OA⊥OB −22

2222

Bb−AaBb−Aa11

∴x1x2+y1y2=0⇒b2−a2=a2b2(A2+B2)⇒A2+B22−2

ab

k(x−p)即y=kx+q−kp。 17.(Ι)设双曲线内直角弦AB的方程为：y−q=

当斜率k存在时，代入双曲线C1方程中得：b−ak

(

222

(q−kp)+b2=0 )x2−2a2k(q−kp)x−a2

2

2

a2(q−kp)+b22a2k(q−kp)

设A(x1,y1),B(x2,y2)得x1+x22，x1x2=−22222

b−akb−ak



则PA⋅PB=(x0−x1)(x0−x2)+(y0−y1)(y0−y2)

2

=(k2+1)x1x2+(kq−k2p−ky0−x0)(x1+x2)+x0+(q−kp−y0)=0

2

2

0⇒2a2k(q−kp)(kq−k2p−ky0−x0)−a2(k2+1)(q−kp)+b2+(b2−a2k2)x0+(b2−a2k2)(q−kp−y0)=



2

2

⇒2a2k2(q−kp)−2a2k2y0(q−kp)−2a2kx0(q−kp)−a2k2(q−kp)−a2(q−kp)−a2b2k2−ab+bx−akx+b(q−kp−y0)−aky−ak

22

22

2

220

2

2

2

20

2

2

2

2

222

(q−kp)

2

0+2aky0(q−kp)=

2

2

2

2222

⇒−2a2kx0(q−kp)−a2(q−kp)−b2k2x00+b2(q−kp)−2b2y0(q−kp)=+a2y0−a2k2x0+b2y0

222⇒2a2k2px0+b2k2p2−a2k2p2−b2k2x0−a2k2x0+2a2kpq−2a2kqx0+2b2kpy0−2b2kpq−a2q2+a2y0

+by+bq−2bqy0=0

2a2(p−x0)2=b2(p2−x0a2+b2)p=22x02a−b ⇒apq−b2pq=a2qx0−b2py0⇒22

2q=a+by2222

0b(q−y0)=a(q−y0)b2−a2

2

2

222

a2+b2a2+b2

x,2y，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。 即直线AB过定点2

2020b−aa−b

(ΙΙ)由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

18.必要性：设P1P2：y+my0=k(x−mx0)。k存在时，代入双曲线方程中得：

(b

2

−a2k2)x2+2a2km(y0+kx0)x−a2m2(y0+kx0)−a2b2=0

2

2

a2m2(y0+kx0)+a2b22a2km(y0+kx0)

，x1x2=− 设P−1(x1,y1),P2(x2,y2)得x1+x2b2−a2k2b2−a2k2

y0−y1)(y0−y2)k2x1x2−k(my0+mkx0+y0)(x1+x2)+(my0+mkx0+y0)(k1⋅k22

x1x2−x0x1+x2+x0x0−x1x0−x22222211b2(1+m)kmxykxmym+−++()()1+m)b(00002222

a211a2(1−m)kmxykxmym+−++1−m()()0000

k不存在时，P

1P2：x=mx0则y

2b22y0−2(m2x0−a2)b2x2(1−m2)b21+m() 0=k1⋅k22222

x0a2x0(1−m)(1−m)a21−m2

必要性得证。

充分性：设P1P2过定点(p,q)，则P1P2：y=kx+q−kp。代入双曲线方程得：

(b

2

−a2k2)x2−2a2k(q−kp)x−a2(q−kp)−a2b2=0

2

2

a2(q−kp)+a2b22a2k(q−kp)

，x1x2=− 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)得x1+x22

b2−a2k2b−a2k2

则k1⋅k2

y0)(y2−y0)(y1−

x1−x0x2−x0k2x1x2+k(q−kp−y0)(x1+x2)+(q−kp−y0)

2

x1x2−x0x1+x2+x0

2

=

−a2k2(q−kp)−a2b2k2+2a2k2(q−kp)(q−kp−y0)+(q−kp−y0)(b2−a2k2)

2

2

2

−a2(q−kp)−a2b2−2a2kx0(q−kp)+x0b2−a2k22

22b(q−kp−y0)−k2x0b2(q−kp−y0+kx0)(q−kp−y0−kx0)b2(kp+y0+kx0−q)1+mb2⋅22

2222

ay0−(q−kp+kx0)ay0+q−kp+kx0y0−q+kp−kx0aq+y0+kx0−kp1−ma2

⇒

0=pmx0=p−mxkp+y0+kx0−q1+m0

⇒k(p−mx0)−(q+my0)=0⇒⇒

0q=−my0q+y0+kx0−kp1−mq+my0=

验证k不存在的情况，也得到此结论。故l过定点(mx0,−my0)(m≠1)，充分性得证。 19. 设AB：y−y0=k(x−x0)即y=kx+y0−kx0

y=kx+y0−kx0

222222222⇒−−−−−+b2=bakxakykxxaykx20 ()()()xy000012−2=

ba

2a2k(y0−kx0)2a2ky0−a2k2x0−b2x0a2k2y0+b2y0−2b2kx02a2ky0−a2k2x0−b2x0

=⇒x0+xB⇒xB⇒B, 222222

b2−a2k2b2−a2k2b−akb−ak−2a2ky0−a2k2x0−b2x0a2k

2y0+b2y0+2b2kx04b2kx

0b2x0

,−2 同理C∴kBC2222222

b−ak

b−akay0−4aky0

20. 由余弦定理：PF1+PF2−2PF1PF2cosγ=(2c)⇒PF1−PF2

2

2

2

()

2

=4c2+2PF1PF2(cosγ−1)

2b2b2

⇒4a=4c+2PF1PF2(cosγ−1)⇒PF1PF2==

1−cosγsin22

2

2

2b2sincos

1bsinγγ2bsincot=S∆F1PF2PF1PFγcyP221−cosγ222sin 2

b2b2γγP⇒yP=cot,xP=±ccot2c2

2

γγ

1

21.由正弦定理得PFsinβ

2c2c2aPF2FF

12 P在右支时，

sinγsinα+βsinβ−sinαsinαsinγ2sin

α+βα+ββααβαβ

cossinsincos+sincos1+tancotsin(α+β) =⇒esinβ−sinα2sincossinsincos−sincos1−tancot222222222

αβαβαβe−1c−a

⇒e−etancot=1+tancot⇒tancot==

222222e+1c+asin(α+β)1+tancotβαe−1c−a

同理当P在左支时，e ⇒tancotsinα−sinβ1−tancot22e+1c+a22

α+β

βα

a2a2

22. 由第二定义得：M在右支时，MF1=ex0+=ex0+a,MF2=ex0−=ex0−a

cca2a2

e−x0−=−a−ex0,MF2=e−x0=a−ex0。 M在左支时，MF1=

cc

23. 易知P在左支上，

PF1PF21+e==e>1⇒PF2=e⋅PF1⇒a−ex0=−e(a+ex0)⇒x0=2⋅−a dPF1e−

e

x0≤−a∴

1+e2

≥1⇒e−2e−1≤0⇒1≤e≤1+e>1∴e∈1,1+2e−e

(

24.易知当P在左支时PA+PF1有最小值，此时：PA+PF1线且P在左支时，等号成立.。

PA+PF2−2a≥AF2−2a。当且仅当A,F2,P三点共

25.易知当k=0时，只有x轴符合要求，但此时x0不存在。故k≠0。当k≠0时，设A，B两点关于直线y=kx+m对称，直线AB的方程为y−x+p，易知−

1

k1ba≠±即k≠±。 kab

2

联立AB与双曲线方程得：b2k2−a2x2+2a2kpx−a2k2p2−a2b2k==0 得∆4a2b2k2k2p2+b2k2−a2>0

()

()

a2kpb2k2p22222

,在y=kx+m上，得 ② 即kp+bk−a>0 ① AB中点M−22=ckpmbk−a()2222

bk−abk−a

2

2

2

2

2

m(b2k2−a2)c2a22

③ 当m=0时由①②得p=0，k>2。 ②代入①得pp+>0(m≠0)，解②得p=22

mbck

c4k2a2c2a2222

02或m>2当m>0时解得p>0或p

当m−，代入③得k>2或m>20

a−b2k2bmba2c4k22222

由此可见两种情况的结论相同。 当k>2时，a−bk2。 22

ba−bk

2

c4k2a

故对任意m，结论可统一表示为m>2k≠0且k≠± 22a−bkb

2

c4(a2+b2)2a当l=且>222≠≠±k0k:yk(x−x0)，即当m=−kx0时，x0

a−bka2−b2k2b

2

26. 由5即可得证。

a2basecϕsecϕtanϕ

−1 27. 设P(asecϕ,btanϕ)，则切线l:x−y1，A,

ctanϕcab

27图

b2basecϕab2secϕab2secϕ22∴FP⋅FA=(asecϕ−c,btanϕ)⋅−,−1=−+b−b+=0∴FP⊥FA 

ctanϕccc

28. 设P(asecϕ,btanϕ),由射影定理有:btan

2

2

ϕ=c2−a2sec2ϕ (c−asecϕ)(c+asecϕ)=

22

⇒c=a2sec2ϕ+(c2−a2)tan2ϕ⇒e=sec2ϕ+(e2−1)tan2ϕ

1⇒(1−tanϕ)e=secϕ−tanϕ=1⇒e1−tan2ϕ

2

2

2

2

2

x2y2x2y2

29. 设C1:2−2=1,C2:2−2=k(k>1),AB(l):Ax+By+C=0。联立C1,l得：

abab2Aa2C

0，由韦达定理：xA+xB(Bb−Aa)x−2AaCx−(aC+abB)=

B2b2−A2a2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2Aa2C

。则AP−

−−xQ−xP−xB−xQ 同理xP+xQ2222

Bb−Aa

)

而xA−xP,xB−xQ的符号一定相反，故xA−xP−xB−xQ=xA+xB−xP+xQ=0。所以AP=BQ 30. ① 当A，B同支时，设A(±acoshθ,bsinhθ),B(±acoshϕ,bsinhϕ)，M(x0,y0)为AB中点。 则AB=a2(coshθ−coshϕ)+b2(sinhθ−sinhϕ)=4a2sinh2

2

2

2

()

θ+ϕ

2

sinh2

θ−ϕ

2

+4b2cosh2

θ+ϕ

2

sinh2

θ−ϕ

2

=4m2

⇒a2sinh2

而x0设A

θ+ϕ

2222

acoshθ+acoshϕbsinhθ+bsinhϕθ+ϕθ−ϕθ+ϕθ−ϕ

cosh,y0bsinhcoshacosh222222

2

sinh2

θ−ϕ

+b2cosh2

θ+ϕ

sinh2

θ−ϕ

=m2

sinh,Bsinh2

θ−ϕ

2

θ+ϕ

22x0y0

，则2=+a2AB+b2A(1+B) (1A)(1+B),2=+(1A)B,m2=

ab2

22

2bx0b⋅2222222

x0y0xyay0a2002得：解得A=2−2−1,B=2，代入m m=−−1+2222222x0y0bx0abbbx0a−−1−12a2y2a2b2a2y00

2

y02

x2y22bx2

令cotht−(cotht>1)得：m=2−2−1(asinh2t+b2cosh2t)

ayba

x2y22

所以定长为2m（m>0）的弦中点轨迹方程为m=2−2−1(asinh2t+b2cosh2t)。

ba

2

其中cotht=−

bx

，y=0时t=0。 ay

② 当A，B异支时，设A(±acoshθ,bsinhθ),B(acoshϕ,bsinhϕ)，M(x0,y0)为AB中点。 则AB=a2(coshθ+coshϕ)+b2(sinhθ−sinhϕ)=4a2cosh2

2

2

2

θ+ϕ

2

cosh2

θ−ϕ

2

+4b2cosh2

θ+ϕ

2

sinh2

θ−ϕ

2

4m2

⇒a2cosh2

而x0

θ+ϕ2

cosh2

θ−ϕ2

+b2cosh2

θ+ϕ2

sinh2

θ−ϕ2

=m2

θ+ϕθ−ϕθ+ϕθ−ϕacoshθ−acoshϕbsinhθ+bsinhϕ

asinhsinh,y0bsinhcosh

222222

sinh,Bsinh2

2x022

设A

θ−ϕ

2

θ+ϕ

22x0y0222

，则2=AB,2=(1+A)B,m=a(1+A)(1+B)+bA(1+B)

ab2

22

2ay0a⋅2222222

xybx0y0x0b2002得：解得=，代入m A=B−,=−−+m122222222y0x0ayayb2a2ab00−−−11222222babx0bx0

x2y22ay2222

令cotht−(cotht>1)得：m=1−2−2(acosht+bsinht)

bxba

x2y22

222

所以定长为2m（m>0）的弦中点轨迹方程为m=1−2−2(acosht+bsinht)。

ba

2

其中cotht=−

ay

，x=0时t=0。 bx

综上所述，定长为2m（m>0）的弦中点轨迹方程为：

x2y22ay222

−,x=0时t=0，弦两端点在两支上1−2−2(acosht+bsinht),cothtabbx m2=2

y22bxx222−−+−，atbtt1sinhcoshcoth,y=0时t=0，弦两端点在同支上()a2b2ay

31. 设A(acoshα,bsinhα),B(acoshβ,bsinhβ)，M(x0,y0)为AB中点。则：

x0

x0acoshα+acoshβα+ββ−αβ−α

coshacosh⇒cosh2222acosh2

α+ββ−αα+ββ−α222

AB=a2(coshα−coshβ)+b2(sinhα−sinhβ)=4a2sinh2+4b2cosh2sinh2sinh2

2222

222α+β22α+β2β−α2α+β22

sinhcosh4cosh1coshabcal+−−

22222

l2222β−α22α+β22α+β2β−αcosh⇒a−acosh+ccosh+ccosh

222244sinh2



2

x0α+β22

⇒ex0−+c2cosh2

+2cosh2

2



2l2+a4



β−α

二次函数y=e2x2-mx+a2与

l2l2

222

y=在[a,+∞)内的交点即为x0的值。易知y=ex-mx+a与y=的右交点为x0的值。当m

44

增大时，x0增大。要使x0最小，则要使m最小。

2

x0

cosh2

+2

+c2cosh2

α+β2

≥2cx0，此时等号成立时cosh2

α+β

2

x0min

≥1⇒x0min≥c c

l2l2lala2l222

当此式成立时y=ex−mx+a⇒ex0min−2cx0min+a=⇒ex0min−a⇒x0min=++

e2ec2e442

2

2

2

当x0min

ala2l

++=c时：le2ec2e2b22b2

=Φ =Φ(通径) 当x0min≥c时：l≥aa

2b2a2lα+βx0

时x0min≥c，x0min=+，cosh2=。 ∴当l≥Φ=ac2e2c

当x0min

2

α+β2

=1，即AB垂直于x轴时x0最小。

l2

b+

a222(

4b2+l2)⇒x0min

e−

14b

2

ex

2

2

0min

−x

20min

l22

+a−c⇒x0min

4

2

2

∴x0min

a2lα+βx02b2

=,AB过焦点，cosh2+x0min≥c,l≥Φ=

ceac22

=2

2bx2α+βclABx

2

2

2

2

32.由33，当xy0时，Aa−Bb≤C ==00

2222a2b2b(x−x0)−a(y−y0)=

33. 

0Ax+By+C=

[1**********]=⇒(B2b2−A2a2)x2−2Bbx+aABy+Cx+Bbx−aBb−aBy+C0 ()()000022

+B2y0+C2+2ABx0y0+2ACx0+2BCy0=∆≥0⇒A2a2−B2b2≤A2x0

(Ax0+By0+C)

2

12

34.由正弦定理得FFsinαsinαPF2PF1

，所以sinγ−sinβsinβsinγ

F1F22cc

e。

PF1−PF22aa

35. 设P(asecϕ,btanϕ)，则P点处的切线为

secϕtanϕ

x−y=1， ab

b2(sec2ϕ−1)bb

由此可得：yP1⋅P2A2b2 −(1+secϕ),yP2(secϕ−1)∴P1A12

tanϕtanϕtanϕ11|OP|2+|OQ|2|OP|2+|OQ|2b2−a2

36.（1）同15。（2）由15,36（3）：+2222222

|OP||OQ||OP||OQ|4S∆OPQab

∴|OP|2=+|OQ|2

(b

2

2

−a2)4S∆OPQ

a2b2

4(b2−a2)a2b24a2b2

≥⋅222222

abb−ab−a

2

a222

（3）设P(asecθ,btanθ),Q(asecϕ,btanϕ)，OP⋅OQ=asecθsecϕ+btanθtanϕ=⇒0sinθsinϕ=−2

b

2S∆OPQ

asecθbtanθsinϕ−sinθ=OP×OQ==ab(secθtanϕ−tanθsecϕ)=ab

asecϕbtanϕcosθcosϕ

a2

2+12222

sinϕ+sinθ−2sinϕsinθsinϕ+sinθ−2sinϕsinθb−1=42222

cos2θcos2ϕasinϕsinθ+1−sinϕ+sinθ44a2+1−sinϕ+2

b4sinϕ



2

2

⇒

2

4S∆OPQ

a2b2

a22+1b−1≥4aa2

+1−22b4b

37. 设AB:

b2)(a2+−1

222(b−a)

2

4a2b2

(b

2

−a

22

)

2

⇒S∆OPQ

a2b2a2b2a2b2

≥2⇒S∆OPQ≥2∴Smin=2

22

babab−a2−−

2

x=tcosθx=c+tcosθ

，分别代入双曲线方程得： ,MN:

=yt=sinθytsinθ

a2b2

，(b2cos2θ−a2sin2θ)t2+2b2ctcosθ+b4=t=20由参数t的几何意义可知： 222

bcosθ−asinθ

2

2ab24a2b222

ABMN=t1−t2=24=t2aMN 2222222

bcosθ−asinθbcosθ−asinθpp2p2ab2

， 38.由双曲线极坐标方程得：MN=+==

1+ecosϕ1−ecosϕ1−e2cos2ϕa2−c2cos2ϕπx=tcos+ϕ−tsinϕ=

a2b2222

代入双曲线方程得：OP=t=， 设OP：2222

bsinϕ−acosϕytsinπ+ϕ==tcosϕ221a2−c2cos2ϕb2sin2ϕ−a2cos2ϕ11

∴−=−− aMNOP2a2b2a2b2b2a2

39. 设l:x=ty+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)，将l的方程代入双曲线得：b2t2−a2y2+2b2mty+b2m2−a2=0

()()

b2(m2−a2)2b2mt

，直线A1P的方程为y由韦达定理得：y1+y2−22,y1y222

22

bt−abt−a

y

y1

(x+a)，直线A2Q的方程为x1+a

2tyy+(a+m)y2+(m−a)y1y2

a，代入化简： (x−a)，联立A1P和A2Q得交点N的横坐标x=12

a+my+a−myx2−a21

2222

2abtayyabt−−−()2b2tm2−2b2ta2−2b2m2t+a(b2t2−a2)(y2−y1)()21a2 aa2222

m−2ab2mt+mb2t2−a2y2−y1mbt−a(y2−y1)−2abt

x

a2

上。 所以交点一定在直线x=m

引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α，对CB的张角为β。

则：

sin(α+

β)sinαsinβ

+

PCPBPA

40图 41图

40.如图，A为左顶点时，设∠PFx=θ,∠MFP=ϕ，则∠AFP=π−θ,∠HFM=π−θ−ϕ

a2b2b2ppb2

AF=a+c,FH=c−,FM−p。

ccaeeecosθ+ϕa

对F-AMP由张角定理：

sin(π−θ)sinϕsin(π−θ−ϕ)

+

FMFAFP

⇒(c−a)sinϕ=csin(θ+ϕ)cosθ−csinθcos(θ+ϕ)−asin(θ+ϕ)⇒sinϕ=sin(θ+ϕ)

0

当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；与Q、N分别共线，于是回到上一种情况。 41.如图，设∠PFx=θ,∠MFP=ϕ，则∠A1FP=π−θ,∠A2FQ=θ 对F-QA2M和F-A1MP由张角定理：

sin(π−ϕ)sinθsin(π−θ−ϕ)sin(π−θ)sinϕsin(π−θ−ϕ)

++,

FA2FMFQFMFA1FP

两式相加并化简得：

sinϕsinϕsin(θ+ϕ)sin(θ+ϕ)−=+⇒sinϕ=sin(θ+ϕ)

FA2FA1FQFP

0

42. 由12即可证得。

xx0+tcosαxx0+tcosβ==

43. 设P(x0,y0)，AB：，CD：，将AB的方程代入双曲线得：

=yy+tsinβ=yy+tsinα00

(b

2

22

cos2α−a2sin2α)t2+2(b2x0cosα−a2y0sinα)t+(b2x0−a2y0−a2b2)=0

2222

b2x0−a2y0−a2b2−a2y0−a2b2b2x0

，同理PC⋅PD 由参数t的几何意义可知：PA⋅PB=t1t2=2

b2cos2β−a2sin2βbcos2α−a2sin2α

PA⋅PBb2cos2β−a2sin2β

易知P与A，B和C，D的位置关系一定相同 ∴ =2

222

PC⋅PDbcosα−asinα

44. 对于内角平分线的情况由5即可证得，下仅证l为外角平分线的情况。

设P(asecϕ,btanϕ)，则l0:

2

secϕtanϕ

x−y=⇒1bsecϕ−atanϕ−ab=0 ab

则l:atanϕx+bsecϕy−csecϕtanϕ=0 0，l1:bsecϕx−atanϕy+bcsecϕ=

l2:bsecϕx−atanϕy−bcsecϕ=0。分别联立l、l1和l、l2得：

csecϕ(actan2ϕ+b2secϕ)bctanϕsecϕcsecϕ(actan2ϕ−b2secϕ)bctanϕsecϕ

，H2 ,−H1,−

a2tan2ϕ+b2sec2ϕa+csecϕa2tan2ϕ+b2sec2ϕcsecϕ−α

b(x+c)actan2ϕactan2ϕ

则xH1+c，xH2−c 对H1点：sinϕ=−

a+csecϕcsecϕ−αayxH1+c式得： tanϕ∴secϕ

b2(x+c)

x+c

ac

2

b2c(x+c) ⇒−12222ay−b(x+c)222

ay−bx(x+c)a2y2−b2x(x+c)22

⇒222⇒cy22222ay−b(x+c)ay−b(x+c)222222

ay−bx(x±c)ay−bxx−c() 2222

。故H1点、H2点的轨迹方程为cy=同理对H2点得cy=22

a2y2−b2(x−c)a2y2−b2(x±c)

2

2

2

aka2222

45.由伸缩变换y'=y将双曲线变为等轴双曲线x−y=a，再由旋转变换变为坐标轴为渐近线的双曲线=ykbx2

原来的共轭直径变为两条关于y轴对称的直线。只需证明此情况即可证明原命题。 设Am,



kkkkkkkk

，则，，则直线AC： k=−AB:y=x,EF:y=−xy=−x−t+,B−m,−,Ct,()AC22

mtmmmttmmt

同理BC：=y

kkkk

−2(x−t)。分别联立EF与AC，EF与AB，EF与C点处的切线得：(x−t)+。C点处的切线y−=

ttmtt

xE

m+tt−m2m2tm+tm−t。 ∴x+=xm−mm,xFm,xDEF22

m−tm+tm−tt+mm−t

(m+t)−(m−t)m

m2−t2

22

4m2t

2xD 22

m−t

由E，D，F三点共线可知，D为EF的中点。 46. 设∠MFx=ϕ，由双曲线极坐标方程：MN=

pp2p

+=22

1−ecosϕ1+ecosϕ1−ecosϕ

HF

pp

−

epcosϕ1−ecosϕ1+ecosϕ

，PF21−e2cos2ϕ

2

2

22

PFHFeep

∴MN2cosϕ1−e2cos2ϕ

由22:=r1r2e2x12−

a2

47. 由10可知l为切线l:bx1x−ay1y−ab=

0 ∴d48.同29。

ab

49.设AB中点为M(x0,y0),则kAB

b2x0a2y0a2y0

∴kMP−2∴MP:y−y0−2(x−x0) 2ay0bx0bx0

a2+b2a2+b2a2+b2

=令y0,=得xP∈−∞−+∞∴∈−∞−+∞xxaax,,,,()() P00

a2aa

50.同20。

51. 设l:x=ty+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)，代入双曲线方程得：b2t2−a2y2+2b2mty+b2m2−a2=0

()()

b2(m2−a2)2b2mt

由韦达定理得：y1+y2,y1y222−22

22

bt−abt−a

由A、P、M三点共线得=yM

(n+a)y1，同理y=(n+a)y2 n+ay1Nx1+aty1+m+aty2+m+a

(n+a)y1y2

22

ty1y2+t(m+a)(y1+y2)+(m+a)

2

2

22∴BM⋅BN=(n−m)+yMyN=(n−m)+

2

=(n−m)+

2

2

b2(m2−a2)(n+a)b2(m−a)(n+a)

2

b2t2m2−a2−2b2mt2(m+a)+(m+a)b2t2−a22

2

2

a2(n−m)b2(a−m)(n+a)a−m

=−2===0⇒(n−m)+22(n−m)+

a+mb(n+a)2a2m+abt(m−a)−2b2mt2+(m+a)b2t2−a2B(k,0)，点P(m,y)在直线x=m上（m>k），52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A(−k,0)，则当y=(m+k)(m−k)=m−k时，∠APB最大，其正弦值为

2

2

2

k

。 m

,当且仅当nα≤PA=

52.k=a,m=c

a21

nα≤,当且仅当PF=b时取等号。 53. k=,m= a ec

1

eab

时取等号。 c

a2

54. k=,m= c

c

,nα当且仅当≤PF1

2

1e时取等号。 p(p+4a)2

=+≥4a2+4ap+p2=4a22

1−ecosθ

55. 设∠AF2x=θ，则F1A⋅F1B=2a+当且仅当θ=90°时等号成立。



pp

+2a

1+ecosθ1−ecosθ

(2a2+b2)

a2

2

=xtcosα−a

，代入双曲线方程得：(b2cos2α−a2sin2α)t2=56. （1）设AP:2ab2tcosα ∵AP=t≠0

y=tsinα

∴AP=t

2ab2cosα

b2cos2α−a2sin2α

2ab2cosαa−ccosα

2

2

2

2y0b22

（2）设P(x0,y0)则tanαtanβ 1−2−=−e

x0−a2a2

2a2b2sinαcosα12a2b2tanα

（3）SPA⋅ABsinα22

2222

2atanα−ba−ccosα

b2

tanα−2

a2tan2α−b2c2tanα2a2b2cotγ2a2b2cotγ 由（2）：tan(α+β)=−⇒−tancotγγ∴S−2

1+e2−1c2tanαa2tan2α−b2c2a+b2

57. 由58可证。

58.（1）易知PQ的斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设PQ:x=ty+m，A（m，0）

代入双曲线方程得：bt−a

(

222

)y

2

+2bmty+b(m−a

2

2

2

2

)

b2(m2−a2)2b2mt

=0，则y1+y2−22,y1y222

22

bt−abt−a

若∠PBA=∠QBA，则kBQ+kBP=0⇒

y1y2

+=0⇒y1(ty2+m−xB)+y2(ty1+m−xB)=0

x1−xBx2−xB

2b2mt(m−xB)2222

0⇒0220btmabmt(m−xB)=⇒2ty1y2+(m−xB)(y1+y2)=−=⇒−−()222222

bt−abt−a 22aa

0⇒xB⇒xA⋅xB=m⋅=a2⇒m2t−a2t−m2t+mtxB=

mm

（2）作P关于x轴的对称点P，由（1）即证。 59.同9。

'

2b2t(m2−a2)

x=c+tcosαab2222224π60.设l1:0 ,α∈0,且tanα≠或，代入双曲线方程得：bcosα−asinαt+2bccosαt+b=



ba2y=tsinα

()

l2倾斜角β=∴AB=t1α+

π2

。

∴CD=t111112

2ab∴AB+CD2ab2++

bcos2α−a2sin2αa2cos2α−b2sin2αb2−c2sin2αa2−c2sin2α

2

 

当a=b

时，=c，AB+CD=

4a2b22c2，此时α≥4a=2a+=

aa−2sin2α

=0或π。

2

当a≠b时，设f(α)=

11ab上增至正无穷，ab，则f(α)关于sinα在0,min在max+,,,1222222

ccb−csinαa−csinαcc

上单调减，在

ab

和之间先减后增，此时两者异号。 cc

11c2。 有最小值α()+2222

b

a

ab

ab和ab时，当sinα为0或1时，f当sinα∈0,minmax,,,1cccc

22abba114− 当sinα介于和之间时：f(α)=+=≥[1**********]222

ccb−csinαcsinα−ab−csinαcsinα−ab−a

等号成立时b−csinα=csinα−a即α=

222222

π

2

444。而c> >2222222

4abca+bb−a

8ab4，AB+CD的最小值为2。 故当a≠b时，fmin(α)=222

a−bb−a

61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A(−m,0)，B(m,0)的距离之比

22kmk轨迹为一个圆，圆心坐标为+1m,0，圆的半径为。 22

−k1k−1

2

PA

=k(k>0,k≠1)，则P点的PB

下三个题的比值k均为

bc−a

，代入上述公式得：圆心坐标为(me,0)，圆的半径为m。 ba

2

2

2

61.m=c，圆心坐标为(±ce,0)，圆的半径为be。轨迹方程是姊妹圆(x±ce)+y=(be)。 62.m=a，圆心坐标为(±c,0)，圆的半径为b。轨迹方程是姊妹圆(x±c)+y=b。

2

2

2

a2bb22

，圆心坐标为(±a,0)，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆(x±a)+y63.m=。 cee

2

a2tanϕ ''

得64. 设P(asecϕ,btanϕ),Q(x,y),A(−a,0),A(a,0)，由AP⋅AQ=AP⋅AQ=0Q−asecϕ,

b

'

222

消去参数ϕ得Q点的轨迹方程：x2−by=1 4

aa

65.同37。

66.（1）同35。

（2）由基本不等式AM+A'M'>2b（渐近线时取等号），则梯形AMAM面积趋近于一个最小值

''

1

⋅2a⋅2b=2ab。 2

AM⋅BCFMAM⋅BCAF⋅BCe1 67.设AC交x轴于M，AD⊥l于D。由双曲线第二定义：

EMCM⋅ADCM⋅ADBF⋅ADe

AC

∴AC过EF的中点。

a2+b2(x−a)2y2x2y2

a,0。当双曲线方程变为68.（1）由17可知当双曲线方程为2−2=1时，AB过定点2−2=1 22

ababb−a

a2+b22ab2

,0a+a,0时，双曲线向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点2即2 22

b−ab−aab222ab22

（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q的轨迹方程是(x−22)+y。 (22)（除原点）

b−ab−a

a2+b2a2+b2x2y2

69.（1）由17可知当双曲线方程为2−2=1时，AB过定点22(m−a),2

b−a2aba−b

n。当双曲线方程变为

(x−a)2y2

−2=1时，双曲线向右平移了a个单位，定点也应向右平移了a个单位，故此时AB过定点2

ab

a2+b2a2+b222(m−a)+a,2

b−a2a−b2ab2−m(b2+a2)n(a2+b2)

n即(,2)。 222

b−ab−a

x2y2

（2）先证双曲线中心在原点的情况。双曲线方程为：2−2=1，P(x0,y0)，AB的斜率为k=tanθ。

ab

a2+b2a2+b2a2+b2a2+b21

+=−−yykxxx,y由17（1）：AB过定点2，设AB：，PQ：yy−−(x−x0) 020220220220−−−−ababababkb2(1−k2)x0a2(k2−1)y02a2ky0a2x02b2kx0b2y0

，xQ 两者联立得yQ=2−2+2−2+2+2

2222222222

k+1b−ak+1a−bb−ak+1b−ak+1b−ab−aa2x0

则xQ+2

b−a2b2y0

yQ−2b−a2

2a2y0tanθb2x0a2y0

−cos2θ−2sin2θ 222222222

b−ab−a+b−a+b−atanθ1tanθ1b2x0(1−tan2θ)

a2y0(1−tan2θ)2b2x0tanθb2x0a2y0

+sin2θ+2cos2θ 222222222

b−atanθ+1b−atanθ+1b−ab−a

2

2

2

2

b2x0a2x0b2y0b2x0a2y0a2y0

cos2sin2sin2cos2θ−θθθ∴xQ++−++yQ222222222222

−−−−−−babababababa

[**************]2bx0+ay0b(ab+ay0)+ay0ab+y0(a+b)222222

(b2−a2)(b−a)(b−a2)

(x−a)2y2

当双曲线方程变为−2=1时，双曲线向右平移了a个单位，圆心也应向右平移了a个单位，而半径不变。故此2

abb4+n2(a2+b2)a2a2(a−m)b2nab2−a2mb2n。

即，半径的平方仍为时圆心的坐标为,,+a222

b2−a2b2−a2b2−a2b−a(b2−a2)

24222

ab+na+b()ab−ambn（除P点）

∴Q点的轨迹方程为xQ−。 +yQ−2222222b−ab−a(b−a)

2

2

2

2

2

70. 设L:Ax+By+C=0,

则d1=

d2

C2−A2c2

∴d1d2 22A+B22

将L代入双曲线方程得：B2b2−A2a2x2−2a2ACx−a2C2+a2b=B=0，∆4a2b2B2B2b2−A2a2+C2

()()

()

d1d2=b2，且F1、F 2在L 异侧⇔直线L和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线；

d1d2>b2，且F1、F2在L异侧⇔直线L 和双曲线相离；d1d2

b(secϕ−1)b(secϕ+1)bb

71. 由35：yC=:y=:y−(x+a),BC(x−a) (1+secϕ),yD(secϕ−1)∴AD

2atanϕ2atanϕtanϕtanϕ

22

btanϕx4y联立解得Masecϕ,，消去参数ϕ得M点的轨迹方程为：2−2=1(y≠0)

ab2

[1**********]2

bx−ay−abbx−ay−ab。∵P在含焦点的一侧 ∴b2x2−a2y2−a2b2>0 000072. 由43：PA⋅PB00b2cos2θ−a2sin2θb2−c2sin2θ

当a≥b时，当θ=

π

2

，即AB与实轴垂直时，(PA⋅PB)min

22

b2x0−a2y0−a2b2

；当a

a

行或重合时，(PA⋅PB)

min

22b2x0−a2y0−a2b2

。无论a与b关系如何，均无最大值。 2

b

2c−(a+c)=c−a，同理可证P在其他位置情况。 73.同7。 74.同8。 75.由8可知，切线长分别为FT1a+c，F2T=

76.如图，由切线长定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1S-PF1

，所以PS=PQ=c-a.

76

图 77图

c2secϕc2secϕ

+c−c

+−xcxcMM77. 设P(asecϕ,btanϕ)，由79中得到的外点坐标和22ee ,PF1a+csecϕPF2csecϕ−a

78.由77和内角平分线定理：PI

IM

PF21

。 F2Me

a79. 设P(asecϕ,btanϕ)，则∠F1PF2内角平分线（即切线）l:secϕx−tanϕy=1，由此得内点N,0；同理∠F1PF2

absecϕ

外角平分线（即法线）l':atanϕx+bsecϕy−csecϕtanϕ

2

22csecϕacsecϕ=0，由此得外点MxN⋅c2 ,0∴xM⋅=

asecϕa

，即证。 aac2secϕ80. 由79中得到的内外点坐标可得：cc−c−

secϕsecϕa

22

，即证。 csecϕacsecϕ81.由79中得到的内外点坐标可得：c−c−c

asecϕa

82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。

1

secϕtanϕb acosϕ85. 设P(asecϕ,btanϕ)，则∠F1PF2内角平分线（即切线）l:x−y=1，tanβ=absinasinϕ

bcosϕ

bbctanϕctanϕ，则 由50得：tanα==cotα2

ctanϕbb

b2b2c2tan2ϕ

+1+c2tan2ϕ22cosαtanβ+1asinϕb2e2tan2ϕ+b2e2+a2e2tan2ϕasinϕb2cos2βtan2α+1b2+c2tan2ϕb2+c2tan2ϕ +1tanβ+1ctanϕ

1

b2e2+c2e2tan2ϕcosα2

ee22=⇒=

b+ctan2ϕcosβ

86. 由4即证。 87.同4。

bb

88. 由71：=yC,yD(secϕ−1)，F1(−c,0),F2(c,0) (−1−secϕ)=

tanϕtanϕ

b2(sec2ϕ−1)b2(sec2ϕ−1)

∴F1C⋅F1D=(a+c)(c−a)−=0 同理：∴CF2⋅DF2=(a+c)(c−a)−=0 22

tanϕtanϕ

∴CF1⊥F1D,CF2⊥F2D，即两焦点在以两交点为直径的圆上。

89. 设P(asecϕ,btanϕ)，则l1:y−btanϕ=b(x−asecϕ)⇒y=bx+b(tanϕ−secϕ)

aa

bb(secϕ−tanϕ)b(secϕ+tanϕ)同理l2:y−x+b(tanϕ+secϕ) ∴OM⋅ON⋅a2

abb

aa

同理OQ⋅ORb(secϕ−tanϕ)⋅b(secϕ+tanϕ)b2

90. 设P(x0,y0)，则l1:yx+y0−

b

abbbbx0−ay0bx0+ay0

x0,l2:y−x+y0+x,ON0∴OM

aaabb

22

bx0−ay0bx0+ay0b2x0−a2y0bb2

同理：a∴OM⋅ON⋅−OQxyORx0+y0 ,002

bbbaa

2222

xybx0−ay0bx0+ay0b2x0−a2y0

1。 ∴OQ⋅OR⋅b2 均推出P点的轨迹方程为2−2=2

abaaa

91. 设P(asecϕ,btanϕ)，则Q(−atanϕ,btanϕ),R(asecϕ,−bsecϕ) ∴S1−S2

abab2

sec2ϕ−tan=ϕ)(22

2222abxyaybxab100 由此得P点的轨迹方程为92. 设P(x0,y0)，则xQ−y0,yR−x0 ∴S1−S−=1，即：−2

baa2b2a2b2

x2y2y2x2

−2=1(a>0,b>0)或2−2=1(a>0,b>0)。 2abba