矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1.线性变换与二阶矩阵
⎧x′=ax+by,
在平面直角坐标系xOy中,由⎨(其中a,b,c,d是常数)构成的变换称为线性变换.由四个数a,b,c,d排成的正方形
⎩a b
⎤称为二阶矩阵,其中a,b,c,d称为矩阵的元素,矩阵通常用大写字母A,B,C,…或(aij)表示(其中i,j分别为元素aij所在的数表⎡⎣c d⎦
行和列).
2.矩阵的乘法
b11b11a b
⎤与列矩阵⎡x⎤[a11a12]与列矩阵⎡⎤的乘法规则为[a11a12]⎡⎤=[a
11b11+a12b21],二阶矩阵⎡⎣b21⎦⎣b21⎦⎣c d⎦⎣y⎦
M=⎡⎣0 1⎦;
⎤
θ对应的矩阵是M=⎡;
⎣sin θ cos θ⎦
1 0⎤⎡关于x轴对称,则变换对应矩阵为M1
=;若关于y轴对称,则变换对应矩阵为M2
⎣0 -1⎡-1 0;若关于坐标原点对称,则变换对应矩阵M3=⎡-1 0⎤; =
0 1 0 -1⎦
,表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2倍,k1,k2均为非零常数; M=
1 0⎤⎡轴的投影变换的矩阵为=; ⎣0 0⎦
⎡1 k⎤,若沿y轴平移|kx|个单位,则对应矩阵M=
沿x轴平移|ky|个单位,则对应矩阵M=
⎣0 1⎦
⎡1 0.(其中k为非零常数). ⎣k 14.线性变换的基本性质
xλxx1x2
⎡x1+x2⎤.
设向量α=⎡⎤,规定实数λ与向量α的乘积λα=⎡⎤;设向量α=⎡⎤,β=⎡⎤,规定向量α与β的和α+β=
⎣y⎦⎣λy⎦⎣y1⎦⎣y2⎦⎣y1+y2⎦
(1)设M是一个二阶矩阵,α、β是平面上的任意两个向量,λ是一个任意实数,则①M(λα)=λMα,②M(α+β)=Mα+Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点). (二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1.矩阵的逆矩阵
(1)一般地,设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ,使得σρ=ρσ=I,则称变换ρ可逆.并且称σ是ρ的逆变换.
(2)设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.
-1
(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.A的逆矩阵记为A.
---
(4)(性质2)设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)1=B1A1. (5)已知A,B,C为二阶矩阵,且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵,则B=C.
d-b
⎡a b⎤(ad-bc≠0),它的逆矩阵为A-1=ad-bcad-bc.
(6)对于二阶可逆矩阵A=
-ca⎣c d⎦
ad-bcad-bc
2.二阶行列式与方程组的解
a b⎧ax+by=
m,⎪称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值(或多项式),记为det(A)=对于关于x,y的二元一次方程组⎨我们把⎪⎪c d⎪⎩cx+dy=n,
⎪a b⎪=ad-bc. ⎪c d⎪
D⎧x=⎪D,a bm ba m
⎪⎪⎪⎪⎪若将方程组中行列式⎪ ⎪c d⎪记为D,⎪n d⎪记为Dx,⎪c n⎪记为Dy,则当D≠0时,方程组的解为⎨D⎪⎩y=D.
⎡
⎢⎣⎤⎥
设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα,那么λ称为A的一个特征值,α称为A的一个属于特征值
λ的一个特征向量.
(2)特征多项式
设λ是二阶矩阵A=⎡定义:设A=⎡
a b
a b
⎣c
ax+by=λx,
⎤的一个特征值,它的一个特征向量为α=⎡x⎤,则A⎡x⎤=λ⎡x⎤,即⎧⎨
⎣y⎦⎣y⎦⎣y⎦⎩cx+dy=λy,d⎦
⎧(λ-a)x-by=0,
也即⎨(*)
⎩-cx+(λ-d)y=0.
⎣c
⎤是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把行列式f(λ)=⎪λ-a -b⎪=λ2-(a+d)λ+ad-bc称为A的特征多项式. d⎦⎪-c λ-d⎪
(3)矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A的特征值,则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,即f(λ)=0,此时,将λ代入二元一次方程组(*),就可得
x0x0
到一组非零解⎡⎤,于是非零向量⎡⎤即为A的属于λ的一个特征向量
⎣y0⎦⎣y0⎦
M
⎡10⎤
,点的变换为(x,y)→
(x,y) =⎢⎥⎣01⎦
M=⎡k0⎤:k>1,将原来图形横坐标扩大为原来k倍,纵坐标不变
⎢01⎥⎣⎦
0
点的变换为(x,y)→(kx,y)
⎡10⎤: k>1,将原来图形纵坐标扩大为原来k倍,横坐标不变 M=⎢⎥
⎣0k⎦
0
点的变换为(x,y)→(x,ky)
M=⎡10⎤:点的变换为(x,y)→(x,-y) 变换前后关于x轴对称
⎢0-1⎥⎣⎦
⎡-10⎤:点的变换为(x,y)→(-x,y) 变换前后关于M=⎢⎥
⎣01⎦
y轴对称
⎡-10⎤:点的变换为(x,y)→(-x,-y) 变换前后关于原点对称 M=⎢⎥
⎣0-1⎦
⎡01⎤:点的变换为(x,y)→(y,x) 变换前后关于直线M=⎢⎥
⎣10⎦
M=⎡
⎢
y=x对称
cosθ⎣sinθ-sinθ⎤:逆时针900:⎡01⎤ ⎡0-1⎤;顺时针90
0:
M=⎢M=⎥⎥⎢⎥cosθ⎦⎣-10⎦⎣10⎦
旋转变化矩阵还可以设为:M
⎡a-b⎤
=⎢⎥
⎣ba⎦
⎡10⎤:将坐标平面上的点垂直投影到x轴上 M=⎢⎥
⎣00⎦
点的变换为(x,y)→(x,0)
⎡00⎤:将坐标平面上的点垂直投影到y轴上 M=⎢⎥
⎣01⎦
点的变换为(x,y)→(0,y)
⎡10⎤:将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y=x上 M=⎢⎥
⎣10⎦
点的变换为(x,y)→(x,x)
⎡01⎤:将坐标平面上的点平行于轴方向投影到y=x上
xM=⎢⎥
⎣01⎦
点的变换为(x,y)→(y,y)
⎡1⎢2M=⎢
⎢1⎢⎣21⎤
2⎥:将坐标平面上的点垂直于y=x方向投影到y=x上 ⎥1⎥2⎥⎦
x+yx+y
,)22
点的变换为(x,y)→(
M=⎡1k⎤:把平面上的点沿x轴方向平移|ky|个单位
⎢01⎥⎣⎦ 点的变换为(x,y)→(x+ky,y)
⎡10⎤
:把平面上的点沿y轴方向平移|kx|个单位 M=⎢⎥⎣k1⎦
点的变换为(x,y)→(x,kx+y)
选修4-2矩阵知识要点 五种特殊变换
a⎤⎡cosa-sin ⎢sinacos⎥a⎦⎣
⎡10⎤⎢0 -1⎥ ⎣
⎦⎡-10⎤⎢0 1⎥ ⎣⎦⎡01⎤⎢1 0⎥ ⎣⎦
0⎤
k⎥⎦
'
⎧a-ysina⎪x=xcos
⎨'
⎪a+ycosa⎩y=xsin'⎧⎪x=x
⎨'
⎪⎩y=-y'⎧⎪x=-x
⎨'
⎪y=y⎩'⎧⎪x=x
⎨'
⎪⎩y=y
关于X轴对称
关于Y轴对称
关于Y=X对称
纵轴伸缩
⎡1
⎢
0 ⎣
'⎧⎪x=x
⎨'
⎪⎩y=ky'⎧⎪x=kx
⎨'
⎪⎩y=y
横轴伸缩
⎡k0⎤
⎢0 1⎥ ⎣⎦
横纵均伸缩
'⎡k10⎤⎧⎪x=k1x
⎢0 k⎥ ⎨'
2⎦⎪⎣⎩y=k2y
关于X轴正投影
⎡01⎤⎢0 0⎥ ⎣⎦
'
⎧⎪x=x
⎨'
⎪⎩y=0
关于Y轴正投影
⎡00⎤⎢0 1⎥ ⎣⎦
'
⎧⎪x=0
⎨'
⎪⎩y=y
-AB⎤⎡B2
⎢ 关于AX+BY=0投影A2+B2 A2+B2⎥
⎥⎢2
A-AB⎥⎢
22⎥22⎢A+B⎦⎣A+B
⎧'B2AB
x=x-y⎪ ⎪A2+B2
A2+B2⎨2⎪y'=-ABx+Ay⎪A2+B2A2+B2⎩
'
⎧⎪x=x+ky
⎨'
⎪⎩y=y
k⎤⎡1
沿X轴平行方向移ky个单位⎢ ⎥
⎣01⎦0⎤⎡1
沿Y轴平行方向移kx个单位⎢ ⎥
⎣k1⎦
有关矩阵的乘法
'⎧⎪x=x
⎨'
⎪⎩y=kx+y
⎡a
1. 矩阵A=⎢
⎣c⎡aAa=⎢
⎣c
→
b⎤→⎡x⎤与a=⎢⎥相乘 d⎥⎦⎣y⎦⎡x⎤⎡ax+by⎤⎢y⎥=⎢cx+dy⎥
⎦⎣⎦⎣
b⎤
d⎥⎦
⎡a
A(λa)=⎢
⎣c
→→
→
b⎤d⎥⎦
→
⎡⎡x⎤⎤⎡a⎢λ⎢⎥⎥=⎢ ⎣⎣y⎦⎦⎣c
→
b⎤d⎥⎦
→
→⎡λx⎤⎡aλx+bλy⎤⎡λax+λby⎤
⎢λy⎥=⎢cλx+dλy⎥=⎢λcx+λdy⎥=λAa ⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A(a+b)=Aa+Ab A(λ1a+λ2b)=λ1Aa+λ2Ab
复合变换
→
→
→
→→→
A(Ba)=(AB)a 若向量a先经过矩阵A再经过矩阵B变换后⇔BAa (AB)C=A(BC) AB≠BA(矩阵相乘没有交换律) AkAl=Ak+l 若AC=AB 但 C≠B(没有消去律)
(Ak)l=Akl 若E2A=AE2=A E2为单位矩阵
f(x)经过矩阵变换后得曲线f'(x)
(五种特殊变换,除了投影变换外其他都有逆矩阵) 已知 矩阵A=⎢
ab⎡ab⎤-1A 求逆矩阵 , 若 detA=A=⎥cd⎣cd⎦
-b⎤
A⎥ ⎥a⎥⎥A⎦
=ad-bc≠0则
A有逆矩阵
A
-1
⎡d=⎢A ⎢⎢-c⎢⎣A
AA=E2
-1
⎡10⎤
⎢0 1⎥ 为单位矩阵 E2 ⎣⎦⎡0
⎢0 ⎣→0⎤
为零矩阵 0 ⎥0⎦
已知⎨
⎩cx+dy=f
A=⎢
⎤
⎥为二元一次方程组的系数矩阵 cd⎣⎦
这二元一次方程组可写成⎢
⎡ab⎤⎡x⎤⎡e⎤
=⎢⎥ ⎥⎢⎥
⎣cd⎦⎣y⎦⎣f⎦⎡e⎤⎡x⎤A-1⎢⎥=⎢⎥
⎣f⎦⎣y⎦
=0
已知⎨
ab⎧ax+by=0
(其中a,b,c,d是不全为0的常数) 则此二元一次方程组有非0解的充要条件是
已知A=⎢
⎣c
d⎥ a=λ→→⎢e⎤⎥ 求特征值、特征向量n
⎦
ξ和Aa ⎣f⎦令
f(λ)=λ-a
-b
=0 解出-c
λ
=λλ-d
1或λ=λ2
当
λ=λ1 当 λ=λ2
(⎧⎨
λ1-a)x-by=0⎩-cx+(λ (⎧λ2-a)x-by=0
1-d)y=0 ⎨ ⎩-cx+(λ2-d)y=0
∴ξ→
⎡x→
1⎤ ∴ξ=⎡x2⎤1=⎢⎣y⎥2⎢ 1⎦
⎣y⎥
2⎦→
→∴ξ⎡⎢x1⎤
∴ξ⎡x⎥是A属于λ=λ2⎤1=1的一个 2=⎢⎥是A属于λ=λ2的一个
⎣y1⎦⎣y2⎦ 特征向量 特征向量
→
→
设a=k+k→
⎧k1=
1ξ12ξ2 得⎨⎩k2
=
∴An
a→
=kλn
ξ→
1+kn→
11
2λ2
ξ2
cd