2.3_双曲线

2.3 双曲线

一、双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（其中2aF1F2）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线的定义可用集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2

.

注意：当2aF1、F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，表示分别以F1F2时，轨迹不存在.

二、双曲线的标准方程与几何性质：

1.a、b、c、e的几何意义：a叫做半实轴长；b叫做半虚轴长；c叫做半焦距；a、b、

c之间满足c2a2b2. e叫做椭圆的离心率，e

大.

c

且e1. e越大，双曲线的张口就越a

2.

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e3. 双曲线的第二定义：当平面内点M到一个定点F(c,0)(c0)的距离和它到一条定直线

ca2

l：x的距离的比是常数e(e1) 时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦

ac

点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.

x2y2

5.共渐近线的双曲线可写成22(0) ；

abx2y2

21(b2a2). 共焦点的双曲线可写成2

ab

当堂训练 一、选择题

x2y2

1. 如果那么它的半焦距C的取值范围是 （ ） 1表示焦点在y轴上的双曲线，

|k|21k

A．（1，∞） B．（0，2） C．（2，＋∞） D．（1，2） 2. 当mn＜0时，方程mx－my＝n所表示的曲线是 ( ) A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆． D．焦点在y轴上的椭圆

3. 平面内有两个定点F1、F2及动点P，设命题甲是“｜PF1｜－｜PF2｜是非零常数”,命 题乙是“动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的 ( ) A．充分而不必要条件． B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 设(0,)，则二次曲线x2coty2tan1的离心率取值范围( ) A.(0,) B.(,

1

2

4

2

2

1222) C.(,2) D .(,) 22

x2y2

5. 已知双曲线1，若将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转90°后，所得双曲

54

线的一条准线方程是 ( ) A．y

441616 B． y C． y D．y

3333

二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

6. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为 ． 7. 设F1、F2是双曲线的两个焦点，且｜F1F2｜＝18，过F1的直线交双曲线的同一支于M、N两点，若｜MN｜＝10，△MF2N的周长为48，则满足条件的双曲线的标准方程是 ． x2

8. 已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2

4

的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.则双曲线C2的方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 设P1(x1,y1), P1(x2,y2),„, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=OP1,

2

a2=OP2, „, an=OPn构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记

2

2

x22Sn=a1＋a2＋„＋an.,若C的方程为 －y=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标.

9

(只需写出一个)

10. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

11. 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1．

（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且k[

,3]，求实数m的取值范围； 3

（Ⅱ）当m

21时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．

x2a2

y2b2

12. 如图,P是以F1、F2为焦点的双曲线C：1

PF20, 上的一点，已知PF1·

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若

27

2PP1PP2=0求双曲线C的方程

. OP1OP2=，

4

13*.已知倾斜角为45的直线l过点A(1,2)和点B，B在第一象限，|AB|32.

(1) 求点B的坐标；

x2

(2) 若直线l与双曲线C:2y21(a0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标

a

为(4,1)，求a的值； (3) 对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB

的距离. 已知点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段AB的距离h关于t的函数关系式.

x2y222

1相交于A、14*.设直线与椭圆B两点，又与双曲线x–y=1相交于C、D两点， 2516

C、D三等分线段AB. 求直线的方程. 同步提升

1. 如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上

一点，POB30，曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、

F.

若△OEF的面积不小于

．．．l斜率的取值范围.

2.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1



A，BABOB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于两点．已知OA（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

3.已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于

A，B两点．



O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； F1AF1BFO11（其中

（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存

在，请说明理由．

y2x24.已知双曲线C的方程为221(a0,b

0)，离心率e

ab为

。 5

（1）求双曲线C的方程；

（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若

1

APPB,[,2]，求AOB面积的取值范围

3

5．求一条渐近线方程是3x4y0，一个焦点是4,0的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）

6．双曲线x2y2a2a0的两个焦点分别为F1,F2，P为双曲线上任意一点，求证：

PFPF21成等比数列（O为坐标原点）．（12分）

22

7．已知动点P与双曲线x－y＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最1

小值为－.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P

3点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．（12分）

8．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x22y21总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）

x2y2

9．设双曲线C1的方程为221(a0,b0)，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线

ab

C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.（1）求Q点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当e1

2时，e2的取值范围（14分）

10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）

2.3 双曲线参考答案

当堂训练

一、选择题： 1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 二、填空题：

x2y2

6．【 答案】1

916

y2x2x2y2

7．【 答案】1或1

49324932

x2

y21. 8．【 答案】3

三、解答题：

9. 【 解析】 a1=OP1=9,由S3=

2

33

(a1＋a3)=162,得a3=OP3=99. 2

x222

x390y1

由9 得：2∴点P3的坐标可以为(3,3).

y39x2y299

33

10. 【 解析】 如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、

y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

yPA

Co

Bx

x2y2

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线221上，

ab

依题意得a=680, c=1020，

x2y2

bca10206805340,故双曲线方程为1

680253402

2

2

2

2

2

2

用y=－x代入上式，得x，∵|PB|>|PA|,

x5,y,即P(,5),故PO

答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m处.

11. 【 解析】 (Ⅰ)由条件得直线AP的方程yk(x1),即kxyk0.

因为点M到直线AP的距离为1, ∵

mkkk1

2

1,即m

k211

2. kk

∵k[

23232+1≤m≤3或－1≤m≤1－. ,3],∴m2, 解得

3333

223

][1,3]. 33

2

∴m的取值范围是[1,1

y2

(Ⅱ)可设双曲线方程为x21(b0),由M(21,0),A(1,0), 得AM2.

b

又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1．因此，kAP1,kAQ1（不妨设P在第一象限） 直线PQ方程为x2

2．直线AP的方程y=x－1,

2

y2

∴解得P的坐标是（2+2，1+2），将P点坐标代入x21得，b2

b

所以所求双曲线方程为x2

2123

(23)

21



12. 【 解析】 (1)由PFPF20得PF11PF2，即△F1PF2为直角三角形.

y21,即x2(21)y21.

2222

设|PF2|r，则|PF|=2r,于是有(2r)+r=4c和2r－r=2a5×(2a)2=4ce=5. 1

(2)

b

2,可设P1(x1,2x1),p2(x2,2x2),P(x,y), a

279

x1x2. ① 44

则OP2=x1 x 2+y1y2= x 1 x 2－4 x 1 x 2=－1·

2xx2

x1x2-x-2(x1-x)3由PP2+2PP=0得 1

-2x-y-2(2x-y)2(2x-x)2112y

3

∵点P(x,y)在双曲线∴上式为

(2x1x2)2

9a2

2

x2a

2



y2b

2

1上，

4(2x1-x2)2

9a

2



4(2x1-x2)2

9b

2

=1,又b=4a.

22



(2x1-x2)2

9a2

2

1.简化得：x1x2=

92

a 8

②

x2y2

由①、②得a=2，从而得b=8.故所求双曲线方程为1.

28

yx3

及x0，22

(x1)(y2)18

13. 【 解析】 (1) 直线AB方程为yx3，设点B(x,y)，由

y0得x4，y1，点B的坐标为(4,1)

。

2

26a（2）由x2y21得(21)x6x100，设E(x1,y1),F(x2,y2)，则x1x24，得a1ayx3a

a2。

（3）(解法一)设线段AB上任意一点Q坐标为Q(x,x3)，|PQ|(tx)2(x3)2，

222

记f(x)(tx)(x3)2(x)

(t3)2

(1t4)， 34时，即t3)|t3|， 当1t时，|PQ|f(1t5min4，即当t5时，231，即当tt1时，f(x)在[1,4]上单调递减，∴|PQ|minf(4)(t4)21； f(x)在[1,4]上单调递增，|PQ|minf(1)(t1)24。

2

(t1)4t1;|t3|

h(t)21t5;

综上所述， 

(t4)21t5.

x

(解法二) 过A、B两点分别作线段AB的垂线，交x轴于A'(1,0)、B'(5,0)， 当点P在线段AB'上，即1t5时，由点到直线的距离公式得：|PQ|min|t3|；

2

当点P的点在点A'的左边，t1时，|PQ|min|PA|(t1)24； 当点P的点在点A'的右边，t5时，|PQ|min|PB|(t4)21。

2

(t1)4t1;|t3|

h(t)1t5; 综上所述，



(t4)21t5.

14. 【 解析】 首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

依题意有,3，由

y

D

A

C

o

B

lx

ykxb22222得(1625k)x2bkx(25b400)0...(1)xy

1

2516

50bk

x1x2

1625k2

ykxb由2得(1k2)x22bkx(b21)0...(2)2

xy1

若k1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k1 x3x4由x3x1x2x4x1x2x3x4

2bk

2

1k

50bk2bk

bk0k0或b022

1625k1k

5

(i)当k0时,由(1)得x1,2b2,由(2)得x3,4b21

4

1016

由3x2x13(x4x3),即b26b21b

413

故l的方程为y

16

13

(ii)当b=0时，由(1)得 x1,2

2025k

2

,由(2)得x3,440

6k2

1k

2

由由AB3CDx2x13(x4x3)即故l的方程为y

25k2

k

16 25

16x. 25

再讨论l与x轴垂直的情况. 设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

y1,2

y3,4由|AB|3|CD||y2y1|3|y4y3|

cl的方程为x综上所述，故l的方程为y

161625241

x和x、y.

1325241

同步提升答案

1. 如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB30，曲线

C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线

C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于

．．．l斜率的取值范围.

解：（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（,1），依题意得

2222

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝(23)123）1＝22＜｜AB｜＝4.

∴

曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

x2y2

1. 则c＝2，2a＝22，∴a=2,b=c-a=2.∴曲线C的方程为22

2

2

2

2

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

x2y2

设双曲线的方程为221(a＞0，b＞0）.

ab

2

3）1

x

2y222122

1. 则由 a解得a=b=2,∴曲线C的方程为b

22a2b24



(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K）

2

x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

2

1－k0∴ 

22

(4k)46(1k)0

k1



k∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=

22

｜EF｜＝(x1x2)(y1x2)

4k6

,xx,于是 12

1k1k2

(1k2)(x1x2)2

2

＝k(x1x2)4x1x2k

22

223k2

k

2

.

而原点O到直线l的距离d＝

2k

2

，

2

112223k22223kk. ∴S△DEF=dEF22222kkk

若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有

223k2

k2

22k4k220,解得2k2.　 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-K）x-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

21－k0∴ 

22

(4k)46(1k)0

2

2

k1



k.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜=(x1x2)4x1x2

2

k

2



223k2

k

2

. ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S△OEF＝SODFSODE

11

ODx1x2ODx1x2; 22

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

SOEFSODFS△ODE=

综上得S△OEF＝

11

OD(x1x2)ODx1x2. 22

1

ODx1x2,于是 2

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=

223k2

k

2

.

若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有

223k2

k2

22k4k20,解得2k2. ④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.

Amd2. （Ⅰ）设O

得：d

，ABm，OBmd由勾股定理可得：(md)m(md)

222

1AB4b

m，tanAOF，tanAOBtan2AOF 4OA3a

b

4，解得b1,

则离心率e 由倍角公式2

a232b

1a

2

x2y2a

（Ⅱ）过F直线方程为y(xc),与双曲线方程221联立

bab

将a

2b，c

代入，化简有

152xx21

0 4b2

41x2解得b3 将数值代入，有4x2y2

1。 故所求的双曲线方程为

369

3. 解：由条件知F1(2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

（I）解法一：（I）设M(x，y)，则则FM(x2，y)，F1A(x12，y1)， 1F1B(x22，y2)，FO(2，0)，由FMF1AF1BFO111得

x2x1x26，x1x2x4，x4y

即于是AB的中点坐标为． 

22yy1y2y1y2yy

yy2yy(x1x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1y2

x8x1x22x8

2

222

又因为A，B两点在双曲线上，所以x1y122，x2y22，两式相减得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x4)(y1y2)y．

将y1y2

y

(x1x2)代入上式，化简得(x6)2y24． x8

当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x6)y4．

2

2

解法二：同解法一的（I）有

x1x2x4，

y1y2y

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入x2y22有(1k2)x24k2x(4k22)0．

4k2

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22．

k1

4k24k24k4k

y2． 由①②③得x42． y1y2k(x1x24)k42

k1k1k1k1

当k0时，y0，由④⑤得，

x4

k，将其代入⑤有 y

x4

4y(x4)y

y．整理得(x6)2y24． 222

(x4)(x4)y

1y2

4

当k0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x6)y4．

2

2



CB为常数． （II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入xy2有(1k)x4kx(4k2)0．

2

2

2

2

2

2

4k24k22

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22，x1x22，

k1k1



于是CACB(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)

(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2 (k21)(4k22)4k2(2k2m)4k2m2 22

k1k1

2(12m)k2244m2m2(12m)m2． 22

k1k1

因为CACB是与k无关的常数，所以44m0，即m1，此时CACB=1．

当AB与x轴垂直时，点A，

B的坐标可分别设为(2

，(2，

此时CACB为常数． 0)，使CACB(11．故在x轴上存在定点C(1，

4.（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a

）到渐近线axby0，



ab所以



c5

ab

5ca2

y2c

得b1所以曲线C的方程是x21 由4a

c2a2b2c

（Ⅱ）设直线AB的方程为ykxm,由题意知k2,m0

ykxmm2m由得A点的坐标为（,),

y2x2k2k

由

ykxmm2m

得B点的坐标为（,),

2k2ky2x

uuuruurm12m1

APPB,得P点的坐标为（(),()

12k2k12k2k

y24m2(1)22

x1得将P点的坐标代入 44k2

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）

SAOB=SAOQ

SBOQ

111

OQxAOQxBm(xAxB)2221mm14m2m()22k2k24k211()12

5．（12分）[解析]：设双曲线方程为：9x216y2，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0

222

双曲线方程化为：xy11648，

91625

916

22

∴双曲线方程为：xy1 ∴e45．

[1**********]255

6．（12分）[解析]：易知ba,c2a,e2，准线方程：xa，设Px,y，

2

a则PF)PF212(x



2(x

a2

)PO

x2y2

a2，PF)2x2a2 1PF22(x

2

2

x2(x2a2)x2y22 PF1PF2成等比数列.

7．（12分）

22

[解析]：(1)∵x－y＝1，∴c＝2.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝22，∴a

＞2

222

|PF1|＋|PF2|－|F1F2|

由余弦定理有cos∠F1PF2＝＝

2|PF1||PF2|

222

(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|－|F1F2|2a－4

1

2|PF1||PF2||PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22

∵|PF1||PF2|≤()＝a，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值

2

2a.

222a－42a－412

此时cos∠F1PF2取得最小值－1，由题意－1＝－，解得a＝3，22

aa3

b2a2c2321

∴P点的轨迹方程为＋y＝1.

3

x2① 2

y1 将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，3y mkx②

2

＋3(m－1)＝0 (*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝x1＋x2－3kmm

2，y0＝kx0＋m＝221＋3k1＋3k

3kmm

即Q(－∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上， 2，2)

1＋3k1＋3k

x2

2

＋12

1＋3k1＋3k

∴klkAB＝k·1 ，解得m＝ „③ 又由于(*)式有两个实数根，知

3km2－2

1＋3k

△＞0，

22222

即 (6km)－4(1＋3k)[3(m－1)]＝12(1＋3k－m)＞0 ④ ，将③代入④得

2

1＋3k22

12[1＋3k－(]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，

2

1).

m

ykxb22

222

8．（12分）[解析]：联立方程组x2y1消去y得(2k－1)x+4kbx+（2b+1）=0,

2

当12k20,即k2时，若b=0，则k；若b0x2b1，不合题意.

22b222

当12k20,即k2时，依题意有△=(4kb)－4(2k－1)(2b+1)＞0，2k22b21对

2

22k.22

9．（14分）[解析]：（1）解法一：设P(x0,y0), Q(x ,y )

A(a,0),B(a,0),QBPB,QAPA

所有实数b恒成立，2k2(2b21)min∴2k

2

yy0xaxa1(1)

0

y0y1(2)x0axa由(1)(2)得:

y2

0x0a

2

2



y2xa

2

2

1(3) 

x20a2



y20b2

1,

y20x2a20

22

4



b2a2

代入(3)得b2y2x2a2a4,即a2x2b2y2a4

经检验点(a,0),(a,0)不合,因此Q点的轨迹方程为:ax－by=a（除点（－a,0）,(a,0)外）.

解法二：设P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA ∴

22

y0y

1„„（1）连接PQ，取PQ中点R, x0axa

PAQA,QBPB,|RA|

11

|PQ|,|RB||PQ|,|RA||RB|,R点在y轴上22

2

x0xy0yx0a20,即x0x(2),把(2)代入(1)得:21,y0(3)22yax

22x0y0x2(x2a2)2

把(2)(3)代入221,得21.xa时,不合题意,x2a2022

abayb整理得:a2x2b2y2a4,Q点轨迹方程为a2x2b2y2a4(除去点(a,0),(a,0)外)

(2)解:由(1)得C2的方程为

x2a2

y2a4b2

a

1, e

2

2

22

1 b21a1a12

2222abcae1

a4

2

e12, e21

1(2)21

2, 1e2

10．（14分）[解析]：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

22

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线xy1上， 依题意得a=680,

22

ab

c=1020，

2

b2c2a210202680253402,故双曲线方程为:x2

y253402

680

1

用y=－x代入上式，得x，∵|PB|>|PA|,x,y,

巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心m即P(5,),故PO,答：处.