高中数学竞赛知识点整理
不等式块
1．排序不等式（又称排序原理）
设有两个有序数组a 1≤a 2≤ ≤a n 及b 1≤b 2≤ ≤b n . 则a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n （同序和）
≥a 1b j 1+a 2b j 2+ +a n b jn （乱序和） ≥a 1b n +a 2b n -1+ +a n b 1（逆序和）
其中j 1, j 2, , j n 是1，2，…，n 的任一排列. 当且仅当a 1=a 2= =a n 或
b 1=b 2= =b n 时等号（对任一排列j 1, j 2, , j n ）成立.
2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：
设有n 个正数a 1, a 2, , a n 的算术平均数和几何平均数分别是
A n =
a 1+a 2+ +a n
和G n =a 1a 2 a n
n
此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到
H n =
n
111++ +a 1a 2a n
，
和平方平均（在统计学及误差分析中用到）
22a 12+a 2+ +a n
* 这四个平均值有以下关系H n ≤G n ≤A n ≤Q n . ○Q n =
n
3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.
柯西（Cavchy ）不等式：设a 1、a 2、a 3，…，a n 是任意实数，则
2222
(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n ) 2≤(a 12+a 2+ +a n )(b 12+b 2+ +b n ).
等号当且仅当b i =ka i (k 为常数，i =1, 2, , n ) 时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.
切比雪夫不等式：若a 1≤a 2≤ ≤a n ，b 1≤b 2≤ ≤b n ，
则
a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n a 1+a 2+ +a n b 1+b 2+ +b n
≥⋅.
n n n
例题讲解
. 1．a , b , c >0, 求证：ab (a +b ) +bc (b +c ) +ca (c +a ) ≥6abc
a +b +c 3
2．a , b , c >0，求证：a b c ≥(abc )
a b c
.
a 2+b 2b 2+c 2c 2+a 2a 3b 3c 3
++≤++. 3．：a , b , c ∈R , 求证a +b +c ≤
2c 2a 2b bc ca ab
+
4．设a 1, a 2, , a n ∈N *，且各不相同，
求证：1+++ +
12131a a 3a n ≤a 1+2++ +. . 222n 23n
5．利用基本不等式证明a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca .
6．已知a +b =1, a , b ≥0, 求证：a +b ≥
4
4
1. 8
7．利用排序不等式证明G n ≤A n
8．证明：对于任意正整数R ，有(1+
1n 1n +1)
111
9．n 为正整数，证明：n [(1+n ) -1]
23n
1n
-1
例题答案：
1. 证明：
ab (a +b ) +bc (b +c ) +ca (c +a ) -6abc
=a (b 2+c 2-2bc ) +b (a 2+c 2-2ac ) +c (a 2+b 2-2ab )
=a (b -c ) 2+b (c -a ) 2+c (a -b ) 2
≥0
∴ab (a +b ) +bc (b +c ) +ca (c +a ) ≥6a b . c
评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧. 再如证明a +b +c ≥ab +bc +ca 时，可将a +b
2
2
2
2
2
1
-(ab +bc +ca ) 配方为[(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2]，亦可利用a 2+b 2≥2ab ,
2
b 2+c 2≥2bc , c 2+a 2≥2ca ，3式相加证明. （2）本题亦可连用两次基本不等式获证.
2. 分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.
不等式关于a , b , c 对称，不妨a ≥b ≥c , 则a -b , b -c , a -c ∈R +，且
a b , ， b c
a
都大于等于1. c
a a b b c c
(abc )
a +b +c 3
=a
2a -b -c 3
b
2b -a -c 3
c
2c -a -b 3
=a
a -b 3
⋅a
a -c 3
⋅b
b -a 3
⋅b
b -c 3
⋅c
c -a 3
⋅c
c -b 3
a -b 3
a =() b b ⋅() c
b -c 3
a ⋅() c
a -c 3
≥1.
评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若a i >0(i =1, 2, , n ), 则a 11a 22 a n
a
a
a n
≥
(a 1a 2 a n )
a 1+a 2+ +a n
n
.
a
b
b
a
（3）本题还可用其他方法得证。因a b ≥a b ，同理b b c c ≥b c c b , c c a a ≥c a a c ，
另a b c ≥a b c ，4式相乘即得证.
（4）设a ≥b ≥c ≥0, 则lg a ≥lg b ≥lg c . 例3等价于a lg a +b lg b ≥a lg b +b lg a , 类似例4可证a lg a +b lg b +c lg c ≥a lg b +b lg c +c lg a ≥a lg c +b lg b +c lg a . 事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组a 1≤a 2≤ ≤a n , b 1≤b 2≤ ≤b n ，则a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n （顺
a
b
c
a
b
c
序和）
≥a 1b j 1+a 2b j 2+ +a n b j n （乱序和） ≥a 1b n +a 1b n -1+ +a n b 1（逆序和）
其中j 1, j 2, , j n 是1, 2, , n 的任一排列. 当且仅当a 1=a 2= =a n 或
b 1=b 2= =b n 时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式. 如
a , b , c ∈R +时, a 3+b 3+c 3≥a 2b +b 2c +c 2a ⇔a 2⋅a +b 2⋅b +c 2⋅c
a 2b 2c 2111111
≥a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a ; ++≥a +b +c ⇔a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅≥a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅
b c a b c a a b c
.
3. 思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
2
2
2
111111
≥≥，则a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅（乱序和）c b a c a b
111111
≥a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅（逆序和），同理a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅（乱序和）
a b c c a b 111
≥a 2⋅+b 2⋅+c 2⋅（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式. 再考虑数
a b c
111333
≥≥组a ≥b ≥c 及，仿上可证第二个不等式. bc ac ab
不妨设a ≥b ≥c , 则a ≥b ≥c ,
2
2
2
4. 分析：不等式右边各项
a i 1=a ⋅；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. i 22i i
设b 1, b 2, , b n 是a 1, a 2, , a n 的重新排列，满足b 1
111
>> >. 22223n
a n b n a 2a 3b 2b 3
. 由于b 1, b 2, b n 是互不相同的正整++ +≥b +++ +122222
n 2323n
b 3b n b 11
数，故b 1≥1, b 2≥2, , b n ≥n . 从而b 1+2，原式得证. ++ +≥1++ +222
2n 23n
所以a 1+
评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a 2+b 2≥a ⋅b +b ⋅a ,
a 3+b 3+c 3≥a 2⋅b +b 2⋅c +c 2⋅a =a ⋅ab +b ⋅bc +c ⋅ca ≥a ⋅bc +b ⋅ac +c ⋅ab =3abc .
5. 思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方．．法.
a 2+b 2≥2ab , 同理b 2+c 3≥2bc , c 2+a 2≥2ca ；三式相加再除以2即得证.
评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.
22
x n x 12x 2
如++ +≥x 1+x 2+ +x n ，可在不等式两边同时加上
x 2x 3x 1
x 2+x 3+ +x n +x 1.
再如证(a +1)(b +1)(a +c ) 3(b +c ) 3≥256a 2b 2c 3(a , b , c >0) 时，可连续使用基本不
等式.
a +b 2a 2+b 2
) ≤（2）基本不等式有各种变式 如(等. 但其本质特征不等式两边的次数及22
系数是相等的. 如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数式呢.
要证a +b ≥
4
4
1
，如何也转化为a 、b 的4次8
11
, 即证a 4+b 4≥(a +b ) 4. 88
3
3
评述：（1）本题方法具有一定的普遍性. 如已知x 1+x 2+x 3=1, x i ≥0, 求证：x 1+x 2
11133
求证：x 1x 2+x 2x 3 +x 3≥. 右侧的可理解为(x 1+x 2+x 3) . 再如已知x 1+x 2+x 3=0，
333
+x 3x 1≤0，此处可以把0理解为(x 1+x 2+x 3) ，当然本题另有简使证法.
（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例. （一般地，对于n 个正数a 1, a 2, a n )
调和平均H n =
3
8
2
n
111++ +a 1a 2a n
几何平均G n =a 1⋅a 2 a n 算术平均A n =
a 1+a 2+ +a n
n
22
a 12+a 2+ +a n
平方平均Q n =
2
这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n ，其中等号当且仅当
a 1=a 2= =a n 时成立.
7. 证明: 令b i =
a i
, (i =1, 2, , n ) 则b 1b 2 b n =1，故可取x 1, x 2, x n >0，使得 G n
b 1=
x x x 1x
, b 2=2, , b n -1=n -1, b n =n 由排序不等式有： x 2x 3x n x 1
b 1+b 2+ +b n
=
x x 1x 2
++ +n （乱序和） x 2x 3x 1
111
+x 2⋅+ +x n ⋅（逆序和） x 1x 2x n
≥x 1⋅
=n ，
∴
a a +a 2+ +a n a 1a 2++ +n ≥n , 即1≥G n . G n G n G n n
111
, , , 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G n ≤A n . a 1a 2a n
评述:对
8. 分析:原不等式等价于n (1+)
n 1
n
n
1
，故可设法使其左边转化为n 个数的几何n +1
11111n +21 (1+) n =(1+) (1+) ⋅1
n n n n n n n +1n +1
n 个
n +1
评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等
式形式相近. 类似可证(1+
1n +11n +2
)
（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.
9. 证明:先证左边不等式
111
++ +⇔(1+n ) -1
⇔ (1+n ) n
n 111
(1+1) +(+1) +(+1) + +(+1) 1
⇔(1+n ) n
n
34n +12+++ +
⇔+n
n n [(1+n ) -1]
2+
1n 1n
1+
111++ +23n
n
34n +1++ +>2+3+4+ +n +1=+1.
n 23n
∴ （*）式成立，故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
-111
1+++ +
23n
1
⇔n
1-n -1
n -(1+
111111++ +) (1-) +(1-) + +(1-) ⇔n 1
12n -1++ +123n （**）
⇔ n
n n -1
（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.