拓扑单项选择题汇总

01-03

单项选择题练习题

（建议：看一下下面的119道参考题，在做这22道题）

1、设X ={a , b , c }，它的一个拓扑是（）

(A ) {∅, {a }, {a , b }, {a , b , c }} (B ) {∅, {b }, {c }, {a , b , c }}

(C ) {∅, {a , b }, {a , c }, {a , b , c }} (D ) {∅, {a }{b }, {c }, {a , b , c }}

2、设X 是拓扑空间，F 为所有闭集构成的族，则有（）．

(A )若A i ∈F (i =1,2, ) 则有A 1⋃A 2⋃ ⋃A n ⋃ ∈F

(B )若A i ∈F (i =1,2, ) 则有A 1⋂A 2⋂ ⋂A n ⋂ ∈F

(C )∅, X ∉F (D )若A ∈F 则X -A ∈F

3、设X 为拓扑空间，则对∀A , B ⊂X ，必有（）．

(A ) ∅=X (B )

(A ) A ⊂A (C ) A ⋃B =A ⋂B (D ) A 是闭集 4、设X 为拓扑空间，x ∈X ，则有（）． x 的任意邻域都是X 的开集 (B ) x 的任意邻域都是X 的闭集

(C ) 包含x 的开集都是x 的邻域

(D ) 若U 1, U 2是x 的邻域，但U 1⋂U 2不是x 的邻域

5、已知(0,1)是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间(0,1)中的开集是（）．

(A ) [0, b ) (B ) (a , b ] (C ) [a , b ] (D ) ∅

其中a , b ∈(0,1)．

6、设X ={a , b , c }，ℑ是平庸拓扑，(X , ℑ)中两子集是隔离的是（）．

(A ) {a }与{b } (B ) {a , b }与{b , c } (C ) {a }与{b , c } (D ) ∅与{a }

7、下面命题中正确的是（）．

(A ) 平庸空间是T 0空间

(B ) 在T 2空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列

(C ) T 1空间未必是T 0空间 (D ) T 1空间中每一单点集都是闭集

8、若X 是Hausdorff 空间，则X 必是（）．

(A ) 正则空间 (B ) 正规空间 (C ) T 3空间 (D ) T 1空间

9、下面不连通的拓扑空间是（）．

(A ) 实数空间 (B ) 平庸空间

(C ) 包含多于两个点的离散空间

(D ) 拓扑学家正弦曲线S =⎨⎛ x ,sin ⎩⎝

10、下面正确的命题是（）． ⎧1⎫⎫2∈R 0

，(A ) 设f :X →Y 是连续映射，若 X 满足第二可数性公理（即X 是A 2空间）

则 Y 也是A 2空间。

(B )A 2空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。

(C ) 若拓扑空间X i (1≤i ≤n )都是A 2空间，则积空间X 1⨯X 2⨯ ⨯X n 也是A 2空间。

(D )A 2空间未必满足第一可数性公理。

11、拓扑空间X 中，A , B 是隔离子集，则在子空间A ⋃B 中子集A 是（）． (A ) 开集，但不是闭集 (B ) 闭集，但不是开集

(C ) 既是开集，又是闭集 (D ) 既不是开集，又不是闭集

12、在实数空间中，子集A =(0,1]，B =[0,1)，C =(0.1)，D =[0,1]，其中可能有同胚关系的是（）．

(A ) A 与B (B ) C 与D (C ) A 与C (D ) B 与D

13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff 空间”的（）。

(A ) 充分条件 (B ) 必要条件

(C )充分必要条件 (D ) 既不是充分条件，也不必要条件

14、设Y =[0,1)⋃[2,3)是实数空间R 的一个子空间，则Y 中的子集[0,1)是Y 的（）．

(A ) 开集，但不是闭集 (B ) 闭集，但不是开集

(C ) 既是开集，又是闭集 (D ) 既不是开集，又不是闭集

15、设(X , ℑ)集合R 上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（） (A ) X 是A 1空间 (B ) X 是A 2空间

X 是Lindeloff 空间 (C )X 是可分空间 (D )

16、拓扑空间X 中“只有单点集”是“X 为离散空间”的（）

(A ) 充分条件 (B ) 必要条件

(C )充分必要条件 (D ) 既不是充分条件，也不必要条件

17、有理数集是（）

A . 不可数集； B . 可数集； C . 有限集； D . 以上都不对.

18、无理数集是（）

A . 不可数集； B . 可数集； C . 有限集； D . 以上都不对.

19、(A \B ) C =A \(B \C )成立的充分必要条件是（）

A . A ⊂B ； B . B ⊂A ；

C . A ⊂C ； D . C ⊂A .

20、集合{a 1, a 2, , a n }的非空真子集的个数共有（）

A . 2n 个； B . 2n –1个；

C . 2n –2个； D . 以上都不对.

21、对A ⊂X, A =( ).

A . A ' B . A '- C . A '- D . A '-'.

22、对A ⊂X, 有( ).

A . A ⊂A - B . A ⊃A - C . A =A - D . 以上都不对.

23、"

A. 自反的 B. 对称的 C. 传递的 D . 以上都不对.

单项选择参考题

1、已知X ={a , b , c , d , e }, 下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{a },{a , b },{a , c , e }} ② T ={X , φ,{a , b , c },{a , b , d },{a , b , c , e }} ③ T ={X , φ,{a },{a , b }} ④ T ={X , φ,{a },{b },{c },{d },{e }} 答案：

2、设X ={a , b , c }，下列集族中, （）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{a },{a , b },{c }} ② T ={X , φ,{a },{a , b },{a , c }}

③ T ={X , φ,{a },{b },{a , c }} ④ T ={X , φ,{a },{b },{c }} 答案：②

3、已知X ={a , b , c , d }, 下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{a },{a , b },{a , c , d }} ② T ={X , φ,{a , b , c },{a , b , d }}

③ T ={X , φ,{a },{b },{a , c , d }} ④ T ={X , φ,{a },{b }} 答案：①

4、设X ={a , b , c }，下列集族中, （）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{b },{c },{a , b }} ② T ={X , φ,{a },{b },{a , b },{a , c }}

③ T ={X , φ,{a },{b },{a , c }} ④ T ={X , φ,{a },{b },{c }} 答案：②

5、已知X ={a , b , c , d }, 下列集族中，（）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{a , b },{a , c , d }} ② T ={X , φ,{a , b },{a , c , d }}

③ T ={X , φ,{a },{b },{a , c , d }} ④ T ={X , φ,{a },{c },{a , c }} 答案：④

6、设X ={a , b , c }，下列集族中, （）是X 上的拓扑.

① T ={X , φ,{a },{b },{b , c }} ② T ={X , φ,{a , b },{b , c }}

③ T ={X , φ,{a },{a , c }} ④ T ={X , φ,{a },{b },{c }} 答案：③

7、已知X ={a , b , c , d }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{b }=（）

①φ ② X ③ {b } ④ {b , c , d } 答案：④

8、已知X ={a , b , c , d }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{b , c , d }=（）

①φ ② X ③ {b } ④ {b , c , d } 答案：④

9、已知X ={a , b }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{a }=（）

①φ ② X ③ {a } ④ {b } 答案：②

10、已知X ={a , b }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{b }=（）

①φ ② X ③ {a } ④ {b } 答案：④

11、已知X ={a , b , c , d }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{a }=（）

①φ ② X ③ {a , b } ④ {b , c , d } 答案：②

12、已知X ={a , b , c , d }，拓扑T ={X , φ,{a }}, 则{c }=（）

①φ ② X ③ {a , c } ④ {b , c , d } 答案：④

13、设X ={a , b , c , d }，拓扑T ={X , φ,{a },{b , c , d }}, 则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

14、设X ={a , b , c }，拓扑T ={X , φ,{a },{b , c }}, 则X 的既开又闭的非空真子集的

个数为（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

15、设X ={a , b , c }，拓扑T ={X , φ,{b },{b , c }}, 则X 的既开又闭的非空真子集的

个数为（） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①

16、设X ={a , b }，拓扑T ={X , φ, b {}, }则X 的既开又闭的子集的个数为

（）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

b }}17、设X ={a , b }，拓扑T ={X , φ,{a },{, 则X 的既开又闭的子集的个数为

（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

18、设X ={a , b , c }，拓扑T ={X , φ,{a },{b },{a , b },{b , c }}, 则X 的既开又闭的非空

真子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①

20、在实数空间中，有理数集Q 的边界∂(Q ) 是（）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④

21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）

① φ ② Z ③ R-Z ④ R 答案：①

22、在实数空间中，整数集Z 的边界∂(Z ) 是（）

① φ ② Z ③ R-Z ④ R 答案：②

23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③

24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）

① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③

25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④

26、设X 是一个拓扑空间，A,B 是X 的子集, 则下列关系中错误的是（） ① d (A ⋃B ) =d (A ) ⋃d (B ) ② A ⋃B =A ⋃B

③ d (A ⋂B ) =d (A ) ⋂d (B ) ④ A =A 答案: ③

27、设X 是一个拓扑空间，A,B 是X 的子集, 则下列关系中正确的是（）

① d (A ⋃B ) =d (A ) ⋃d (B ) ② A -B =A -B

③ d (A ⋂B ) =d (A ) ⋂d (B ) ④ A =A 答案: ①

28、设X 是一个拓扑空间，A,B 是X 的子集, 则下列关系中正确的是（） ① d (A ⋃B ) =A ⋃B ② A -B =A -B

③ d (A ⋂B ) =d (A ) ⋂d (B ) ④ d (d (A )) ⊂A ⋃d (A ) 答案: ④

29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集, 则下列结论中正确的是（） ① d (A ) =φ ② d (A ) =X -A ③ d (A ) =A ④ d (A ) =X 答案：①

30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集, 则下列结论中不正确的是

（）

① 若A =φ, 则d (A ) =φ ② 若A ={x 0}, 则d (A ) =X -A

③ 若A={x 1, x 2},则d (A ) =X ④ 若A ≠X , 则d (A ) ≠X 答案：④

31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集, 则下列结论中正确的是（）

① 若A =φ, 则d (A ) =φ ② 若A ={x 0}, 则d (A ) =X

③ 若A={x 1, x 2},则d (A ) =X -A ④ 若A ={x 1, x 2}, 则d (A ) =A 答案：

①

c },{d }}32、设X ={a , b , c , d }，令B ={{a , b , c },{, 则由B 产生的X 上的拓扑是

（）

① { X , φ,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X , φ,{c},{d},{c,d}} ③ { X , φ,{c},{a,b,c}} ④ { X , φ,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①

33、设X 是至少含有两个元素的集合，p ∈X , T ={G ⊂X |p ∈G }⋃{φ} 是X 的

拓扑，则（）是T 的基.

① B ={{p , x }|x ∈X -{p }} ② B ={{x }|x ∈X }

③ B ={{p , x }|x ∈X } ④ B ={{x }|x ∈X -{p }} 答案：③

34、设X ={a , b , c }, 则下列X 的拓扑中（）以S ={X , φ,{a }}为子基.

① { X , φ,{a},{a,c}} ② {X , φ,{a}}

③ { X , φ,{a},{b},{a,b}} ④ {X , φ } 答案：②

35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：③

36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：④

37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案：②

38、实数空间R 的子集A ={1,111, ,,„„},则A ＝（） 234①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③

39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）

① 整数集 ② [a , b ) ③ 有理数集 ④ 无理数集答案：①

40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）

① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案：④

41、已知X ={1,2,3}上的拓扑T ={X , φ,{1}}, 则点1的邻域个数是（）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

42、已知X ={a , b }, 则X 上的所有可能的拓扑有（）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案：④

43、已知X ={a,b,c},则X 上的含有４个元素的拓扑有（）个

① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④

44、设(X , T ) 为拓扑空间, 则下列叙述正确的为 ( )

①X ∈T , φ∉T ② X ∉T ,φ∈T

③当T '⊂T 时, U ∈T ④ 当T '⊂T 时, U ∈T 答案：③

U ∈T 'U ∈T '

45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[a , b ) 是（）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③

46、设X 是一个拓扑空间，A , B ⊂X , 且满足d (A ) ⊂B ⊂A , 则B 是（）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②

1,2,3}, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={1, 2}, 则X 的子47、设X ={

空间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{2},{1,2}} ② T ={φ, X ,{1},{2},{1,2}}

③ T ={φ, A ,{1},{2}} ④ T ={φ, X ,{1},{2}} 答案：③

1,2,3}, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={1,3}, 则X 的子48、设X ={

空间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{1},{3},{1,3}} ② T ={φ, A ,{1}}

③ T ={φ, X ,{1},{3},{1,3}} ④ T ={φ, X ,{1}} 答案：②

1,2,3}49、设X ={, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={2,3}, 则X 的子

空间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{3},{2,3}} ② T ={φ, A ,{2},{3}}

③ T ={φ, X ,{2},{3},{2,3}} ④ T ={φ, X ,{3}} 答案：②

1,2,3}50、设X ={, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={1}, 则X 的子空

间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{1}} ② T ={φ, A ,{1,2}}③ T ={φ, X ,{1},{3},{1,3}} ④ T ={φ, X ,{1}} 答案：①

51、设X ={1, 2,3}, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={2}, 则X 的子空间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{2},{1,2}} ② T ={φ, A } ③ T ={φ, X ,{2}} ④ T ={φ, X ,{1,2}} 答案：②

52、设X ={1, 2,3}, T={φ, X ,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑，A ={3}, 则X 的子空间A 的拓扑为( )

① T ={φ,{2},{1,2}} ② T ={φ,{X },{1,3}}

③ T ={φ, X ,{3}} ④ T ={φ,{3}} 答案：④

53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）

① T ={φ, Z } ② T =P (Z ) ③ T =Z ④ T ={Z } 答案：②

54、设X =X 1⨯X 2⨯ ⨯X 6是拓扑空间X 1, X 2, , X 6的积空间. P 1是X 到X 1的投

射，则P 1是（）