向量与三角形内心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
(1)O是ABC的重心.
证法1:设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03
(y1y)(y2y)(y3y)0yy1y2y3
3
O是ABC的重心.
证法2:如图
OAOBOCOA2OD0 2
A、O、D三点共线,且O分AD为2:1 O是ABC的重心
(2)OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.
证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.
()0
同理OABC,OCAB
O为ABC的垂心
abcO为ABC的内心.
(3)设a,b,c是三角形的三条边长,O是ABC的内心
ABAC
分别为方向上的单位向量, cb
bc平分BAC, AO(),令
abccbcb
bcABAC
() 化简得(abc)bc
abccb
aOAbOB
cOC0
证明:
(4
O为ABC的外心。
O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
(),0, ,则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
分析:如图所示ABC,D、E分别为边BC、AC的中点.
2 2 2
//
点P的轨迹一定通过ABC
的重心,即选C.
(03全国理4)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共
线的三个点,动点P满足
0, ,,
BDC
则点P的轨迹一定通过ABC的( B ) A.外心
B.内心
C.重心 D.垂心
分析:分别为方向上的单位向量,
平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心,即选
B.
O是
平面上一定
点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,0, ,则点P的轨迹一定通过ABC的
( ) A.外心 B
.内心
C.重心 D.垂心
分析:如图所示AD垂直BC
,BE垂直AC, D、E是垂足.
=0
点P的轨迹一定通过ABC的垂心,即选D.
练习:
1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P,满足,若实数满足:,则的值为( )
A.2
B.
3
C.3
D.6 2
2.若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,OAOBOC0,则OAOB( ) A.
11
B.0 C.1 D. 22
3.点O在ABC内部且满足22,则ABC面积与凹四边形
ABOC面积之比是( )
A.0 B.
354
C. D. 243
4.ABC的外接圆的圆心为O,若,则H是ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,若
2
2
2
CAOCAB,则O是ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
222
ABC的外接圆的圆心为O,6.两条边上的高的交点为H, OHm(OAOBOC),
则实数m =
→→→→1ABACABAC→→→
7.(06陕西)已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0 =, 则
2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
8.已知ABC三个顶点A、B、C,若,则
2
ABC为( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形
练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C