含参不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数f(x)ax2bxc(a0,xR),有
a0
1)f(x)0对xR恒成立;
0
a0
2)f(x)0对xR恒成立.
0
若二次不等式中x的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
2
设f(x)axbxc(a0)
a0(1)当时,f(x)0在x[,]上
bbb
, 2a或或2a2a
f()00f()0
f()0
f(x)0在x[,]上恒成立
f()0
f()0
(2)当a0时,f(x)0在x[,]上恒成立
f()0
恒成立
bbb
f(x)0在x[,]上恒成立2a或或2a2a
f()00f()0
例1、已知函数ylg[x2(a1)xa2]的定义域为R,求实数a的取值范围。
解:由题设可将问题转化为不等式x2(a1)xa20对xR恒成立,即有
1
(a1)24a20解得a1或a。
3
1
所以实数a的取值范围为(,1)(,)。
32
例2、若x2,2时,不等式xax3a恒成立,求a的取值范围。
解:设fxxax3a,则问题转化为当x2,2时,fx的最小值非负。
2
(1) 当
a7
2即:a4时,fxminf273a0 a又a4所以a23
不存在;
aa2a
(2) 当22即:4a4时,fxminf3a0
2426a2 又4a4 4a2 a
(3) 当2 即:a4时,fxminf27a0 a7又
2
a47a4 综上所得:7a2
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1)f(x)a恒成立af(x)min 2)f(x)a恒成立af(x)max
例3、已知f(x)x2ax3a,若x[2,2],f(x)2恒成立,求a的取值范围.
解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意
x[2,2],f(x)min2
.若x[2,2],f(x)2恒成立
x[2,2],f(x)min
a
2
22
f(x)minf(2)73a2
a
22a22或或,即a的取值范围为22
aaf(x)f()3a2f(x)minf(2)7a2min24
[5,222].
11112
......Loga(a1) 对一切大于1的n1n2nn123
15
)] 自然数n恒成立,求实数a的范围。[a(1,2
例4.已知不等式:三、分离变量法
在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若afx恒成立,只须求出fxmax,则afxmax;若afx恒成立,只须求出fxmin,则afxmin,转化为函数求最值。
在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即:若fagx恒成立,只须求出gxmax,则fagxmax;若
fagx恒成立,只须求出gxmin,则fagxmin,问题还是转化为函数求最
值。
x2x
例5.已知x,1时,不等式12aa40恒成立,求a的取值范围。
x
解:令2t,x,1 t0,2 所以原不等式可化为:aa
2
t1
, 2t
要使上式在t0,2上恒成立,只须求出ft
t1
在t0,2上的最小值即可。 t2
t11111
ft2
tttt2
3
ftminf2 a2a
4
22
111
,
t24
313 a 422
四、数形结合法
对一些不能把参数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。利用函数图象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。
1)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;
2)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。
131
解:由题意知:3x2logax在x0,内恒成立,
3
在同一坐标系内,分别作出函数
例6、若不等式3x2logax0在x0,内恒成立,求实数a的取值范围。
y3x2和ylogax
观察两函数图象,当x0,时,若
13
a1函数ylogax的图象显然在函
数y3x2图象的下方,所以不成立; 当0a1时,由图可知,ylogax的
11
331111
方,则,loga a 1a
3327271
综上得:1a
27
2x
例7:已知a0,a1,f(x)xa,当x(1,1)时,有f(x)恒成立,求实数a
图象必须过点,或在这个点的上的取值范围。
2x2x
解析:由f(x)xa,得xa,在同一直角坐标系中做出两个函数的
图象,如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交,则由1
2
11
a及(1)2a1得到a22
分别等于2和0.5,并作出函数y2及y()的图象,所以,要想使函数x在区间x(1,1)中恒成立,只须y2x在区间x(1,1)对应的图象在yx
2
x
1
2
x2
1
ax2
1
在区间2
x(1,1)对应图象的上面即可。当a1时,只有a2才能保证,而
11
0a1时,只有a才可以,所以a[,1)(1,2]。
22
五、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。
例8.对任意a[1,1],不等式x2(a4)x42a0恒成立,求x的取值范围。
解:令f(a)(x2)ax24x4,则原问题转化为f(a)0恒成立(a[1,1])。 当x2时,可得f(a)0,不合题意。
f(1)0
解之得x1或x3。
f(1)0
故x的取值范围为(,1)(3,)。
当x2时,应有
六、消元转化策略
对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决. 例
9.已知
f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且
f(1)=1,若
m,n[1,1],mn0时
f(m)f(n)
0,若f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒
mn
成立,求实数t的取值范围.
解析 本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则f(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立1t22at1对于所有的
a[1,1]恒成立,即2tat20对于所有的a[1,1]恒成立,令g(a)2tat2,只要
g(1)0
,t2或t2或t0.
g(1)0
七、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含
关系来求解,即:m,nfa,ga,则fam且gan,不等式的解即为实数a的取值范围。
1
3
解:1logax1
例10、当x,3时,logax1恒成立,求实数a的取值范围。
a3
111
(1) 当a1时,xa,则问题转化为,3,a 11 a3
a3aa3
1
a
11113
0a (2) 当0a1时,ax,则问题转化为,3a,
a33a13
a
综上所得:0a
1
或a3 3