平均值定理的运用
一、什么叫做平均值定理? 定理1:若
当且仅当a=b时取等号。 定理2:若
当且仅当a=b时取等号。 定理3:若a 、b 、c
当且仅当a=b=c时取等号。 定理4:若
当且仅当a=b=c时取等号。 利用以上定理可推广得如下极值定理: 定理5:若
那么当x=y时,x·y
有最大值,且等于
定理6:若
那么当x=y时,x+y有最小值,且等于
定理7:若x 、y 、z R +,且x+y+z=p(定值) 。那么当x=y=z时,x·y·z有最大值,且等于定理8:若且等于
那么当x=y=z时,x+y+z有最小值,
以上定理的证明详见高二代数课本P 8-P 10. 二、你知道下面的题解错误在哪里?
1. 已知:
解:
2. 求函数的最小值.
解:
3. 已知求的最小值.
由(1)+(2)得,
4. 已知:
求函数
的最大值.
解:
三、上面各题的错误分析及正确解法如下:
1. 错误分析:当且仅当三正数不可能全相等的,故等号不成立。正确解法:
都相等时,等号成立。但这三数是
当且仅当
2. 错误分析:当且仅当解,正确解法:
等号成立,显然此方程无
是递增函数,
3. 错误分析:当且仅当即a=1,b=1时,等式成立,这与已知条件
a+b=1相矛盾,正确解法:
当且仅当时,等号成立.
4.
错误分析:当且仅当可能的,正确解法:
这三正数都相等时,等号成立,但这是不
当且仅当
四、平均值定理在求三角函数的最值中有广泛的应用。 现举三例如下: 例1. 在锐角
中,试证:
证明: 即
即
当且仅当时,等号成立.
例2. 已知求的最小值.
解:
当且仅当
即
例3. 已知 解:
,求
的最大值.
当且仅当
五、高考中的应用题常常须用平均值定理求解。
1. (97年、全国、22题). 甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度千米/时的平方成正比,且比例系数为b ,固定部分为a 元。
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域。
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶? 解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(2)依题意知S 、a 、b 、均为正数,故有
当且仅当
则当全程运输成本y 最小。
时, 当时,有
也即当
时,等号成立,
时,全程运输成本y 最小。
时,行驶速度应
综上可知,为使全程运输成本y 最小,当
为行驶速度应为.
2. (98年,全国、22题)如图:为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出。设箱体的长度为a 米,高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米,问a 、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。(A 、B 孔的面积忽略不计)。
解法1 设y 为流出的水中杂质的质量分数,则
为比例系数,
依题意,即所求a 、b 值使y 值最小。
根据题意,有 (a>0,b>0)
得
于是
当,(-10舍去)时,取等号。
这时y 达到最小值,把a=6代入(1)得b=3.
故当a=6米,b=3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法2 依题意,即所求的a 、b 值使ab 最大. 由题设知 即
当且仅当a=2b时,上式取等号。 由 即当
解得
时,ab 取得最大值,其最大值为18.
解得
故当a=6米,b=3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
六、自我检测: 选择题:
1. 若则的最小值是( )
D. 非上述
A. 2 B. 3 C. 答案
.
2. 设x ,y 是满足x+y=4的正数,则xy 的最大值是( )
A. 4 B. 6 C. 3 D. 1
3. 若x ,y 均为正数, A. 4 B. 答案
4. 设
则( )
,则x+2y的极小值是( )
C. 6 D. 非上述
A. F的最小值是8 B. F的最小值是9 C. F的最大值是8 D. F的最大值是
9 5. 函数
的最小值是( )
A. -2 B. –
1 C. 1 D. 2
解答题:
6. 若直角三角形的周长是P ,求其最大面积. 7. 求内接于定球的正圆锥中的最大体积.
8. 设圆柱形的罐头底半径为r ,高为h ,容积为V ,当V 一定时,r 和h 满足什么关系,用料最省? 参考答案与提示: 解答题:
6. 设此直角三角形的两条直边分别为x ,y ,则斜边为
,依题意设
当且仅当x=y.
即已知三角形为等腰直角三角形时,它的最大面积为
7. 设球的半径为r ,球心到圆锥底面的距离为x ,则圆锥底半径为r+x.
设球内接圆锥的体积为V ,则
. 高为
当且仅当
8. 设圆柱的表面积为S.
当且仅当值
体积V 有最大值,最大值为
,亦即圆柱底面直径与高相等时,S 有最小
,此时用料最省.