信号与系统(沈元隆_周井泉)第三章
SIGNALS AND SYSTEMS
信号与系统
第三章 连续信号与系统的频域分析 习题
南京邮电大学 信号分析与信息处理教学中心
2006
3-1 试判定下列信号是周期信号还是非周期信号？若是 周期信号，试求出其周期。 (2) a sin 2 t + b cos π t (4) (sin π t ) 2
解： (2) 为非周期信号 T → ∞
1 − cos 2π t (4) (sin π t ) = 2
2
2π 为周期信号 T = 2π = 1
3-2 试将图示周期信号展开成三角型和指数型傅里叶级 数。 (a ) f (t ) 解： (a) f (t )为奇谐函数，故 1
a0 = 0, an = 0,
L
−1 1 −1 2
L
3 4
t
T 2 0 2 2 bn = − sin(nω0t )dt + sin(nω0t )dt T T − T 0 2
∫
∫
2 1 2 1 = cos( nω 0t ) T + [ − cos( nω 0t )] − T nω 0 T nω 0 2 ⎧ 2 ⎪ 0, = [1 − cos( nπ )] = ⎨ 4 nπ ⎪ ， ⎩ nπ
n为偶数 n为奇数
0
T 2 0
3-4 已知周期信号 f (t ) 的前四分之一周期的波形如图所 示，且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同，试 就下列情况分别画出 f (t ) 整个周期的波形。 解：(1) f (t ) 为偶函数，且只含偶次谐波
f (t )
L
T − 2
L
T − 4
0
(2) f (t ) 为偶函数，且只含奇次谐波
f (t )
L
T − 2
T 4
T 2
t
L
T − 4
0
T 4
T 2
t
3-11 周期信号 f (t ) = 3 cos t + sin(5t − 6 ) − 2 cos(8t − 3 ) ， 试分别画出此信号的单边、双边幅度频谱和相位频谱图。 解：
f ( t ) = 3 cos t + sin( 5 t −
π
π
π
6 3 2π 2π = 3 cos t + cos( 5 t − ) ) + 2 cos( 8 t + 3 3
) − 2 cos( 8 t −
π
)
单边幅度频谱：
An 3
1 2
双边幅度频谱：
1 0.5
−8 −5
Fn 1.5 1.5
0.5 1
5 8 nω0
0 1
5 8 nω0
−1 1
单边相位频谱：
ϕn
1 0
2π − 3
5 8
双边相位频谱：
2π θ n 2π 5 1 −8 3 3 8 nω0 2π − 5 −1 2π − − 3 3
2π 3
nω0
3-14 已知周期信号 f (t )的双边频谱如图所示： Fn 3 （1）写出 f (t ) 的指数型傅里叶级数； 2 （2）画出 f (t ) 的单边频谱； −3 （3）写出 f (t ) 的三角型傅里叶级数； −2 −1 0 1 π θn （4）画出 f (t ) 的功率谱。 解：（1） j π −
f (t ) = e
j 3 e − j 2t + 2e −j 2π 3 e − jt
−3 −2 −1 0
−π
2
3 nω0
1 2
3 nω0
π 2π j + 2 + 2 e 3 e jt + e 3 e j 2 t
（2）单边频谱
An
2π π ) + 2 cos( 2 t + ) （3） f ( t ) = 2 + 4 cos( t + 3 3
4
2 2
（4）功率谱
1
4 Fn
2
0 1 2
1
3 nω0
π ϕn
3 nω0 0 1 2 3 nω0
−3 −2 −1 0 1 2
3-17 求下列函数的傅里叶变换： (7) f (t ) = e 2 t ε ( − t ) 解：根据傅立叶变换的定义：
∞
F (ω ) =
∫ = e ∫
−∞ 0
e2tε ( −t )e − jωt dt
2t − jωt
=
−∞ e( 2 − jω )t 0
e
dt
2 − jω
−∞
1 = 2 − jω
3-19 设 f (t ) F (ω ) ，试证： （1） ∫−∞ f (t ) dt = F (0) （2） ∫− ∞ F (ω ) d ω = 2πf ( 0 ) 并解释其结果。 证明：（1）根据傅立叶正变换的定义：
F (ω ) =
∞
∞
∞
有
∫ F ( 0) = ∫
−∞ ∞
f (t )e − jωt dt
−∞
f (t )e − j 0t
dt =
∫
∞
−∞
f (t )dt
表明频谱密度中的直流分量等于信号在时域中的积分。
（2）根据傅立叶反变换的定义：
1 ∞ f (t ) = F (ω )e jωt dω 2π − ∞
∫
有 即
1 ∞ 1 ∞ f ( 0) = F (ω )e jω 0dω = F (ω )dω 2π − ∞ 2π − ∞
∫
∫
∫
∞
−∞
F (ω )dω = 2πf (0)
表明频谱密度函数的积分等于时域中的 f (0) 值乘 以 2π 。
3-20 试求图示周期信号的频谱密度函数。 （b） (1 ) f (t) 解： ω = 2π 0 T 3T 3T T T −
Fn = 1 T
∫ ∫
3T 4 T 4
L
f (t )e − jnω 0t dt
2 −2T −T
−
2
2
2
L
0
T
(1 )
2T
t
−
1 = T
3T 4 ⎡ T 4
−
T − jnω 0 T ⎤ − jnω0t 1 2 ) = 1 (1 − e − jnπ ) dt = (1 − e ⎢δ (t ) − δ (t − )⎥ e
⎣
2 ⎦
T
T
∴ f (t ) =
n = −∞
∑
∞
Fn e jnω 0t =
n = −∞
∑
∞
1 (1 − e − jnπ )e jnω 0t T n [1 − (−1) ]δ (ω − 2Tπ ) ∑
n ∞
2π T
n = −∞
∑
∞
(1 − e
− jnπ
2π )δ (ω − nω 0 ) = T
n = −∞
3-18 试求下列函数的傅里叶反变换： (7)
F (ω ) = − 2
ω2
2 解： Q sgn( t ) jω
根据频域微分性质，有
d 2 2 − jt sgn( t ) ( )=− 2 d ω jω jω
再利用线性性质，得
−
2
ω2
t sgn( t )
3-21 试求图示信号的傅里叶变换。 （b）
A f (t )
A 2
−τ
−
τ 0
2
τ
2
τ
t
解： 信号 f (t ) 可以分解为：
A A f (t ) = gτ (t ) + g2τ (t ) 2 2 Aτ ωτ Sa ( ) + AτSa (ωτ ) 2 2
3-26 已知 且
f (t ) = f1(t ) + f 2 (t ) 的频谱密度函数 F (ω ) = 4 Sa (ω ) − j
4
ω
，
f1(t ) 为偶函数， f 2 (t ) 为奇函数，试求 f1(t ) 和 f 2 (t ) 。
解：由题意知
f1(t ) 4 Sa (ω ) = AτSa ( Aτ = 4,
ωτ
2
),
ωτ
2
= ω,
即 A = 2,
τ = 2,
∴ f1(t ) = 2 g 2 (t )
2 f 2 (t ) − j = 2 × ω jω ∴ f 2 (t ) = 2 sgn(t ) 4
3-33 试应用调制定理，求题示信号 的傅里叶变换，并画出频谱图。 解： (t ) = ⎡ε (t + π ) − ε (t − π )⎤ cos 20t f
⎢ ⎣
− 5 5 ⎥ ⎦ 5 2π π π ⎤ π ⎡ Q ⎢ε (t + ) − ε (t − )⎥ Sa ( ω ) 5 5 ⎦ 5 5 ⎣
(a)
π
f (t ) cos 20 t 1
0
π t
5
∴ 根据调制定理： ⎡π ⎤ ⎡π ⎤⎫ f (t ) ⎨ Sa ⎢ (ω + 20)⎥ + Sa ⎢ (ω − 20)⎥ ⎬ 5 ⎩ ⎣5 ⎦ ⎣5 ⎦⎭
π
5
π⎧
F (ω )
其频谱如图所示：
−20
0
20
ω
3-34 已知图(a)所示锯齿脉冲 f (t ) 的傅 里叶变换 F (ω ) = 1 (e jω − jωe jω − 1) ，
ω2
f (t )
1 −1 0 1
f 2 (t )
1 2
利用傅里叶变换的性质，求图(c) 、(f) 所示信号的傅里叶变换。 解:(c) f 2 (t ) = f (t − 1) + f ( −t + 1) = f (t − 1) + f [−(t − 1)]
= 2 (cosω + ω sin ω − 1)e − jω
t (a)
0
t
(c)
F (ω )e − jω + F ( −ω )e − jω = [F (ω ) + F ( −ω )]e − jω
t ⎡1 ⎤ 0 1 f5 (t ) = 1.5 f ( − 1) = 1.5 f ⎢ (t − 2)⎥ (f) 2 ⎣2 ⎦ (f) 3 − j 2ω 3F ( 2ω )e = ( e j 2ω − j 2ωe j 2ω − 1)e − j 2ω 4ω 2
3 = (1 − j 2ω − e − j 2ω ) 4ω 2
ω2
1.5
f5 (t )
2
t
3-37 已知 f (t ) F (ω ) ，试求下列各函数的傅里叶变换。
(t − 2) f (t )e jω0 ( t −3) （2） 解：原式＝ − j 3ω 0 ⎡
e
⎢ ⎣
tf (t )e
jω 0t
− 2 f (t )e
jω 0t ⎤
↓ 频微＋频移
⎥ ⎦
↓ 频移
e
− j 3ω0
⎡ dF (ω − ω 0 ) ⎤ − 2 F (ω − ω 0 )⎥ ⎢j dω ⎣ ⎦
比例性
（6） (t − 2) f (2 − t ) 解： f (−t ) F (−ω )
F (−ω ) tf (−t ) j 频域微分性 dω F ( −ω ) − j 2ω 原式 = (t − 2) f [− (t − 2)] j e dω
时移性
(7) tf ( 2t )
解：根据比例性，有 1 ω f (2t ) F ( ) 2 2
j tf ( 2t ) 2 dF (
ω
2
)
再利用频域微分性，得
(8) (t − 2) f ( −2t )
解：原式 = tf ( −2t ) − 2 f ( −2t )
根据比例性，有
根据频域微分性，有
dω
ω 1 f ( −2t ) F ( − ) 2 2
ω
∴
j tf ( −2t ) − 2 f ( −2t ) 2
dF ( −
dF ( − ) j 2 tf ( −2t ) 2 dω
ω
2 − F (− ω ) dω 2
)
dF (ω ) 解：根据频域微分性， 有 tf (t ) j dω dF (ω ) − jω 根据时移性，有 (t − 1) f (t − 1) j e dω
(9) (1 − t ) f (t − 1)
dF (ω ) − jω ∴ 原式 = −(t − 1) f (t − 1) − j e dω t (10) (t − 2) f ( ) 2
t 解：根据比例性，有 f ( ) 2 F ( 2ω ) 2 t dF ( 2ω ) 根据频域微分性，有 tf ( ) 2 j 2 dω t t dF ( 2ω ) ∴ 原式 = tf ( ) − 2 f ( ) 2 j − 4 F ( 2ω ) 2 2 dω
(1) F (ω )的相位函数；（2） F (0) = ？ (3)
3-42 已知信号 f (t ) 的波形如图所示，设 f (t ) F (ω ) ， 2 f (t ) 在不计算 F (ω ) 的情况下，试求 ∞
∫
−∞
F (ω )dω = ？
1
−1 0 1 2
3
t
解：（1）由 f ( t )的图形知 f ( t + 1)为实偶函数，根据奇、 偶函数 傅里叶变换的特点知 f ( t + 1)的频谱密度函数应为实 偶函数，即 F [ f ( t + 1) ] = F (ω )e jω = F (ω ) e jθ (ω ) ⋅ e jω = F (ω ) e j [θ (ω ) +ω ]
⎧ −ω 当F [ f (t + 1)] > 0 即 θ (ω ) = ⎨ 当F [ f (t + 1)]
为 ω的实偶函数。
⎧0 故 θ (ω ) + ω = ⎨ ⎩π
当F [ f (t + 1)] > 0 当F [ f (t + 1)]
（2） F (0) = (3)
∫
∞
∫
∞
−∞
f (t )e− j 0⋅t dt = 4 × 2 −
1 × 2 ×1 = 7 2
−∞
F (ω )dω = 2πf (0) = 2π × 2 = 4π
3-56 某系统微分方程为 y ′′(t ) + 3 y ′(t ) + 2 y (t ) = x ′(t )， 输入信号 x(t ) = ε (t ) − ε (t − 1) ，试求零状态响应。
jω 2 1 解：H (ω ) = = = − ( jω )2 + 3 jω + 2 ( jω + 2)( jω + 1) jω + 2 jω + 1
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ − jω 1 − e − jω X (ω ) = ⎢πδ (ω ) + = ⎥ − ⎢πδ (ω ) + jω ⎥ e jω ⎦ ⎣ jω ⎣ ⎦
jω
⎛ 2 1 ⎞ 1 − e − jω Y (ω ) = X (ω ) H (ω ) = ⎜ ⎟ ⎜ jω + 2 − jω + 1 ⎟ ⋅ jω ⎠ ⎝ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ 1 − e − jω =⎜ − ⎜ jω + 1 jω + 2 ⎟ ⎝ ⎠
(
)
∴ y (t ) = F −1[Y (ω )]
= e −t − e − 2t ε (t ) − e − ( t −1)
− e − 2( t −1) ε (t − 1)
(
)
[
]
3-58 信号 x(t ) 具有傅里叶变换 X (ω ) 如图(a)所示，通过
具有冲激响应 h(t ) = δ (t ) = δ (t − nT ) 的非因果“梳形 T X (ω) n = −∞ 滤波器”如图(b)所示。 2
(1) 求信号 x (t ) 的能量；(2) 求输出信号 y (t )。
∑
∞
1 2 X (ω ) dω 解：(1) E = 2π − ∞ 4π ⎤ ⎡T (ω + ) ⎥ dω = 4π ⎢ 2π T ⎦ π − ⎣ 1
∫
0
∞
ω
− 4π T
0
4π T
∫
2
(a)
(1)
T
h (t )
L
1 4π 3 16 = × (ω + = ) 4π T 3T 4π 3 3 − T2
T
0
L
−T 0 T
t
(b)
( 2) H (ω ) = ω0
n = −∞
∑
∞
δ (ω − nω0 )
2π ω0 = T
− 4π T
2
X (ω)
ω
0
(ω0 ) H (ω )
4π T
L
L
−ω0 0 ω0 ω Y (ω ) = X (ω ) H (ω ) = ω0δ (ω + ω0 ) + 2ω0δ (ω ) + ω0δ (ω − ω0 )
∴ y (t ) = F −1[Y (ω )] 2 2 2π = + cos t T T T
(2ω0 ) (ω0 )
Y (ω )
(ω0 )
−ω0 0 ω0
ω
3-65 系统的激励 x(t ) 和响应 y (t ) 由下列方程相联系：
试求系统的系统函数 H (ω )和冲激响应 h ( t )。
卷积定理，得
其中
∞ dy (t ) + 2 y (t ) = x(τ ) z (t − τ )dτ − x(t )，若 z (t ) = e −tε (t ) + 3δ (t )， dt −∞
∫
解：方程两边同时取傅 里叶变换，并根据时域 微分性和 jω Y (ω ) + 2Y (ω ) = X (ω ) Z (ω ) − X (ω )
1 + 3，代入上式并整理，得 Z (ω ) = F [z (t )] = jω + 1
1 + 3 −1 Y (ω ) Z (ω ) − 1 jω + 1 j 2ω + 3 = = H (ω ) = = X (ω ) jω + 2 jω + 2 ( jω + 1)( jω + 2) j 2ω + 3 1 1 故 H (ω ) = = + ( jω + 1)( jω + 2) jω + 1 jω + 2
h(t ) = ( e −t + e − 2t )ε (t )
3-71 限带信号 f (t) 的频谱密度如图(a)所示，试画出当 f (t) 通过图(b)的系统时，在系统A，B，C，D各点的频谱密度。 图(b)中 ωc >> ω1 ，且
⎧K ⎪ H 1 (ω ) = ⎨ ⎪0 ⎩
ω > ωc ω
f (t )
⎧K ⎪ H 2 (ω ) = ⎨ ⎪0 ⎩
ω ωc
(a)
A F(ω)
A
(b)
H1 (ω )
B
C
H 2 (ω )
D
y (t )
−ω1 0
ω1 ω
cos(ω ct )
cos(ω c + ω1)t
1 解： F A (ω ) = [F (ω + ω c ) + F (ω − ω c ) ] 2
A F (ω) A 2
−ωc − ω1 −ωc −ωc + ω1 0
ωc − ω1 ω c ω c + ω1 ω
F B (ω ) = F A (ω ) H 1 (ω )
AK FB(ω) 2
−ωc − ω1 −ωc
0
ω c ωc + ω1 ω
1 FC ( ω ) = [F B (ω + ω c + ω 1 ) + F B ( ω − ω c − ω 1 ) ] 2
− 2ω c − ω 1 − 2ω c − 2 ω 1
AK F (ω) C 4
2ω c + ω 1
ω
−ω1 0
ω1
2 ω c + 2ω 1
F D (ω ) = FC (ω ) H 2 (ω )
AK 2 FD(ω) 4
−ω1 0
ω1
ω
3-80 确定下列信号的奈奎斯特取样率。
(3) Sa(100t ) + Sa(50t )
(5) Sa (100t ) + Sa10 (60t )
解： ( 3 ) Sa (100 t ) π g 200 (ω ), ω m 1 = 100 ( rad / s ) Sa ( 50 t ) π g 100 (ω ), ω m 2 = 50 ( rad / s ) ∴
ω m = max { m 1 , ω m 2 } = 100 ( rad / s ) ω ω s = 2 ω m = 200 ( rad / s ), 或
fs =
100
π
( Hz )
( 6 ) Sa (100 t ) π g 200 (ω ), ω m 1 = 100 ( rad / s ) Sa ( 60 t ) π g 100 ( ω ), ω m 2 = 60 ( rad / s ) ∴
ω m = max { m 1 ,10 ω m 2 } = 600 ( rad /
s ) ω ω s = 2 ω m = 1200 ( rad / s ), 或
fs =
600
π
( Hz )