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切向和法向加速度

06-19

第4节 切向和法向加速度

一、自然坐标系

单位切向量，沿轨道 

 切线指向质点运动方向 单位法向量n

，沿轨道

法向指向凹的一侧 （，n）：自然坐标系 t P (t)， n

(t) ) tt Q (tt) n

(tt (tt)

)

(t)

) ：矢量，大小：2si2 t0时 方向：0

(t)，//n(t) 

2si

2 n

0，

lim

0 limnn

 ddn

ddtdddd0 ddsd

dsdsdtddsdt，dn，d，dtV

d

dtV

n 二、切向和法向加速度

VVadV

dtd(V)dVVd

dVV2n

adtdtdtdtaatnn

adVd2stdtdt

2：切向加速度，速率变化引起的

V，a0，沿方向，V，a

tt0，与反方向

2

an

V

0：法向加速度，速度方向变化引起的

沿法线指向曲率中心

a

指向轨迹凹的一侧

aa22

dV2V22tan(dt)(

)

tgan/at

1

讨论：（1）直线运动，，an0

dVV2

0，an （2）匀速率圆周运动，at：向心加速度 dtR

（3）一般曲线运动及变速率圆周运动，at0，an0

V2

（4）an：计算曲率半径 

an

例：R=800m的圆形轨道，汽车，静止开始， at 速率均匀增加，t=3（分），V=20m/s

求：t=2（分），a，at，an

解：设Vkt，t=3（分）=180s，V=20m/s k=20/180=1/9， V=t/9

dV

1/90.11(1m/s2) atdt

t=2（分）=120s，V=120/9(m/s)

V2

an=0.222m/s2

R

2

aat2an0.248m/s2，tgan/at=2，63.4

V2

第5节 相对运动

S相对于S作平动运动



rrr0



 rrr0



drdrdr0

 dtdtdt

dr

V：质点在S系中的速度（绝对速度） dt

dr

V：质点在S系中的速度（相对速度） dtdr0

V0：O点相对于O点的速度（牵连速度） dt



VVV：绝对速度=相对速度+牵连速度

2

dVdV

dV0

dtdt

dVdtdta

：质点在S系中的加速度（绝对加速度） dV

dta：质点在S系中的加速度（相对加速度） dV0a0：O点相对于O点的加速度（牵连加速度） adt

aa

0：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度

如果S系相对于S系作匀速直线运动，则a

00，aa

例：汽车以

雨滴在空气中以10m/s 落，求雨滴相对于汽车的速度解：地面：S，汽车：S系 m/s车对地面的速度为牵连速度 大小V020m/s

雨滴对地的速度为绝对速度 V

0 大小V10m/s

雨滴对车的速度为相对速度 V 根据 VVV

V

0 VVV0

V2V2m/s tgV

0022.4V

2 63.4

第6节 圆周运动的角量表示

sR ：角坐标，rad (t) ss(t)

Vdsd(R)Rd dtdtdt

d

dt：角速度，rad/s

VR

adVdd2tdtR

dtRdt

2 dd2

dtdt

2：角加速度，rad/s2 V22aR2

tR，anRR

2R

3

讨论： 1、不变，匀角速圆周运动

（匀速率圆周运动，匀速圆周运动）

d

0 dt

t

d

ddtddt

dt00

角位移：=0t，0t

2、不变：匀变速圆周运动

d

ddt，ddt

dt00

t

0t0t d

0td(0t)dt dt

t

d(

t)dt

12

t 2

角位移：=00t

2

202(0)

****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 0t xx0Vt

匀变速圆周运动 匀加速直线运动 0t VV0at

11

00tt2 xx0V0tat2

222

202(0) V2V022a(xx0)

******************************************************

4


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