2015初三数学中考热身练兵之二次函数(含答案)
二次函数综合测试题
浙江宁波市宁海星海中学 王才苗
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列函数中, 是二次函数的是( )
A .y =2x -6 B . y =-5x 2 C . y=x 2-2x 3+1 D .y=x +π2 2. 抛物线y=3(x -5) 2的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上 3. 已知点(a ,2)在二次函数y =x 2的图象上,则a 的值是( ) A .2 B .-2 C .±2 D .2 4. 一次函数
与二次函数
在同一坐标系中的图象可能是(
5. 对于二次函数y =2(x ﹣1)2 +7的图象,下列说法正确的是( ) A .开口向下 B . 对称轴是x =﹣2 C .顶点坐标是(-1,7) D .与x 轴有没有两个交点 6. 对于函数,使得随的增大而增大的的取值范围是( )A.
B.
C.
D.
7. 对于任意实数,抛物线y =4x 2﹣(2+t ) x +t 总经过一个固定的点,这个点是( A. (1, 0) B. (, 0) C. (1,2) D. (
, 3)
8. 已知抛物线经过原点和第二、三、四象限,那么( ) A.
B. C.
D.
)
)
9. 二次函数y =x 2+bx+c的图象过点B (0,4).它与反比例函数y=-(m ,-2),则这个二次函数的解析式为( )
6
的图象交于点A x
A .y=x﹣5x +4 B . y=x2﹣3x+4 C . y=x2﹣5x ﹣4
2
D . y=x2+3x﹣4
10. 如图2,OAB 是边长为2的等腰直角三角形,OA 与Y 轴负半轴的夹角为15°,点B
在抛物线
(a
图2
A .-
1
3
B
.
C .
D .
二、填空题(每小题3分,共18分)
11. 已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象过点(1,﹣1)则b +c = 12. 如果二次函数y =ax 2+4x +3图象顶点的横坐标为1,则的值为13. 将抛物线y =2(x -3) 2+3向右平移2个单位后,再向下平移5个单位,所得抛物线的顶点坐标为_______.
14. 某航空公司A040号飞机着陆后滑行的距离y (单位:m )与滑行时间x (单位:s )之间的函数关系式是y =60x —1.5x 2,该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 15. 设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点,则△
的面积是 .
16. 当﹣2≤x ≤1时,二次函数y =﹣(x ﹣m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为 .
三、解答题(共66分)
17. (8分)当k 分别取2,4时,函数y =(k -3)x 2-4x +5-k 都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.
18. (8分)如图3,二次函数的图象与x 轴交于A (3,0)和B (﹣1,0)两点,交y 轴于点C (0,﹣3),点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B 、D .
(1)请直接写出D 点的坐标.(2)求二次函数的解析式.
图3
图4
19. (8分)如图4,在平面直角坐标系中,抛物线与x 轴交于点A (﹣1,0)和点B (1,0),直线y=2x﹣1与y 轴交于点C ,与抛物线交于点C 、D . (1)求抛物线的解析式;(2)求点A 到直线CD 的距离;
20. 炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线.在一次军事演习中,测得我军炮位A 与射击目标B 的水平距离为600 m,炮弹运行的最大高度为1200 m. (1)求此抛物线的解析式.
(2)若在A 、B 之间距离A 点500 m处有一高350 m的障碍物,计算炮弹能否越过障碍物.
21. (8分)某商店进行促销活动,如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品的单价每涨1元,其销售量就要减少10件,问将售价定为多少元/件时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.
22. (8分)子祥要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x (单位:cm) 的边与这条边上的高之和为40 cm ,这个三角形的面积S (单位:cm 2) 随x (单位:cm) 的变化而变化.
(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围). (2)当x 是多少时,这个三角形面积S 最大? 最大面积是多少?
23. (8分)如图5所示,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB 组成,已知河底ED 是水平的,ED =16米,AE =8米,抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米,以ED 所在直线为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED 的距离h (单位:米) 随时间t (单
1
位:时)的变化满足函数关系h = (t -19) 2+8(0≤t ≤40) ,且当水面到顶点C
128
的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
图5 图6
24. (10分)某市把投篮命中率作为中考体育必考项目,如图6是考生李明参加投篮时的情形,他在距篮板4.6米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈. 已知篮圈中心距篮板距离为0.6米,并且到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;
(2)已知该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
附加题4道
1. 选择题
抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D (1,2),与x 轴的一个交点A 在点(3,0)和(2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b 2﹣4ac=0;②a +b +c <0;③-a+c =2,
④方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为( )
A.1个. B.2个 C.3个 D.4个.
2. 填空题
已知抛物线y=x2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ,0),则代数式m 2﹣m+2014的 值为
3. 如图,直线y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,抛物线y =a (x ﹣2)2+k 经过点A 、B ,并与X 轴交于另一点C ,其顶点为P . (1)求a ,k 的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q ,使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形,求Q 点的坐标;
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M 在第四象限,且经过点A (-1,0) 和点B (0,-l) .
(1)试求a ,b 所满足的关系式;
(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ,当△AMC 的面积为△ABC 面积的5倍时,求a 的值;
4
(3)是否存在实数a ,使得△ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由.
二次函数综合测试题参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. B. 提示:A,D 是一次函数,C 中含有3次项,因此选B ,考查二次函数概念 2. C. 提示:顶点(5,0)在x 轴上,考查二次函数顶点式
3. D. 提示:将点的坐标代入解析式,求的a =2,考查点在图像上的满足解析式 4. C. 提示: (1) a0,排除B, 考查利用系数符号确定图像位置及分类讨论的思想. 5. D. 提示:顶点(1,7),在第一象限,开口向上,选D ,抛物线性质 6. B. 提示:y =-x 2﹣2 x -2=-(x +1)2-3,顶点为(-1,3),如下图,对称轴左侧随的增大而增大,选B. 考查抛物线性质
7.C. 提示:把各点坐标代入y =4x 2﹣(2+t ) x +t 满足即为所求
考查点在图像上
b
利用图像位置确定系数符号 9. D. 提示:将A 坐标代入反比例解析式求出m 的值,确定出A 的坐标,将A 与B 坐标代入二次函数解析式求出b 与c 的值,即可确定出二次函数解析式. 解答: 解:将A (m ,﹣2)代入反比例解析式得:﹣2m =-6,即m=3, ∴A(3,﹣2),将A (3,﹣2),B (0,4)代入二次函数解析式得:, 解得:b=﹣5,c=4,
则二次函数解析式为y=x2﹣5x+4.故选D .
10.A. 提示:等腰直角三角形OAB 边长是2,∠BOM=15°,∴∠BOM=90°—15°—
45°=30°,OB=2,过点B 作BM ⊥x 轴于M ,∴BM=1,OM= ,B(3,-1), 代入得—
1
1=3a , a =-, 故选A 考查勾股定理及二次函数解析式的求法
3
第十题图
二、填空题
11. -2 . 提示:把(1,-1)代入解析式直接得到.
b 4
=-, a =-2 利用顶点坐标公式计算. 1
2. . .. 提示:-2a 2a
13. (5,-2). 提示:先得原顶点(3,3),再得向右平移2个单位后,再向下平移5
个单位后的顶点:(5,-2). 考查图像平移,写出原图像顶点再通过平移得到.
14. 600.提示:y=60x -1.5x 2=-1.5(x -20)2+600,当x =20时, y 最大值=600,则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 15. 解析:先求各个交点坐标,当x =0, y =-5,得A (0, -5);当y =0,得x 2﹣
2x ﹣5=0,所以(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4的面积x 1x 2=4-4×(-5)=24
,所以△11
是. |x 1-x 2||-5|=⨯2=5. 2216
提示:本题必须采用分类讨论思想进行分析,解:二次函数的对称轴为直线x =m ,
①(图甲)m <﹣2时,x =﹣2时二次函数有最大值,此时﹣(﹣2﹣m )2+m 2+1=4, 解得m =-
7
,与m <﹣2矛盾,故m 值不存在; 4
②(图乙)当﹣2≤m ≤1时,x =m 时,二次函数有最大值,此时,m 2+1=4,解得m =
﹣m
=
(舍去);
,
③(图丙)当m >1时,x =1时,二次函数有最大值,此时,﹣(1﹣m )2+m 2+1=4,解得m =2,
综上所述,m 的值为2或﹣
.
(图甲) (图乙) (图丙)
三、解答题
17. 分析:先求出当k 分别取2,4时对应的函数,再根据函数的性质讨论最大值. 解:(1)当k =4时,函数y =x 2-4x +1为开口向上的二次函数,无最大值.
(2)当k =2时,函数y =-x 2-4x +3=-(x +2)2+7为开口向下的二次函数,对称轴为直线x =-2,顶点坐标为(-2,7),所以当x =-2时,y 最大值=7.
综上所述,只有当k =2时,函数y =(k -3) x 2-4x +5-k 有最大值,且最大值为7.
18. 分析:(1)根据抛物线的对称性来求点D 的坐标;
(2)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0,a 、b 、c 常数),把点A 、B 、C 的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数a 、b 、c 的方程组,通过解方程组求得它们的值即可;要注意数形结合数学思想的应用.另外,利用待定系数法求二次函数解析式时,也可以采用顶点式方程.
解:(1)∵如图,二次函数的图象与x 轴交于A (3,0)和B (﹣1,0)两点, ∴对称轴是x =(3﹣1)÷2=1.
又点C (0,﹣3),点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点, ∴D (2,﹣3);
(2)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0,a 、b 、c 常数),
⎧9a +3b +c =0⎧a =1
⎪根据题意得,⎪⎨a -b +c =0解得⎨b =-2, ⎪c =-3⎪c =-3
⎩⎩
所以二次函数的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3;
19. (1)首先求出点C 坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)设直线CD 与x 轴交于点E ,求出点E 的坐标,然后解直角三角形(或利用三角形相似),求出点A 到直线CD 的距离; 解:(1)直线y=2x﹣1,当x=0时,y=﹣1,则点C 坐标为(0,﹣1).设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c
∵点A (﹣1,0)、B (1,0)、C (0,﹣1)在抛物线上, ∴
,解得
,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣1.
1
;设直线CD 交x 轴于点E ,2
(2)如答图2所示,直线y=2x﹣1,当y=0时,x =
1
则E (,0).
2
在Rt △OCE 中,OC=1,OE=
1
,由勾股定理得:CE=2
,AE=
3 2
过点A 作AF ⊥CD 于点F ,
11
三角形AEC 面积=A E ×OC=C E ×AF,
22
AE ⨯OC
则AF=
=,
CE ∴点A 到直线CD 的距离为
.
点拨:本题考查一次函数和二次函数的基本性质及三角形面积知识
20. 解:(1)建立直角坐标系,设点A 为原点, 则抛物线过点(0,0),(600,0), 从而抛物线的对称轴为直线. 又抛物线的最高点的纵坐标为1 200, 则其顶点坐标为(300,1 200) , 所以设抛物线的解析式为
,
将(0,0)代入所设解析式得所以抛物线的解析式为(2)将
代入解析式,得
,
. ,
所以炮弹能越过障碍物.
21. 分析:日利润=销售量×每件利润,每件利润为
为[
件,据此得关系式.
元,销售量
解:设售价定为元/件. 由题意得,, ∵
,∴ 当时,有最大值360.
答:将售价定为14元/件时,才能使每天所赚的利润最大,最大利润是360元. 22. 分析:(1)由三角形面积公式S
=
得S 与x 之间的关系式为S =·(x 40-x )=-x 2+20x .
(2)利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.
1
解:(1)S =-x 2+20x .
2
1
(2)方法1:∵ a =-<0, ∴ S 有最大值.
2∴ 当x
=-
=-=20时,S 有最大值为
=
=200.
∴ 当x 为20 cm时, 三角形面积最大,最大面积是200 cm2. 23. 分析:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+b , 将(0,11)和(8,8)代入即可求出a , b ;(2)令h = 6, 解方程
2
(t -19)+8=6得t 1, t 2,所以当h ≥6时,禁止船只通行的时间为|t 2-t 1|.
解:(1)依题意可得顶点C 的坐标为(0,11),设抛物线解析式为y =ax 2+11.
由抛物线的对称性可得B (8,8),
∴ 8=64a +11.解得a
=-, 抛物线解析式为y
=-x 2+11.
(2)画出h
=图
(t -19) 2+8(0≤t ≤40) 的
象如图所示.
当水面到顶点C 的距离不大于5米时,
h ≥6, 当h =6时,解得t 1=3,t 2=35.
由图象的变化趋势得,禁止船只通行的时间为|t 2-t 1|=32(小时).
答:禁止船只通行的时间为32小时.
点拨:(2)中求出符合题意的h 的取值范围是解题的关键,本题考查了二次函数在实际问题中的应用.
24. 分析:本题是一个二次函数的实际应用问题,首先应考虑如何建立直角坐标系,不局限一个方法,这里把最高点置于y 轴上,因此(1)可设抛物线的表达式为. 依题意可知图象经过的点的坐标,由此可得的值.进而求出抛物线的表达式.
(2)当时,求出y 的值,从而可求得他跳离地面的高度.
解:(1)设抛物线的表达式为.
由图象可知B (0,3.5),D 距y 轴的距离为4.6-2.5-0.6=1.5
因此D (1.5,3.05),所以所以抛物线的表达式为
(2)当
所以球出手时,他跳离地面的高度是
本题考查二次函数的实际应用
. . (米). 解得 时,y =-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25
附加题参考答案
1.B 提示:从图像可以判断二次函数有与y 轴有两个交点,因此有b 2﹣4ac>0, ①错,
b =1, b =-2a , -a +c =2,③当x =1, y =a +b +c=2>0, ②错,-正确,④方程ax 2+bx +c 2a
22﹣2=0中,b ﹣4a (c-2)= 4a-4a 2=0. ④正确. 选B
2. 2019,解:∵抛物线y=x2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为(m ,3),
∴m 2﹣m ﹣1=3,解得 m 2﹣m=4.∴m 2﹣m+2015=1+2015=2019
3. 分析:本题只要求出直线y =﹣3x +3与坐标轴的交点,然后代入二次函数解析式求出待定系数即可;(2)利用等腰三角形性质与勾股定理解决.
解:(1)∵直线y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,可得∴A (1,0),B (0,3).
又∵抛物线抛物线y =a (x ﹣2)2+k 经过点A (1,0),B (0,3), ∴,解得,
故a ,k 的值分别为1,﹣1;
(2)设Q 点的坐标为(2,m ),对称轴x =2交x 轴于点F ,过点B 作BE 垂直于直线x =2于点E .
在Rt △AQF 中,AQ 2=AF 2+QF 2=1+m 2,
在Rt △BQE 中,BQ 2=BE 2+EQ 2=4+(3﹣m )2,
∵AQ =BQ ,∴1+m 2=4+(3﹣m )2,∴m =2,∴Q 点的坐标为(2,2);
4. 解:(1)⎨⎧a -b +c =0,得a -b =1. ⎩c =-1
(2)△AMC 的面积=5×△ABC 面积, 即MN=5 OB=5 y=ax2+(a-1)x -1, 44, 4
-4a -(a -1) 25-7±3-7+3=, a = (a >0) , a =4a 422
(3)不存在