积分因子的一种求法

第4卷 第九期 中 国 水 运 （ 理 论 版 ） Vol.4 No.9 2006年 9月 China Water Transport（Theory Edition） September 2006

积分因子的一种求法

吴绪权

摘 要：从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手，给出了一种求积分因子的方法。 关键词：全微分方程 分离变量法 积分因子

中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2006）09-0187-02

一、问题 在求解形如

三、结论

定理1：已分离了变量的方程是全微分方程.

（1）

证明：设微分方程

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

的微分方程时，如果

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

（2）

（1）

∂P ∂Q

=∂y ∂x

（1）不一定是全微分方程，但可进行变量分离，变为

m (x ) dx =n (y ) dy

不妨设 则

亦即：

（7）

则方程（1）称为全微分方程。用全微分求积公式可求解。 当条件（2）不满足时，方程（1）就不是全微分方程。在[1]中是采用积分因子的方法来求解方程（1）的。但其积分因子的求法除了一阶线性方程给出了公式外其它方程都是采用观察法求得的，而观察法一般来说不是一件容易的事。下面的方法实际上也为观察法提供了一种思路。

二、分离变量法

先看一个简单的非全微分方程

m (x ) dx =dM (x ), n (y ) dy =dN (y )

dM (x ) =dN (y )

d [M (x ) −N (y )]=0

（8）

（8）为全微分方程，由此知（7）为全微分方程. 即分离了变量的方程是全微分方程.

推论1： 若方程可进行变量分离，则一定存在积分因子使其成为全微分方程

推论2： 若方程进行变量分离后，变量是复合变量，则分离变量后的方程是全微分方程

定理2：如非全微分方程可通过分离变量使之成为全微分方程，则其变化过程所作的操作可形成积分因子

证明：设微分方程

（1）

为非全微分方程，并知其有解， 对其分离变量，分离变量是通过方程两边乘某个函数来完成. 设分离变量分几步完成： 第一步乘函数μ1(x , y ) 分离部分变量，第二步乘函数μ2(x , y ) 再分离部分变量，…，直到变量分离成功.设分离变量后的方程为（7）.由定理1知，方程（7）为全微分方程.记μ(x , y ) =μ1(x , y ) ·μ2(x , y ) …·μn (x , y ) .观其操作过程可知积分因子为μ(x , y )

四、举例说明：

例1：求微分方程 p (y ) dx +q (x ) dy =0 的积分因子 解：若∂p =∂q 时，方程 p (y ) dx +q (x ) dy =0为全微

ydx −xdy =0

通过分离变量后变为

（3）

11dx =dy x y

显然其 ∂P ∂Q ==0 ∂y ∂x

（4）

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

即可用全微分求积公式可求解。 分析一下，上面采用了下面两步：

得 dx =

y

第二步：两边乘μ2(x , y ) =得 dx =dy

x x 1y

令 μ(x , y ) =μ1(x , y ) ·μ2(x , y ) =

1第一步：两边乘μ1(x , y ) =

y 1

由（3）得

ydx =xdy

xdy

（5） （6）

∂y ∂x

xy

分方程。

若∂p ≠∂q 时，p (y ) dx +q (x ) dy =0为可分离变量方

∂y ∂x

显然μ(x , y ) 为积分因子。

上面通过分析一个简单的非全微分方程变为全微分方程的过程，给出了一种求积分因子的方法。结论如下：

收稿日期：2006-8-12

作者简介：吴绪权 男 武汉理工大学理学院 讲师 （430070）

188 《中 国 水 运》理 论 版 第4卷 程，由推论1知其一定存在积分因子μ(x , y ) ；由定理2知

2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0

ydx 2−x 2dy −3x 2y 2dx =0

μ1(x , y ) =1，μ2(x , y ) =1

p (y )

q (x )

故

μ(x , y ) =μ1(x , y ) ·μ2(x , y ) =

1 q (x ) p (y )

第二步：两边同乘

μ2(x , y ) =

1y 2

得

例2：求微分方程 因子

(x +y )(dx −dy ) =dx +dy 的积分

x 2ydx 2−x 2dy 2 即 d −dx 3=0 −3x dx =02

y y

故积分因子为μ(x , y ) =μ1(x , y ) ·μ2(x , y ) =

2

通解为x −x 3=c

解：将微分方程 (x +y )(dx −dy ) =dx +dy

(x +y ) d (x −y ) =d (x +y )

分离变量，两边乘μ1(x , y ) =1

x +y

变形为

得d (x −y ) =d (x +y )

x y 2

x +y

（9） y

将x −微分方程.

y , x +y 看作复合变量，由推论

2知（9）为全

参考文献

[1] 同济大学数学教研室.高等数学（下册）（第五版）. 高等

教育出版社. 2002. 282～285.

[2] 王芝田等. 怎样考好高等数学. 湖北教育出版

社. 1986. 330~339.

故积分因子为μ(x , y ) =

μ1(x , y ) =1

x +y

例3：求微分方程2ydx −xdy −3xy 2dx =0的通解。 解：第一步：两边同乘μ1(x , y ) =

x

得

A solution of integrating factor

Wu Xuquan

Abstract ：a method of soluting integrating factor is given by changing from non-total

differential equation into total differential equation by means of a method of separation of variables.

Keywords：total differential equation method of separation of variables integrating factor

积分因子的一种求法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

吴绪权， Wu Xuquan

武汉理工大学理学院,430070

中国水运（理论版）

CHINA WATER TRANSPORT(THEORY EDITION)2006，4(9)0次

参考文献(2条)

1. 同济大学数学教研室 高等数学 20022. 王芝田 怎样考好高等数学 1986

相似文献(1条)

1.期刊论文 徐安农. 段复建 全微分方程与积分因子法 -桂林电子工业学院学报2002,22(2)

在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.

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下载时间：2010年8月11日